简介
在过程控制中，按偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）进行控制的PID控制器（亦称PID调节器）是应用最为广泛的一种自动控制器。它具有原理简单，易于实现，适用面广，控制参数相互，参数的选定比较简单等优点；而且在理论上可以证明，对于过程控制的典型对象──“一阶滞后＋纯滞后”与“二阶滞后＋纯滞后”的控制对象，PID控制器是一种最优控制。PID调节规律是连续系统动态品质校正的一种有效方法，它的参数整定方式简便，结构改变灵活（PI、PD、…）。
详细说明
控制点目前包含三种比较简单的PID控制算法，分别是：增量式算法，位置式算法，微分先行。 这三种ＰＩＤ算法虽然简单，但各有特点，基本上能满足一般控制的大多数要求。
1) PID增量式算法
离散化公式：
注：各符号含义如下
u(t);;;;; 控制器的输出值。
e(t);;;;; 控制器输入与设定值之间的误差。
Kp;;;;;;; 比例系数。
Ti;;;;;;; 积分时间常数。
Td;;;;;;; 微分时间常数。
T;;;;;;;; 调节周期。
对于增量式算法，可以选择的功能有：
(1) 滤波的选择
可以对输入加一个前置滤波器，使得进入控制算法的给定值不突变，而是有一定惯性延迟的缓变量。
(2) 系统的动态过程加速
在增量式算法中，比例项与积分项的符号有以下关系：如果被控量继续偏离给定值，则这两项符号相同，而当被控量向给定值方向变化时，则这两项的符号相反。
由于这一性质，当被控量接近给定值的时候，反号的比例作用阻碍了积分作用，因而避免了积分超调以及随之带来的振荡，这显然是有利于控制的。但如果被控量远未接近给定值，仅刚开始向给定值变化时，由于比例和积分反向，将会减慢控制过程。
为了加快开始的动态过程，我们可以设定一个偏差范围v，当偏差|e(t)|< β时，即被控量接近给定值时，就按正常规律调节，而当|e(t)|>= β时，则不管比例作用为正或为负，都使它向有利于接近给定值的方向调整，即取其值为|e(t)-e(t-1)|，其符号与积分项一致。利用这样的算法，可以加快控制的动态过程。
(3) PID增量算法的饱和作用及其抑制
在PID增量算法中，由于执行元件本身是机械或物理的积分储存单元，如果给定值发生突变时，由算法的比例部分和微分部分计算出的控制增量可能比较大，如果该值超过了执行元件所允许的最大限度，那么实际上执行的控制增量将时受到时的值，多余的部分将丢失，将使系统的动态过程变长，因此，需要采取一定的措施改善这种情况。
纠正这种缺陷的方法是采用积累补偿法，当超出执行机构的执行能力时，将其多余部分积累起来，而一旦可能时，再补充执行。
2) PID位置算法
离散公式：
;=
对于位置式算法，可以选择的功能有：
a、滤波：同上为一阶惯性滤波
b、饱和作用抑制：
(1) 遇限削弱积分法
一旦控制变量进入饱和区，将只执行削弱积分项的运算而停止进行增大积分项的运算。具体地说，在计算Ui时，将判断上一个时刻的控制量Ui-1是否已经超出范围，如果已经超出，那么将根据偏差的符号，判断系统是否在超调区域，由此决定是否将相应偏差计入积分项。
(2) 积分分离法
在基本PID控制中，当有较大幅度的扰动或大幅度改变给定值时， 由于此时有较大的偏差，以及系统有惯性和滞后，故在积分项的作用下，往往会产生较大的超调量和长时间的波动。特别是对于温度、成份等变化缓慢的过程，这一现象将更严重。为此可以采用积分分离措施，即偏差较大的时，取消积分作用；当偏差较小时才将积分作用投入。
另外积分分离的阈值应视具体对象和要求而定。若阈值太大，达不到积分分离的目的，若太小又有可能因被控量无法跳出积分分离区，只进行PD控制，将会出现残差。
离散化公式：
Δu(t) = q0e(t) + q1e(t-1) + q2e(t-2)
当|e(t)|≤β时
q0 = Kp(1+T/Ti+Td/T)
q1 = -Kp(1+2Td/T)
q2 = Kp Td /T
当|e(t)|＞β时
q0 = Kp(1+Td/T)
q1 = -Kp(1+2Td/T)
q2 = Kp Td /T
u(t) = u(t-1) + Δu(t)
注：各符号含义如下
u(t);;;;; 控制器的输出值。
e(t);;;;; 控制器输入与设定值之间的误差。
Kp;;;;;;; 比例系数。
Ti;;;;;;; 积分时间常数。
Td;;;;;;; 微分时间常数。
T;;;;;;;; 调节周期。
β;;;;;;; 积分分离阈值
(3) 有效偏差法
当根据PID位置算法算出的控制量超出范围时，控制量实际上只能取边际值U=Umax,或U=Umin,有效偏差法是将相应的这一控制量的偏差值作为有效偏差值计入积分累计而不是将实际的偏差计入积分累计。因为按实际偏差计算出的控制量并没有执行。
如果实际实现的控制量为U=U（上限值或下限值），则有效偏差可以逆推出，即：
=
然后，由该值计算积分项
3) 微分先行PID算法
当控制系统的给定值发生阶跃时，微分作用将导致输出值大幅度变化，这样不利于生产的稳定操作。因此在微分项中不考虑给定值，只对被控量（控制器输入值）进行微分。微分先行PID算法又叫测量值微分PID算法。公式如下：
离散化公式：
参数说明同上
对于纯滞后对象的补偿
控制点采用了Smith预测器，使控制对象与补偿环节一起构成一个简单的惯性环节。
PID参数整定
(1) 比例系数Ｋｃ对系统性能的影响
：
比例系数加大，使系统的动作灵敏，速度加快，稳态误差减小。Ｋｃ偏大，振荡次数加多，调节时间加长。Ｋｃ太大时，系统会趋于不稳定。Ｋｃ太小，又会使系统的动作缓慢。Ｋｃ可以选负数，这主要是由执行机构、传感器以控制对象的特性决定的。如果Ｋｃ的符号选择不当对象状态(pv值)就会离控制目标的状态(sv值)越来越远，如果出现这样的情况Ｋｃ的符号就一定要取反。
(2) 积分控制Ｔｉ对系统性能的影响
：
积分作用使系统的稳定性下降，Ｔｉ小（积分作用强）会使系统不稳定，但能消除稳态误差，提高系统的控制精度。
(3) 微分控制Ｔｄ对系统性能的影响
：
微分作用可以改善动态特性，Ｔｄ偏大时，超调量较大，调节时间较短。Ｔｄ偏小时，超调量也较大，调节时间也较长。只有Ｔｄ合适，才能使超调量较小，减短调节时间。
PID控制器的设计
PID控制器因算法简单、鲁棒性好、可靠性高，一直是工业生产过程中应用最广的控制器。然而，实际生产过程往往具有非线性、时变不确定性，应用常规PID控制不能达到理想的控制效果。这时，往往不得不采用模型预测控制、自适应控制等先进控制策略来获得更好的控制性能。但是也存在多种原因阻碍这些先进控制策略在实际中的应用。其中一个主要的原因就是由于这类先进的控制算法在硬件、软件和人员培训方面缺乏有效的支持，这阻碍了它们在DCS层上的实现。而且在参数整定方面，由于这类算法的参数常缺乏明确的物理意义，对于已熟悉PID参数整定的操作人员来说，也是不得不面对的问题。因此，近年来越来越多的研究人员就上层采用模型预测控制这类先进的控制算法，而底层保留传统的PID控制算法，即所谓的预测PID控制算法，展开了一系列的研究。如P．Vega等人直接将经典PID的参数引入到性能指标中，再通过Taylor近似处理得到了次优化的控制器参数。Miller提出了一种随机预测PID控制算法，其在数学上等于稳态加权广义预测控制算法，并先后成功应于化肥厂热交换器的温度控制和废水装置溶氧浓度的控制。在文献[5]中，MASARU KATAYAMA根据PID与一般GPC控制律之间的对应关系，直接计算出PID参数的值，本文在其基础上，采用阶梯式策略，避免了参数整定过程中复杂的矩阵求逆运算，并给控制输出引入较强的阶梯约束，改善了控制性能的调节灵活性。另外，文中分析了该方法在整定大延时对象的控制器参数时所引起的误差的原因，并通过引入smith预估器，有效地改善了这类系统的控制效果。
1 整定算法
1．1 系统描述及PID控制律介绍
考虑到GPC算法的需要，本文采用受控自回归积分滑动平均模型(CARIMA)描述被控对象： 其中，y(t)和u(t)为系统在t时刻的输出值和控制量；ζ(t)为零均值、方差有界的白噪声；k为系统的最小时延；△=1-z-1为差分算子；A(z-1)、B(z-1)分别为后移算子z-1的na和nb阶多项式，且A(z-1)为首一多项式。
文中控制器采用I-PD型结构，该控制律在改变设定值时，控制器输出不至于有太大的变化，增强了系统的抗扰动能力，另外可以很方便地得到此I-PD控制律与GPC控制律之间的联系，从而可以依据GPC思想来进行PID参数的整定。其具体形式为：
其中，e(t)=w(t)-y(t)为误差信号，w(t)为参考信号，kc、Ti、Td分别为比例增益、积分时问和微分时间，Ts为采样时间。对上式进行展开整理可得如下形式：
1．2 SGPC算法
按照GPC的一般理论，由模型(1)和Diophantine方程，得到t时刻对未来t+k+i(i=0，1，L，P-1)时刻系统输出的最优预测：
为最优预测中的自由响应部分，Fk+i(z-1)和Gk+i(z-1)是由Diophantine方程确定的z-1的多项式，是对象阶跃响应的第l项系数，可以写成矩阵形式Y=Y1+G·△U，则实际的输出为Y＝Y＋E，E为误差向量。
GPC一般性能指标为
其中△U1=(△ut△ut+1…△ut+m-1)，m为控制步长，λ为控制增量的权重。
由上述各式，根据传统的GPC算法，令J对△U1的偏导数为0，可以得到一个控制量序列[6，9]，为简化计算，Diophantine方程一般用递推算法求解，但仍然不能避免矩阵求逆，计算量大，且不能保证矩阵可逆，计算中还会出现数值病态问题，在实际应用中存在着较大的安全隐患。
为避免传统GPC中的矩阵求逆问题，在算法中引入阶梯式策略[6]。令
由Diophantine方程可知F(1)=Q，因此式(13)亦可表示为式(5)的形式，此时
1.3 整定结果
由式（4）与式（14）的对应关系，我们可以比较得到PID控制器各参数（其中Ts为采样周期）如下：
2 整定算法的分析
2.1 参数调节的问题
本文通过引入阶梯因子，避免了参数整定过程中矩阵求逆，大大简化了计算。同时，在实际系统中，由于执行机构性能的，若控制量变化频率高，不仅执行机构动作跟不上，起不到作用，而且会增加执行机构的磨损。而阶梯式策略假定控制增量服从一个等比序列，这相当于给控制增量加了一个较强的。另外，由于引进阶梯因子后，加权因子λ性能的影响减小，而且其对于控制量的抵制作用也变得比较复杂，因此我们主要可以通过β来调节对应PID控制器的鲁棒性与快速性。
2.2 整定误差的Smith补偿
在前述的算法推导中，可以发现，为了建立I-PD与SGPC之间的相互联系，对多项式X（z-1）进行了静态处理，由式（12）与 式（13）可以看出，这样的处理，相当于认为过去k+nb-1步的输入变化量都相等，且等于当前时刻的输入变化量，即△ut-knb+1=△ut-k-nb+2=…=△ut，而实际运行中，在系统动态响应阶段，这种关系显然总是不成立的。这种近似处理，在系统无延时或小延时，即k取值很小时，影响可以忽略，但随着时延步数的加大，这种处理对系统鲁棒性地影响必将逐渐加剧，所以需要对具有大延时的系统进行补偿。因此，本文在系统中引入Smith预估器，以消除系统的时延影响，改善大延时系统的控制效果。
由于常规Smith预估器在模型失配时存在低鲁棒性问题，因此在应用中可采用文献[8]中的自适应方案，即首先通过单变量寻优方法估计实际过程的纯滞后，然后再用带遗忘因子的最小二l乘法辨识过程模型的其他参数，以在线修正模型。这样系统的控制结构可以设计成图1所示的形式。从图中可以看出，若系统无延时，系统等同于简单的预测PID控制回路，而当系统有时延时，延时对系统的影响即可由smith预估器消除，而预测PID参数则仅需根据无时延模型Gm(s)来整定，这样就可以避免时延带来的参数整定误差。
3 仿真及分析
为仿真需要，考虑以下单变量模型：
P=10，m=5，λ=1，B与k的值按仿真需要选取。
图2所示为K=7，β分别取0．75、0．95、1．05与1．15时，PID控制系统(无Smith补偿)的响应输出曲线，从图中可见，基于SGPC整定的PID控制器的动态性能可以很容易地通过选择不同的B值来调节，以获取合适的控制器参数，随着B取值的增加，系统的超调越小，响应速度则越慢，充分保持了SGPC控制的这一特点。
图3中，在110s处设定值发生幅值为20％、宽度为10s的脉冲扰动，以及在200s处，对象模型跃变为A1(z-1)=1-0．99z-1+0．25z-2，以及B1(z-1)=0．57+O．31z-1。从图中结果的对比可以看出，预测PID(β=0．95)比常规PID(Z-N法整定)控制器具有更好的动态响应特性，并且在出现外部扰动以及对象内部特性发生变化时体现出了更强的抗干扰性与鲁棒性。
图4则是在其他参数保持不变(β=1．35)，时延步数分别取值为5、20、40与110时，系统(无Smith补偿)的响应特性曲线，可以发现，随着时延的增加，系统的超调量及响应时间都有所增加，动态性能逐渐变差。由前文的分析可知，系统的动态响应性能可以通过改变β的大小来调节，另外在大时延系统中也可以通过引入Smith预估器来补偿时延，这里以k=110为例，对这两种方法进行比较，结果如图5所示(800s处模型跃变为A1(z-1)，B1(z-1)以及时延k变为100)。很显然，增加B的值，虽然可以很好地改善系统的超调量，但却无法兼顾系统的响应时间，这对于那些对系统超调及响应时间都有要求的对象来说是不可取的，而加入Smith预估补偿的方法，则可以消除延时的影响，使大时延系统的超调量及响应速度都得到大大改善，并且很好地保持了系统的鲁棒性。下载本文
