第 3 节 简便计算
【知识梳理】
1.加减法中常用的简便算法
（1）加法运算律的应用：在计算过程中可以通过交换律或结合律将能“凑整”的数先凑整，这样会使计算简便，在加减运算中，凑整主要是通过加法的结合律和交换律进行的。
（2）“补数”的概念
如果两个数相加能够凑出整式整百整千的数，那么这两个数互为“补数”，如32的补数是68,1234的补数是8766。通常情况下，互为补数的两个数具有如下特点：
【1】互为补数的两个数的个位相加得10
【2】互为补数的两个数除个位以外的其他位上的数字相加都得9.
在计算时找到互为补数的两个数可以达到凑整的目的。
2.乘除法中常用的简便算法
（1）乘法运算律的应用：在计算过程中，如果通过运算律的应用能凑成整式整百整千的数，则会使运算变得简单，这个原则就是简便计算的凑整原则，在乘法运算中常用“25×4=100”、“125×8=1000”来凑整。
3.除法的性质
（1）除法的性质1：一个数连续除以两个数等于这个数除以这两个数的乘积，用字母表示为a÷b÷c=a÷（b×c）
（2）除法性质2：两个数的和或差除以一个数，等于两个数分别除以这个数再求和或差，字母表示为：（ab）÷c=a÷cb÷c
（3）除法的性质3：被除数和除数同时扩大或算小相同的倍数商不变。
注意：一个数除以两个数的和或差只能按运算顺序计算，没有相对应的运算律，不能够写为这个数分别除以这两个数再求和或差。
【诊断自测】
一、列综合算式，并用两种方法解答下列各题
1.篮子里有16个苹果，平均分成2组，每组分成四份，每份几个？
2.王老师买了5副羽毛球拍，花乐330元，每支羽毛球拍多少钱？
3.小明用了三个星期才把一本习字本写完，一共写了420个字。他平均每天写多少个毛笔字？
二、填空
（1）一个数除以连续两个数可以用这个数除以这两个数的（ ），用字母表示为（ ）
（2）在四则混合运算中改变运算顺序可以通过添加或去掉括号来完成，在加减混合运算中如果括号前是加号，添加括号时（ ），如果括号前是减号，添加括号时（ ）。
（3）在乘除混合运算中，括号前面如果是乘号，去括号时（ ），括号前面如果是乘号，去括号时（ ）.
三、计算下列各题，怎样简便就怎样算
2000÷125÷8 25×（4+8）
1280÷16÷8 5×99+5
【考点突破】
类型一：乘除法中常用的简便算法
例1.老师买了5副羽毛球拍，花了330元，还买了25桶羽毛球，每桶32元，每桶12个羽毛球。
（1）老师一共买了多少个羽毛球？
（2）每支羽毛球拍多少钱？
答案
（1）12×25 （2）330÷5÷2
=3×4×25 =330÷（5×2）
=3×（4×25） =330÷10
=3×100 =33（元）
=300（个） 答：每支羽毛球拍33元。
答：老师买了300个羽毛球。
解析：
在解答第一问的过程中需要用每桶的个数乘以桶数求出总个数，列式为12×25，此算式的计算过程可以用简便方法，因为12可以分解成3×4,4×25=100。
在解答第二问的过程中，列式为330÷5÷2，根据除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，则原式可写为330÷（5×2），从而达到简便运算的目的。
例2.计算
125×88（用两种方法进行简便与暖）
答案：
方法一：125×88 方法二： 125×88
=125×8×11 =125×（80+8）
=（125×8）×11 =125×80+125×8
=1000×11 =10000+1000
=11000 =11000
解析：
通过观察算式，发现88可分解为8×11或80+8,125和8的乘积是1000，可凑整，在乘除法的简便运算中利用“25×4=100”和“125×8=1000”是经常用到的凑整方法。
类型二、除法的性质
例3.计算
（104×24×69）÷（23×12×13）
答案：
（104×24×69）÷（23×12×13）
=104×24×69÷23÷12÷13
=（104÷23）×（24÷12）×（69÷13）
=8×2×3
=48
解析：
一个数除以几个数的乘积，等于这个数依次除以这几个数，此题先利用除法的这一性质去括号，逆用此性质添括号即可，添括号过程中利用交换律“带符号搬家”。
例4.计算
2500÷4÷25（两种方法进行简便运算）
答案：
方法一： 2500÷4÷25 方法二： 2500÷4÷25
=2500÷（4×25） =2500÷25÷4
=2500÷100 =100÷4
=25 =25
解析：
方法一利用连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，在连除问题中经常用到。
在同级运算中同时改变数字和它前面符号的位置不影响计算结果，也就是“带符号搬家”，方法二使用的就是这一规律。
类型三：添括号和去括号
例5.计算
1400÷25
答案：
1400÷25
=14×100÷25
=14×（100÷25）
=14×4
=56
解析：
乘除法中的添括号法则：添加括号时括号前若是乘号，则括号中的符号不改变，若括号前是除号，则括号中改变符号，乘号变为除号，除号变为乘号
如：13×25×4=13×（25×4），100÷25÷4=100÷（25×4）
例6.简便计算
6300÷54×6
答案：
6300÷54×6
=6300÷(54÷6)
=6300÷9
=700
解析：
本题先利用乘除法的添括号法则添加括号，之后按顺序计算即可。
乘除法中的添括号法则：添加括号时括号前若是乘号，则括号中的符号不改变，若括号前是除号，则括号中改变符号，乘号变为除号，除号变为乘号
如：13×25×4=13×（25×4），100÷25÷4=100÷（25×4）
例7.计算 270÷18
答案：
270÷18
=270÷(9×2)
=270÷9÷2
=30÷2
=15
解析：
本题先将18分解为9×2，再利用乘除法的去括号法则去括号。
乘除法中的去括号法则：去括号时括号前若是乘号，则括号中的符号不改变，若括号前是除号，则括号中改变符号，乘号变为除号，除号变为乘号
如：13×（25×4）=13×25×4，100÷（25×4）=100÷25÷4
【易错精选】
1.为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？
=
尝试口算下列各题：
= = = =
13×25×125×4×8＝ =
2.简便方法计算
．
3.把“＞、＜、＝” 填在合适的○里。
496－120－230○496－（12＋230）
192＋（95－75）○192＋95－75
198×8×l0○198×8＋10 720÷36÷2○720÷（36÷2）
18×4÷2○18×（4＋2） 280－70＋30○280－（70＋30）
70×3＋5○70×（3＋5） （65＋13）×4○65×4＋13
【精华提炼】
知识点一：同级运算中的结合律（添括号与去括号法则）
（1）同级运算的概念：加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，如果一个算式中只含有同一级运算，说明该算式中只有加减法或只有乘除法。
（2）同级运算的添括号法则：
加减运算中的添括号法则：添加括号时括号前若是加号，则括号中的符号不改变，若括号前是减号，则括号中改变符号，加号变为减号，减号变为加号
如：30-14-86=30-（14+86），30+105-5=30+（105-5）
乘除法中的添括号法则：添加括号时括号前若是乘号，则括号中的符号不改变，若括号前是除号，则括号中改变符号，乘号变为除号，除号变为乘号
如：13×25×4=13×（25×4），100÷25÷4=100÷（25×4）
（3）同级运算中的去括号法则：
加减运算中的去括号法则：去括号时括号前若是加号，则括号中的符号不改变，若括号前是减号，则括号中改变符号，加号变为减号，减号变为加号
如：30-（14+86）=30-14-86，30+（105-5）=30+105-5
乘除法中的去括号法则：去括号时括号前若是乘号，则括号中的符号不改变，若括号前是除号，则括号中改变符号，乘号变为除号，除号变为乘号
如：13×（25×4）=13×25×4，100÷（25×4）=100÷25÷4
知识点二：同级运算中的交换律（“带符号搬家”）
在只含有同级运算的算式中，移动一个数和它前面的符号，不影响算式的结果
如：12+3-6+7-2=12-2+7-6+3,12×7÷3÷2×6=12×6÷3×7÷2
【本节训练】
1．怎样算简便就怎样算？
1）例题325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13
2）450÷25 3）525÷25
4）3500÷125 5）10000÷625
6）49500÷900 7）9000÷225
2． 用简便方法计算
25×125×4×8 125×15×8×4 25×24 125×16
75×16 125×25×32 25×5××125
3．怎样算简便就怎样算
（360＋108）÷36 1÷2＋3÷2＋5÷2＋7÷2
（720＋96）÷24 （4500－90）÷45
6342÷21 8811÷
4.运输队一辆货车一次可以运货10吨，照这样计算，运输队共有货车48辆，5 次共运多少吨？
5.玩具厂一个生产小组有12个工人，一天工作8小时，共做芭比娃娃960个，平均每人每小时生产芭比娃娃多少个？
【基础巩固】
一、判断题
1)27+33+67=27+100 （ ）
2)125×16=125×8×2 （ ）
3)134-75+25=134-（75+25） （ ）
4)先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（ ）
5)1250÷（25×5）=1250÷25×5 （ ）
6)102×98=（100+2）×98这里运用了乘法的分配律。……（ ）
7)36×25=（9×4）×25=9×（4×25）……………………………（ ）
8)125×17×8=125×8×17这里只运用了乘法结合律。……（ ）
9)179+204=179+200+4…………………………………………（ ）
10)先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（ ）
二、选择（把正确答案的序号填入括号内）
1)56+72+28=56+（72+28）运用了 （ ）
A)加法交换律 B)加法结合律
C)乘法结合律 D)加法交换律和结合律
2)25×（8+4）=（ ）
A)25×8×25×4 B)25×8+25×4
C)25×4×8 D)25×8+4
3)3×8×4×5=（3×4）×（8×5）运用了 （ ）
A)乘法交换律 B)乘法结合律
C)乘法分配律 D)乘法交换律和结合律
4)101×125= （ ）
A)100×125+1 B)125×100+125
C)125×100×1 D)100×125×1×125
三、仔细想，认真填
1．用字母a、b、c表示下面运算定律：
（l）加法交换律（ ）；
（2）乘法分配律（ ）；
（3）乘法交换律（ ）；
（4）加法结合律（ ）；
（5）乘法结合律（ ）。
2.根据运算定律，在□里填上适当的数。
（1）a+（30+8）＝（□+□）+8 （2）□十82＝□十18
（3）45×□＝32×□ （4）25×（4+8）＝□×□十□×□
四、直接写出得数。
70×13= 22×10= 250×4= 0÷280=
456－199= 100÷20= 67＋23= 31×30=
157＋198= 32×30= 480÷16= 850×90=
【巅峰突破】
1.计算出下式结果，并总结规律．
第一组： ⑴ ⑵
⑶ ⑷
规律总结：________________________
⑸ ⑹
第二组： ⑴ ⑵
⑶ ⑷
规律总结：________________
⑸ ⑹
2.简便计算
．
参
【诊断自测】
一、列综合算式，并用两种方法解答下列各题
1.篮子里有16个苹果，平均分成2组，每组分成四份，每份几个？
16÷2÷4
=16÷（2×4）
=2（个）
答：每份2个。
2.王老师买了5副羽毛球拍，花乐330元，每支羽毛球拍多少钱？
330÷5÷2
=330÷（5×2）
=330÷10
=33（元）
答：每支球拍33元。
3.小明用了三个星期才把一本习字本写完，一共写了420个字。他平均每天写多少个毛笔字？
420÷（3×7）
=420÷21
=20（个）
答：平均每天写20个字。
二、填空
（1）一个数除以连续两个数可以用这个数除以这两个数的（乘积），用字母表示为（a÷b÷c=a÷（b×c））
（2）在四则混合运算中改变运算顺序可以通过添加或去掉括号来完成，在加减混合运算中如果括号前是加号，添加括号时（括号中的符号不用改变），如果括号前是减号，添加括号时（括号中改变符号）。
（3）在乘除混合运算中，括号前面如果是乘号，去括号时（括号中的符号不用改变），括号前面如果是乘号，去括号时（括号中改变符号）.
三、计算下列各题，怎样简便就怎样算
2000÷125÷8 25×（4+8）
=2000÷（125×8） =25
=2000÷1000
=2
1280÷16÷8 5×99+5
=1280÷（16×8） =5×（99+1）
=128÷128 =5×100
=10 =500
【易错精选】
1.为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？
=19×25×8×8×125
=19×(25×8)×(125×8)
=19×200×1000
=3800000
尝试口算下列各题：
=1700 =19000 =9000
=50000
13×25×125×4×8＝ 1300000 =456000000
2.简便方法计算
．
=5×2×4×8×25×125×2009
=（5×2）×（25×4）×（125×8）×2009
=10×100×1000×2009
=2009000000
=333×3×222+333×334 =（1000+999）+999×999
=333×666+333×334 =1000+999+999×999
=（666+334）×333 =1000+999×（999+1）
=1000×333 =1000+999×1000
=333000 =1000+999000
=1000000
=81÷9+72÷9 =2046÷3-1068÷3+735÷3 =(291+9)÷50
=9+8 =682-356-245 =300÷50
=17 =81 =6
=225÷5÷9
=45÷9
=5
3.把“＞、＜、＝” 填在合适的○里。
496－120－230 < 496－（12＋230）
192＋（95－75） = 192＋95－75
198×8×l0 > 198×8＋10 720÷36÷2 < 720÷（36÷2）
18×4÷2 < 18×（4＋2） 280－70＋30 > 280－（70＋30）
70×3＋5 < 70×（3＋5） （65＋13）×4 > 65×4＋13
【本节训练】
2．怎样算简便就怎样算？
1）例题325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13
2）450÷25 3）525÷25
=50×9÷25 =（25×21）÷25
=50÷25×9 =25÷25×21
=2×9 =21
=18
4）3500÷125 5）10000÷625
=（3000+500）÷125 =1000×10÷（125×5）
=3000÷125+500÷125 =1000×10÷25÷5
=24+2 =（1000÷25）×（10÷5）
=26 =40×2
=80
6） 49500÷900 7）9000÷225
=（49500÷100）÷（900÷100） =（9×1000）÷（25×9）
=495÷9 =1000÷25
=55 =40
2． 用简便方法计算
25×125×4×8 125×15×8×4
=（25×4）×（125×8） =（125×8）×（15×4）
=100×1000 =1000×60
=100000 =60000
25×24 125×16 75×16
=25×4×6 =125×（2×8） =（25×3）×（4×4）
=（25×4）×6 =125×8×2 =（25×4）×（3×4）
=100×6 =1000×2 =100×12
=600 =2000 =1200
125×25×32 25×5××125
=125×25×4×8 =25×5×2×4×8×125
=（125×8）×（25×4） =（25×4）×（5×2）×（125×8）
=1000×100 =100×10×1000
=100000 =1000000
3．怎样算简便就怎样算
（360＋108）÷36 1÷2＋3÷2＋5÷2＋7÷2
=360÷36+108÷36 =（1+3+5+7）÷2
=10+3 =16÷2
=13 =8
（720＋96）÷24 （4500－90）÷45
=720÷24+96÷24 =4500÷45-90÷45
=30+4 =100-2
=34 =98
6342÷21 8811÷
=6342÷（3×7） =（00-）÷
=6342÷3÷7 =00÷-÷
=2114÷7 =100-1
=302 =99
4.运输队一辆货车一次可以运货10吨，照这样计算，运输队共有货车48辆，5 次共运多少吨？
10×48×5
=（10×5）×48
=50×48
=2400（吨）
答：五次共运2400吨。
5.玩具厂一个生产小组有12个工人，一天工作8小时，共做芭比娃娃960个，平均每人每小时生产芭比娃娃多少个？
960÷12÷8
=960÷（12×8）
=960÷96
=10（个）
答：平均每个工人每小时做10个芭比娃娃。
【基础巩固】
一、判断题
1)27+33+67=27+100 （√）
2)125×16=125×8×2 （√）
3)134-75+25=134-（75+25） （×）
4)先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（×）
5)1250÷（25×5）=1250÷25×5 （×）
6)102×98=（100+2）×98这里运用了乘法的分配律。……（×）
7)36×25=（9×4）×25=9×（4×25）……………………………（√）
8)125×17×8=125×8×17这里只运用了乘法结合律。……（×）
9)179+204=179+200+4…………………………………………（√）
10)先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（×）
二、选择（把正确答案的序号填入括号内）
1)56+72+28=56+（72+28）运用了 （B）
A)加法交换律 B)加法结合律
C)乘法结合律 D)加法交换律和结合律
2)25×（8+4）=（B）
A)25×8×25×4 B)25×8+25×4
C)25×4×8 D)25×8+4
3)3×8×4×5=（3×4）×（8×5）运用了 （B）
A)乘法交换律 B)乘法结合律
C)乘法分配律 D)乘法交换律和结合律
4)101×125= （B）
A)100×125+1 B)125×100+125
C)125×100×1 D)100×125×1×125
三、仔细想，认真填
1．用字母a、b、c表示下面运算定律：
（l）加法交换律（a+b=b+a）；
（2）乘法分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）；
（3）乘法交换律（a×b=b×a）；
（4）加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）；
（5）乘法结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）。
2.根据运算定律，在□里填上适当的数。
（1）a+（30+8）＝（a+30）+8 （2）18十82＝82十18
（3）45×32＝32×45 （4）25×（4+8）＝25×4十25×8
四、直接写出得数。
70×13=910 22×10=220 250×4=1000 0÷280=0
456－199=257 100÷20=5 67＋23=90 31×30=930
157＋198=355 32×30=0 480÷16=30 850×90=76500
【巅峰突破】
1.计算出下式结果，并总结规律．
第一组： ⑴ ⑵
=3737 =8585
⑶ ⑷
=7979 =232323
规律总结：一个两位数乘以“101、10101、1010101....”这样的数字时，得数为abab、abab、ababab...的形式。
⑸ ⑹
=494949 =6969696969
第二组： ⑴ ⑵
=123123 =287287
⑶ ⑷
=395395395 =45674567
规律总结：
⑸ ⑹
=39853985 =43869438694386943869
4.简便计算
=68×（100+1） =74×（200+1） =256×（1000+2） =154×(600+1)
=68×100+1×68 =74×200+74×1 =256×1000+256×2 =154×600+154×1
=6800+68 =14800+74 =256000+512 =92400+154
=6868 =14874 =256512 =92554
=2×268×5 =（2×319）×（3×5） =（4×8）×25
=（2×5）×268 =（2×5）×（3×319） =（4×25）×8
=268×10 =10×957 =100×8
=2680 =9570 =800
=（4×17）×（25×3）
=（4×25）×（17×3）
=100×51
=5100
．
=2000+999+999×999 =（999999÷3）×999999
=2000+999×（1+999） =9999999×999999÷3
=2000+999000 =（1000000-1）×999999÷3
=1001000 =（9999999000000-999999）÷3
=9999999000000÷3-999999÷3
=3333330000000-333333
=333332666667
=（1+2+3+4+5）×10000+（1+2+3+4+5）×1000+（1+2+3+4+5）×100+（1+2+3+4+5）×10（1+2+3+4+5）×1
=（1+2+3+4+5）×（10000+1000+100+1）
=15×11111
=（10+5）×11111
=111110+55555
=166665
=（1+2+3+4+5+6+7）×1000000+（1+2+3+4+5+6+7）×100000+（1+2+3+4+5+6+7）×10000+（1+2+3+4+5+6+7）×1000+（1+2+3+4+5+6+7）×100+（1+2+3+4+5+6+7）×10+（1+2+3+4+5+6+7）×1÷7
=（1+2+3+4+5+6+7）×（1000000+100000+10000+1000+100+10+1）÷7
=28×1111111÷7
=（28÷7）×1111111
=4×1111111
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