一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，2+） B．（2+，﹣1） C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，1）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
8．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是 ．
9．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ．
10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解方程：
（1）4x2＝12x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
14．已知函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
15．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）在图2中．
①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；
②请直接写出：点B到AC的距离为 ．
16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
20．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x轴正半轴上，求m的值．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？
思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？
六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
参
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误．
故选：C．
2．方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．
解：∵x2+kx﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故选：B．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
【分析】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点个数，可以判断Δ＝b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．
解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，
由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
由图象可得，c＜0，
对称轴为x＝，
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A选项正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故B选项正确；
由图象可得，当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，
故D选项正确，
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，2+） B．（2+，﹣1） C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，1）
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，根据正方形的性质可得AF⊥BC，B（0，2），即可得EF＝2，由等边三角形的性质及勾股定理可求解AF，BF的长，进而可求解A点坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点A的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点A的坐标．
解：过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∵四边形OBCD为正方形D（2，0），
∴EF＝OB＝OD＝BC＝2，BC∥OD，
∴B（0，2），AF⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝2，BF＝1，
∴AF＝，
∴AE＝AF+EF＝2+，
∴A（1，2+），
∵正方形OBCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴发现规律：旋转4次一个循环，
∵2020÷4＝505，
∴第2020次旋转结束时，点A的坐标为（1，2+）．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝ ﹣3 ．
【分析】由x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出x1+x2的值．
解：∵x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，a＝1，b＝3，
∴x1+x2＝﹣＝﹣3．
故答案为：﹣3．
8．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是 a＜3 ．
【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a﹣3＜0，然后解出a的范围即可．
解：∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，
∴P点在第二象限，
∴a﹣3＜0，
解得：a＜3，
故答案为：a＜3．
9．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 y＝﹣2（x+1）2+3 ．
【分析】根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．
10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 3 m．
【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 2﹣ ．
【分析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性质得出DE＝，最后由图可以得出S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1），将相关数值代入求解即可．
解：如图，
连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，
∴＝，解得DE＝，
∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，
∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有 ①③④ ．
【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而即可得出abc＞0，即可判断②；由将抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，即可判断③；由a＞0、b＝﹣2a，可得出3a+b＝a＞0，即可判断④．
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴m＜﹣3，③正确；
∵a＞0，b＝﹣2a，
∴3a+b＝a＞0，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解方程：
（1）4x2＝12x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）找出方程中a，b，c的值，代入求根公式计算即可求出解．
解：（1）方程移项得：4x2﹣12x＝0，
分解因式得：4x（x﹣3）＝0，
可得4x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）方程3x2﹣4x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
∵△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
14．已知函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到关于m的方程，然后解方程求出m的值；
（2）根据m的值即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
解：（1）∵函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数，
∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3；
（2）∵m＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝﹣6（x+2）2﹣5，
∴开口方向向下、对称轴是直线x＝﹣2、顶点坐标是（﹣2，﹣5）．
15．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）在图2中．
①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；
②请直接写出：点B到AC的距离为 2 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）①利用数形结合的思想解决问题即可．
②利用三角形面积公式求解即可．
解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．
（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．
②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，
解得h＝2，
故答案为：2．
16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
【分析】（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，先代入顶点A的坐标，再把B的坐标代入，即可求出a，即可得出解析式；
（2）把C的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．
解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），
依题意得：x（x+8）＝65，
整理得：x2+8x﹣65＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w，
由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
20．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x轴正半轴上，求m的值．
【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣＝0，
解得m＝3，
即m的值是3；
（2）∵抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8的顶点在x轴正半轴上，
∴
解得m＝11，
即m的值是11．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 4 个．
【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．
解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？
思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？
【分析】①先由旋转得到∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，然后由正方形的性质得到∠FAG＝∠FAE，再得证△EAF≌△GAF，最后得证结果；
②有①中的结果得到点E在BC中点时CE、BE的长，然后设DF＝x，表示出线段EF、CF的长度，最后结合勾股定理列出方程得到x的大小，即可得到点F在CD边上的位置．
解：①将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG，如图所示，证明如下，
由旋转得，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴点F、D、G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG＝45°，
∴∠FAG＝∠FAE，
∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∴EF＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE．
②∵正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上运动到中点位置，
∴BE＝BC＝3，
由①可知，DG＝BE＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴CD＝BC＝AD＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，
∴32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF＝2，
∴动点F在CD边上距离点D长为2的位置．
六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围．
解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，
即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．下载本文
