一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）﹣的绝对值是（　　）

A． B．﹣ C．3 D．﹣3

2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2    

C．5a﹣3a＝2a D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4

4．（3分）一组数据1，4，3，1，7，5的众数是（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3.5

5．（3分）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）不等式组的整数解的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

8．（3分）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°

9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．4

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为　   　．

12．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝　   　．

13．（3分）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为s甲2＝6.67，s乙2＝2.50，则这6次比赛成绩比较稳定的是　   　．（填“甲”或“乙”）

14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　   　．

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为　   　．

16．（3分）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　   　．

17．（3分）一张菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，则DF的长为　   　cm．

18．（3分）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　   　．（用含有正整数n的式子表示）

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝3．

20．（12分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　   　人；

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．

（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？

（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？

22．（12分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）

（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）

五、解答题（满分12分）

23．（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．

（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

2020年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）﹣的绝对值是（　　）

A． B．﹣ C．3 D．﹣3

【分析】依据绝对值的性质求解即可．

【解答】解：|﹣|＝．

故选：A．

2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．

故选：B．

3．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2    

C．5a﹣3a＝2a D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误．

（B）原式＝a4，故B错误．

（D）原式＝a4b2，故D错误．

故选：C．

4．（3分）一组数据1，4，3，1，7，5的众数是（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3.5

【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据；据此即可求得正确答案．

【解答】解：本题中数据1出现了2次，出现的次数最多，所以本组数据的众数是1．

故选：A．

5．（3分）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．

【解答】解：根据题意可得：袋中有4个红球、2个白球，共6个，

从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是＝．

故选：D．

6．（3分）不等式组的整数解的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．

【解答】解：解不等式3+x＞1，得：x＞﹣2，

解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，

则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，

所以不等式组的整数解有﹣1、0、1、2这4个，

故选：C．

7．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

【分析】根据甲工程队施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工2米，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：D．

8．（3分）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°

【分析】根据平行线的性质，可以得到∠ADB＝60°和∠ABD的度数，再根据三角形内角和，即可得到∠A的度数．

【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC，

∴∠ABD＝∠BDE，∠ADB＝∠CBD，

∵∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，

∴∠ADB＝60°，∠ABD＝40°，

∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝80°，

故选：B．

9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．4

【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．

【解答】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，

∵DF∥x轴，

∴得矩形OFDH，

∴DF＝OH，DH＝OF，

∵E（1，0）和点F（0，1），

∴OE＝OF＝1，∠OEF＝45，

∴AE＝EF＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵∠AEG＝∠OEF＝45°，

∴AG＝AE＝，

∴EG＝2，

∵DH＝OF＝1，

∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，

∴GH＝DH＝1，

∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，

∴D（4，1），

∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∵k＝4．

则k的值为4．

故选：C．

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断；

②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；

③根据抛物线与x轴有2个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，进而可以判断；

④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断．

【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：

a＜0，

因为对称轴在y轴右侧，

所以b＞0，

因为抛物线与y轴正半轴相交，

所以c＞0，

所以abc＜0，

所以①错误；

②因为抛物线对称轴是直线x＝1，

即﹣＝1，

所以b＝﹣2a，

所以b+2a＝0，

所以②正确；

③因为抛物线与x轴有2个交点，

所以△＞0，

即b2﹣4ac＞0，

所以b2﹣4ac+4a＞4a，

所以4a+b2＞4ac+4a，

所以③错误；

④当x＝﹣1时，y＜0，

即a﹣b+c＜0，

因为b＝﹣2a，

所以3a+c＜0，

所以④正确．

所以正确的个数是②④2个．

故选：B．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为　4.5×108　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为4.5×108．

故答案为：4.5×108．

12．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝　a（b+3）（b﹣3）　．

【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．

【解答】解：原式＝a（b2﹣9）

＝a（b+3）（b﹣3），

故答案为：a（b+3）（b﹣3）．

13．（3分）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为s甲2＝6.67，s乙2＝2.50，则这6次比赛成绩比较稳定的是　乙　．（填“甲”或“乙”）

【分析】根据方差的意义求解可得．

【解答】解：∵s甲2＝6.67，s乙2＝2.50，

∴s甲2＞s乙2，

∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙，

故答案为：乙．

14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1　．

【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4k＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（﹣2）2+4k＞0，

解得k＞﹣1．

故答案为：k＞﹣1．

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为　12　．

【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．

【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，

∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，

由作图方法可得：AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABD和△AFD中

，

∴△ABD≌△AFD（SAS），

∴BD＝DF，

∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．

故答案为：12．

16．（3分）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　66°　．

【分析】根据正五边形和电视背景下的性质得到∠EAF＝108°﹣60°＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵正五边形ABCDE，

∴∠EAB＝＝108°，

∵△ABF是等边三角形，

∴∠FAB＝60°，

∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，

∵AE＝AF，

∴∠AE＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，

故答案为：66°．

17．（3分）一张菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，则DF的长为　（3+3）或（3﹣3）　cm．

【分析】根据题意分两种情况：①如图1：根据菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，可得菱形的一个内角为30°，根据折叠可得BH＝AH＝3，再根据特殊角三角函数即可求出CF的长，进而可得DF的长；如图2，将如图1中的点A和点B交换一下位置，同理即可求出DF的长就是如图1中的CF的长．

【解答】解：①根据题意画出如图1：

∵菱形纸片ABCD的边长为6cm，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，

∵高AE等于边长的一半，

∴AE＝3，

∵sin∠B＝＝，

∴∠B＝30°，

将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，

∴BH＝AH＝3，

∴BG＝＝2，

∴CG＝BC﹣BG＝6﹣2，

∵AB∥CD，

∴∠GCF＝∠B＝30°，

∴CF＝CG•cos30°＝（6﹣2）×＝3﹣3，

∴DF＝DC+CF＝6+3﹣3＝（3+3）cm；

②如图2，BE＝AE＝3，

同理可得DF＝3﹣3．

综上所述：则DF的长为（3+3）或（3﹣3）cm．

故答案为：（3+3）或（3﹣3）．

18．（3分）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　×4n﹣1　．（用含有正整数n的式子表示）

【分析】设△ADC的面积为S，利用相似三角形的性质求出S1，S2，…Sn与S的关系即可解决问题．

【解答】解：设△ADC的面积为S，

由题意，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，

∴△ACD∽△B2B1D，

∴＝（）2＝，

∴＝4S，

∵＝＝，CB1＝2，

∴DB1＝，

同法D1B2＝，

∵DB1∥D1B2，

∴＝＝，

∴＝，

∴S1＝S+＝，

∵△A1C1D1∽△ACD，

∴＝（）2＝，

∴＝4S，

同法可得，＝，

∴S2＝4S+＝＝×4，

…

Sn＝×4n﹣1，

∵S＝×2×＝，

∴Sn＝×4n﹣1．

故答案为：．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝3．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（x﹣1﹣）÷

＝

＝

＝，

当x＝3时，原式＝．

20．（12分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　60　人；

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）根据摄影的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；

（2）用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用360°乘以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3）根据题意画出图表得出所有等可能的情况数和所选的2人恰好是1名男生和1名女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）本次被调查的学生有：9÷15%＝60（人）；

故答案为：60；

（2）航模的人数有：60﹣9﹣15﹣12＝24（人），

补全条形统计图如图：

“航模”所对应的圆心角的度数是：360°×＝144°；

（3）设两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2，列表如下：

则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是＝．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．

（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？

（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？

【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设准备购买m个A种书架，则购买B种书架（15﹣m）个，根据题意列出不等式并解答．

【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．

解得x＝80．

经检验：x＝80是原分式方程的解．

∴x+20＝100．

答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．

（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．

解得m≤10．

答：最多可购买10个A种书架．

22．（12分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）

（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）

【分析】（1）根据正切的定义求出AM；

（2）根据正切的定义求出BM，结合图形计算即可．

【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面，

∴∠AMC＝∠BMC＝90°，

在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，

tan∠ACM＝，

∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），

答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；

（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，

tan∠BCM＝，

∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，

∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）

答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．

五、解答题（满分12分）

23．（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；

（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），

，得，

即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；

（2）由题意可得，

w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，

∵a＝﹣50＜0

∴w有最大值

∴当x＜16时，w随x的增大而增大，

∵12≤x≤15，x为整数，

∴当x＝15时，w有最大值，

∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，

答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．

【分析】（1）连接OD．想办法证明OD⊥DE即可．

（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，想办法求出BF，DF即可．

解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH即可．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵AC是直径，

∴∠ADC＝90°，

∵∠EDA＝∠ACD，

∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO，

∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是半径，

∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，

∵AC是直径，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，

∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，

∴AC＝10，

∵在Rt△ABC中，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∵，

∴，

∵∠ADB＝∠ACB＝45°，

∵在Rt△ADF中，AD＝6，

∵，

∴，

∴，

∵在Rt△ABF中，

∴，

∴，

∴．

解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．

∴∠DBH＝90°，

∵AC是直径，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABD＝90°﹣∠DBC∠CBH＝90°﹣∠DBC，

∴∠ABD＝∠CBH，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵∠BCD+∠BCH＝180°，

∴∠BAD＝∠BCH，

∵AB＝CB，

∴△ABD≌△CBH（ASA），

∴AD＝CH，BD＝BH，

∵AD＝6，CD＝8，

∴DH＝CD+CH＝14，

在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2＝98，

∴．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．

（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．

【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE＝OA＝AB，进而得出∠BOE＝2∠BAE，同理得出OD＝OA＝AB，∠DOE＝2∠BAD，即可得出结论；

（2）先判断出△AOM≌△BOE（SAS），得出∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，再判断出∠MAD＝∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论；

（3）分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出OD＝OE，即可得出结论．

【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；

理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

在Rt△ABE中，点O是AB的中点，

∴OE＝OA＝AB，

∴∠BOE＝2∠BAE，

在Rt△ABD中，点O是AB的中点，

∴OD＝OA＝AB，

∴∠DOE＝2∠BAD，

∴OD＝OE，

∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝45°，

∴∠DOE＝∠BOE+DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，

∴OD⊥OE；

（2）仍然成立，

理由：如图1，延长ED到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，

∵O是AB的中点，

∴OA＝OB，

∵∠AOM＝∠BOE，

∴△AOM≌△BOE（SAS），

∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，

∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，

∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，

∴∠MAO＝135°，

∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，

∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，

∴∠MAD＝∠DCE，

∵MA＝EB，EB＝EC，

∴MA＝EC，

∵AD＝DC，

∴△MAD≌△ECD，

∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，

∵∠CDE+∠ADE＝90°，

∴∠ADM+∠ADE＝90°，

∴∠MDE＝90°，

∵MO＝EO，MD＝DE，

∴，OD⊥ME，

∵，

∴OD＝OE，OD⊥OE；

（3）①当点B在AC左侧时，如图3，

延长ED到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，

同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），

∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，

∵BE＝CE，

∴AM＝CE，

在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，

∵∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，

∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，

∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，

∴∠DAM＝∠DCE，

∵AD＝CD，

∴△DAM≌△DCE（SAS），

∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，

∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，

∵OM＝OE，

∴OD＝OE＝ME，∠DOE＝90°，

在Rt△BCE中，CE＝BC＝2，

过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，

在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，

∴EH＝CE＝，

根据勾股定理得，CH＝EH＝，

∴DH＝CD+CH＝3，

在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝＝2，

∴OD＝DE＝2，

②当点B在AC右侧时，如图4，

同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，

连接DE，过点E作EH⊥CD于H，

在Rt△EHC中，∠ECH＝30°，

∴EH＝CE＝，

根据勾股定理得，CH＝，

∴DH＝CD﹣CH＝，

在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2，

∴OD＝DE＝2，

即：线段OD的长为2或．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；

（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则，设点D的横坐标为t，则，列关于t的方程解出可得结论；

（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．

【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，

过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，

∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，

∴∠DCH＝∠ABC，

∵∠DHC＝∠COB＝90°，

∴△DCH∽△CBO，

∴，

设点D的横坐标为t，则，

∵C（0，3），

∴，

∵点B是与x轴的交点，

∴，

解得x1＝4，x2＝﹣1，

∴B的坐标为（4，0），

∴OB＝4，

∴，

解得t1＝0（舍去），t2＝2，

∴点D的纵坐标为：，

则点D坐标为；

（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

设N（m，﹣m+3），

分两种情况：

①如图2，以DF为边，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，

∵D（2，），F（0，），

∴M（m+2，﹣m+4），

代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，

解得：m＝，

∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；

②如图3，以DF为边，N在x轴的下方时，四边形DFMN是平行四边形，

同理得：M（m﹣2，﹣m+2），

代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，

解得：m＝4，

∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；

综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．下载本文