例1．计算：（1）； （2）．
解：（1）原式 =；
（2） 原式 =．
例2．已知，，求（用 a, b 表示）．
解：∵， ∴， ∴，
又∵， ∴， ∴．
例3．设，求证：．
证明：∵，∴，
∴．
例4．若，，求．
解：∵， ∴，
又∵，∴， ∴ ∴．
例5．计算：．
解：原式
．
例6．若，求．
解：由题意可得：， ∴，∴．
对数函数
例1．求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）．
分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。
解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；
（2）由得，∴函数的定义域是；
（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．
说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。
例2．求函数和函数的反函数。
解：（1） ∴ ；
（2） ∴ ．
例4．比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），； （3），.
解：（1）对数函数在上是增函数，
于是；
（2）对数函数在上是减函数，
于是；
（3）当时，对数函数在上是增函数，
于是，
当时，对数函数在上是减函数，
于是．
例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），；
（3），，； （4），，．
解：（1）∵，，∴；
（2）∵， ，∴．
（3）∵，，，
∴．
（4）∵， ∴．
例6．已知，比较，的大小。
解：∵， ∴，当，时，得，
∴， ∴．当，时，得，
∴， ∴．当，时，得，，
∴，， ∴．
综上所述，，的大小关系为或或．
例7．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）（且）．
解：（1）令，则， ∵， ∴，即函数值域为．
（2）令，则， ∴， 即函数值域为．
（3）令， 当时，， 即值域为，
当时，， 即值域为．
例8．判断函数的奇偶性。
解：∵恒成立，故的定义域为，
，所以，为奇函数。
例9．求函数的单调区间。
解：令在上递增，在上递减，
又∵， ∴或，
故在上递增，在上递减， 又∵为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减。
说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。
例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。
解：令， ∵函数为减函数，
∴在区间上递减，且满足，∴，解得，
所以，的取值范围为．
对数函数
1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )．
（A）
（B）
（C）
（D）
2.函数y=logx－1(3－x)的定义域是
如果对数有意义，求x的取值范围；
解：要使原函数有意义，则
解之得：
∴原函数的定义域为-7，-6) (-6，-5) (-1，+)
函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。
利用图像判断方程根的个数
3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。
解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；
②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；
③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。
4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．
解：由原方程可化为
，变形整理有
（*）
，，由于方程（*）的根为正根，则
解之得，从而
5．求函数的单调区间．
．解：设，，由得，知定义域为
又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数
的单调增区间为，单调减区间为
题目2】求函数的单调区间。
正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x| x＜1或x＞5}，
当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；
当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；
所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。
6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．
分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题．
解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ．
已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
解：(1)(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.
a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；
a2－1≠0时，
a＜－1或a＞ ，
∴a≤－1或a＞ .
(2)a2－1=0，即a=1时满足值域为R；
a2－1≠0时，
1＜a≤ .
∴1≤a≤ .
7的定义域为R，求a的取值范围。
【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；
②当a≠0时，由题意得：；
由①②得a的取值范围为[0，4）。
【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。
8.函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )
A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3) D.(－1，＋∞)
【解析】设t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4由(1－x)(x＋3)＞0得－3＜x＜1当x∈(－3，－1)时，t＝(1－x)(x＋3)递增∴y＝log［(1－x)(x＋3)］的递减区间是(－3，－1)
9.已知函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( )
A.0＜a＜1 B.a＞1 C.1＜a＜2 D.1＜a≤2
【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜，因此＞1∴1＜a＜2
10.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。
【解】由于2-ax-a2x>0，得-2 故当a>1时，所求的值域为（-∞，loga2）；当0 【解】 令t=log2x,x∈［1,8］,则0≤log2x≤log28即t∈［0,3］ ∴y=(log2x－1)(log2x－2)=(t－1)(t－2)=t2－3t+2=(t－)2－ t∈［0,3］ ∴当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=－. 当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2. 12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。 【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义， 则又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=103x(3-x)(0 13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．或 ； 14已知函数 ．① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； ② 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值． ①在 上单调递减，在 上单调递增．②当 时， ，当 时， ． 15、已知函数y=loga(1－ax)(a＞0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。 (1)当a＞1时，函数的定义域和值域均为(－∞，0)；当0＜a＜1时，函数的定义域和值域均为(0，+∞)。 (2)由y=loga(1－ax)，得1－ax=ay，即ax=1－ay，∴x=loga(1－ay)，∴f－1(x)=loga(1－ax)=f(x)。 ∵f(x)与f－1的图象关于直线y=x对称，函数y=loga(1－ax)的图象关于直线y=x对称。 16、.设，求函数的最大值。 、12 17、已知函数。 (1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)； 当1＜p=时，f(x)的值域为(－，1+log2(p+1))。 18、已知， 求函数的最大值和最小值 、 19：已知的减函数，则的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D． 答案：B。 解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在[0，1]上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。 20．函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值． 解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为偶函数，即 ， 21 已知f(x)= ［3－(x－1)2］，求f(x)的值域及单调区间. 分析：分清内层与外层函数. 解：令u(x)=－(x－1)2+3≤3，则f(x)≥ 3=－1，∴f(x)值域为［－1，+∞). f(x)的定义域u(x)＞0，即－(x－1)2+3＞0，x∈(1－ ，1+ ).u(x)在(1－ ，1］上递增，在(1，1+ )上递减. ∵0＜ ＜1，∴f(x)在(1－ ，1］上递减，在(1，1+ )上递增. 22已知y=log0.5(x2－ax－a)在区间(－∞，－ )上是增函数，求实数a的取值范围. 解：函数y=log0.5(x2－ax－a)由y=log0.5t与t=x2－ax－a复合而成，其中y=log0.5t为减函数，又y=log0.5(x2－ax－a)在(－∞，－ )上是增函数，故t=x2－ax－a在区间(－∞，－ )上是减函数.从而 a∈［－1， ］. 23.已知函数f(x)=loga(ax2－x)， 是否存在实数a，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，说明a可取哪些值;如果不存在，说明理由. 解：设g(x)=ax2－x. 当a＞1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x) =ax2－x在［2，4］上为增函数，故应满足 得a＞ .∴a＞1. 当0＜a＜1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)=ax2－x在x∈［2，4］上为减函数， 故 无解.∴a不存在. ∴当a＞1时，f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数. 对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一．利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 （一）图象的平移变换 例1．画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？ 解：函数的图象如果向右平移2个单位就得到的图像；如果向左平移2个单位就得到的图像，所以把的图象向右平移4个单位得到的图象 注：图象的平移变换：1.水平平移：函数，的图像，可由的图像向左（+）或向右平移个单位而得到. 2.竖直平移：函数，的图像，可由的图像向上（+）或向下平移个单位而得到. （二）图像的对称变换 例2．画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间. 解：当时，函数满足，所以是偶函数，它的图象关于轴对称。当时，。因此先画出，（）的图象为，再作出关于轴对称，与构成函数的图像，如图： 由图象可以知道函数的单调减区间是，单调增区间是 例3．画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？ 解：图象如图：把函数的图象作关于轴对称得到的图像 注：图象的对称变换：①与关于轴对称 ②与关于轴对称 ③与关于原点轴对称 ④与关于直线轴对称 ⑤的图像可将，的部分作出，再利用偶函数的图像关于轴对称，作出的图像. 二．利用对数函数的图象解决有关问题 （一）利用图像求参数的值 例4．已知函数的图像如图所示，求函数与的值. 解：由图象可知，函数的图象过点与点，所以得方程与，解出，。 （二）利用图像比较实数的大小 例5．已知，，试确定实数和的大小关系. 解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，再作的直线，可得。 注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在的部分底越大图象就越接近轴）②底都小于1时，底大图高（即在的部分底越大图象就越远离轴） （三）利用图像解有关的不等式 例6．解关于的不等式 解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为 （四）利用图像判断方程根的个数 例7．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。 解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个； ②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个； ③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。 能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质。运用数形结合的数学思想，来研究对数函数的有关问题。 对数的运算性质 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）；（2）； （3）． 证明：（性质1）设，， （性质3） 设， 由对数的定义可得 ， ∴， ∴， 即证得． 由对数的定义可得 ，， ∴， ∴， 即证得． 练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）； （2）注意有时必须逆向运算：如 ； （3）注意定义域： 是不成立的， 是不成立的； （4）当心记忆错误：，试举反例， ，试举反例。 2．例题分析： 例1．用，，表示下列各式： （2） ． （1）； （2）． 解：（1） ； 例2．求下列各式的值： （1）； （2）． 解：（1）原式==； （2）原式= 例3．计算：（1）lg1421g； （2）； （3）． 解：（1）解法一： ； 解法二： =； 说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。 （2）； （3）=． 例4．已知，，求的值。 分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。 解： ． 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。 例5．已知，求． 分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。 解：（法一）由对数定义可知： ． （法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴． （法三），∴，∴． 说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。 例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示． 解：（1）∵，∴， ∴ log 3 4 log 3 6 =． （2）∵， ∴， 又∵，∴=． 换底公式 1．换底公式： ( a > 0 , a 1 ；) 证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴， 从而得： ， ∴． 说明：两个较为常用的推论： （1）； （2）（、且均不为1）． 证明：（1）；（2）．下载本文
