在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。

 本章主要介绍求非线性方程根的一些常用方法。它们是增值寻根法、二分法、迭代法、牛顿法及割线法。这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。也即求非线性方程根的数值方法。 

第一节第一节   增值寻根法与二分法 

2.1.1 增值寻根法 

   设非线性方程f(x)=0的根为，增值寻根法的基本思想是，从初始值开始，按规定 的一个初始步长h来增值。令 =+h(n=0,1,2，…)，同时计算f()。 在增值的计算过程中可能遇到三种情形：

             (1) f()=0，此时即为方 程的根。 

(2) f()和f()同符号。这说明区间［, ］内无根。 

(3) f()和f()异号， 即有  

f()·f()＜0   

此时当f(x)在区间［, ］上连续时，方程f(x)=0在［, ］ 一定有根。也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，或均可以视为根的近似值。下一步就是设法在该区间内寻找根 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使 f(x) 更接近于零的，作为更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜-｜＜(为所要求的精度)为止。此时f()或f()就可近似认为是零。或就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）. 

                         2—1

例1  用增值寻根法求方程 f(x)=-10=0的有根区间。

解   取=-4，h=1，则计算结果如下表2-1：

     表 2-1

所以f(x)=0的有根区间为(1，2).再取=1，h=0.1，计算结果如表2-2：  

    表2-2

所以 f(x)=0 更进一步的有根区间为(1.3，1.4)  

2.1.2 二分法 

   设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)·f(b)＜0，则由连续函数性质知，方程f(x)=0在(a ,b)内至少有一实根，为以下讨论方便，设(a,b)内仅有唯一实根。

 二分法的基本思想 就是逐步对分区间［a,b］，通过判断两端点函数值乘积的符号，进一步缩小有根区间，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似值，如图。

                  2-2

具体做法 如下 ： 

用区间 ［a,b］的中点平分区间，并计算f()，同时记(,)=(a,b)，如果恰好有f()=0，则我们已经找到方程的根= 。如若不然，f()≠0，如果f()·f()＜0，则记(,)=(, ),如果f()· f()＜0，则记(,)=(, )，在后两种情形区间(,)为新的有根区 间。它包含在旧的有根区间(,)内，其区间长度是原区间的一半。对区间(，)施行同样的办法。即平分区间，求中点判断函数值乘积的符号，得到新的有根区间( ,)，它包含在区间(,)内，其区间长度是(,)的，(,)的。如此重复n次，如果还没有找到方程的精确根，此时我们得到方程的有根区间序列：   (,)，(,)，…,()，…  它满足  (,) (, ) …() … f()f()<0 -= ,n=1,2,… n-1    当n充分大时，()的长度缩小到充分小，此时 它的中点与夹在与之间，它们的距离也充分小，且序列｛｝满足 ： 上式表明    =(2)  即 序 列｛ ｝以等比数列的收敛速度收敛于。同时也表明序列｛｝是的一个 近似值序列。因此对任意给定的精度<0，总存在n， 使此时,我们可以取作为的近似值，即可满足 精度 。 

例2  用二分法求方程 f(x)==0 在［1，2］内的一个实根，且要求满足精度    

解   用二分法计算结果如表2-3： 

迭代11次，近似根 =1.3746094即 为所求，其误差这种方法的优点是简单，对 f(x) 只要求连续。它的收敛速度与 比值为的等比级数相同，它的局限性是只能用于求实根，不能用于求 复根及偶数重根。 

迭代法的基本思想 

由函数方程f(x)=0，构造一个等价方程：x=(1) 从某个近似根出发，令， n=0,1,2，… (2)  可得到序列｛｝，若｛｝收敛，即 lim=只要连续，有 也即 从而可知是方程(1)的根，也就是f(x)=0的根。此时｛｝就是 方程(1)的一个近似解序列，n越大，的近似程度就越好。若｛｝发散，则迭代 法失败。 

例1用迭代法求方程f(x)=-10=0在［1,2 ］内的一个近似根，取初始近似值. 

表2-4  

解原方程的等价方 程可以有以下不同形式： (1)(2) (3) (4)  对应的迭代公式有：  (1)  (2 )  (3)  (4) 取，列表计算如表2-2。  与上节二分法比较，(3)、(4)都得到较好的结果 ，而用二分法达到同样的精度，需要迭代27次，同时也看出迭代函数构造不同，收敛速度也不尽相同，迭代函数构造不当(如(1)，(2))，序列｛｝就不收敛。

二  迭代法的几何意义 

 以上可以看到迭代法可能收敛，也可能不收敛。一般来说从f(x)=0，构造不止一种，有的收敛，有的不收敛，这取决于的性态。方程x=的根，在几何上就是直线  y=x 与曲线y=交点的横坐标,如图2-3所示。  

         （a）                      （b）

（c）                    （d） 

图2-3中(1)、(2)收敛，(3)、(4)发散。 

三  迭代法收敛的条件 

定义1   如果在根的某个邻域B= ∈B，迭代过程，n=0,1,2，…收敛，则 称迭代过程在附近局部收敛。 

定理1  设=()，在的某个邻域B内连续，并且｜｜≤q<1，则对任何 ∈B，由迭代公式决定的迭代序列｛｝收敛于。

且｜-｜≤(3)

｜-｜≤(4) 

证：由拉格朗日中值定理，存在B，使 由已知 ｜｜≤q ,从而得  ｜-｜≤q｜｜≤…≤｜- ｜ 

所以  这样我们就证明了｛｝收敛于 。  

再由拉格朗日中值定理，存在  ，使 ==()所以 ｜｜≤q｜｜≤…≤q｜｜ (5)    

又由于 ｜｜=｜( )+() +…+()｜ ≤｜｜+｜｜+…+｜｜

所以｜｜≤(q+q +…+q+1)｜｜=｜｜

令p→+∞,有 ｜-｜≤｜ ｜ 

也即｜-｜≤｜ ｜   这样(4)式得证。

再由(5)得｜-｜≤ ｜｜   这样(3)式也得证。 

这个定理是一个很实用的收敛定理。一方面它可以判定我们所构造的迭代函数是否收敛。另一方面(3)式还可以估计迭代次数。但结果偏保守，次数也偏大，实际中很少用。通常由(4)式，当 ｜｜<(为给定精度)时，认为｜-｜<   就是满足精度的一个近似解了。 

定理2〖HTSS〗对于方程 x=,如果满足 (1)对任意x∈［ a,b］，有∈［a,b］ (2)对任意x∈［a,b］，有｜(x) ｜≤q<1 则对任意x∈ ［a,b］，迭代x =(x)所决定的序列｛x｝收敛于x=(x)的根x，且( 3)、(4)式也都成立。证明与定理1相仿，故略去。以上两定理中的条件要严格验证都较 困难，实用时常用以下不严格的标准。 有根区间［a,b］较小，对某一x∈［a,b］,｜ (x) ｜明显小于1，由(x)连续性知在的x某领域内｜(x)｜也小于1，则迭 代收敛。  

例2  考察例1中四种迭代法在根附近的收敛情况，取根的近 似 值为x=。 解   (1) 

   17.75>1不收敛

(2)     5.128>1不收敛〖ZK〗〗  (3)              0.656<1  收敛

 (4)         0.122<1收敛) 上例说明值越小，收敛速度就越快。  

四 迭代法的收敛速度 用迭代法求方程的近似根，我们不仅要构造适当的要求它收敛，而且还需要知道它的收敛速度。关于收敛速度，有如下定义： 

定义2  设序列｛x｝收敛于，令 = - x，若存在某实数p≥1 及正常数C， 使(6)  

则称序列｛x｝阶收敛。如果序列｛x｝是由=(x) 产生的，且p阶收敛，则称这种迭代过程是p阶收敛的。   

当p=1 ，且C <1时，称为线性收敛； 当p=2时，称为平方收敛(或二次收敛)； 当1同前面一样，设, =(x) ,=() 则有-=(- x) (在在与x之间)  所以=因而=||(n→∞)  若 0<<1,则迭代过程为线性收敛。 若=0，由泰勒 展开得  (x)=()+   设() ≠0,则-=(x)-()=从而〖→>0    (n→∞)  此时迭代过程为二阶收敛。 

定 理3  设在x=的根邻近有连续的p阶导数，当｜｜<1，且 ()≠0 时，迭代过程=( x)为线性收敛；而当()=0， ()≠0时为二阶收敛。

一般来说，若()=()=…=()=0，而()≠0，则称=(x)在附近为p阶收敛。 

第三节  迭代收敛的加速 

从f(x)=0构造出的迭代格式x=(x)可能收敛也可能不收敛，在收敛的情形，收敛速度也取决于｜(x)｜的大小，当｜(x)｜接 近于1时，收敛可能很慢。后两种情形都影响迭代法的应用。能否从 x=(x) 出发构造出 新的迭代形式，使收敛速度加快呢? 

一  松驰法 对x=(x)引入一个任意常数作为参数,并假设≠-1，在方程两边加上x,得(1+)x=x+(x)  于是 x=(x) (1)

显然方程 (1)与方程x=(x) 等价，若令(x)=(x)，(1)可写成  x=(x)    (2)  

为了使得用x=(x)作迭代比用x=( x)作迭代收敛的更快，我们希望 |(x)｜比｜(x)｜更小，又由于 

  (x)=(3)  

若(x)连续，则当x在根x*附近时，  (x)也在(x*)附近，为此选取=-(x*)。这样可以使 得 |(x)｜较小。但在求解过程中x*未知，故用x来代替，只要-()≠-1 ，记，于是代入(1)有松弛法迭代公式：    x (n=0,1,2,…) (4) 

称为松弛因子。松弛法的加速效果是明显的，甚至不收敛的迭代函数经加速后一般也能获得收敛。 

二 埃特金方法 

用松弛法计算时，要先算(x)，在使用时有时不太方便，假若在求 得x以后，先求出  和再利用和构造格式-由此得到埃特金（Altk en）公式：

=   =()     -

(n=0,1, 2，…)    (5)  

它的加速效果也十分明显。 

例1  分别用松弛法、 埃特金法求方程-10=0在初 值附近的一个根，取迭代格式解用松弛法计算，取

因此松弛法的迭代公式为     n=0,1,2，… 

 列表计算如下： 

表2- 3

用埃特金方法计 算，迭代格式为  

n=0,1,2，…   

列表计算如下： 

表2-4 

与上节例1中(3)与(4)相比收敛 速度明显加

第四节第四节            牛顿法 

解非线性方程 f(x)=0 的牛顿(Newton) 法，就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之 一。 

一  牛顿法的基本思想 

把非线性函数f(x)在处展开成 泰勒级数

  f(x)=f()+(x-)f′()+(x-)+ … 

取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有

  f()+(x-) f′()=0 

 设 f′()≠0 ，则其解为  x=-        (1)  

再把f(x)在x处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若

f′(x) ≠0，则得x=-如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x=-  (n=0,1,2,…)   (2)  

例1  用牛顿法求方程f(x)=x+4x-10=0在［1,2］内一个实根，取初始近似值  x=1.5 。   

解   f′(x)=3x+8x  所以迭代公式为：

x=-        n=0,1, 2，…  

列表计算如下：

二  牛顿法的几何意义 

方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值选取后，过(,f())作切线，其切线方程为：y- f()=f′()(x-) 

它与x轴交点的横坐标为x=-

一般地，设是x*的第n次近似值，过(,f()作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：x=-即用切线与 x轴交点的横坐标近似代

曲线与x轴交点的横坐标，如图2-4。 

2-4  

 牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。  

三  牛顿法的收敛性及收敛速度 

定理   设f(x)在［a,b ］满足 

(1)(1)    f(a)·f(b)<0 

(2) f(x)∈［a,b］，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。

(3) f()·f″(x)>0，、x∈［a,b］，则方程f(x)=0在［a,b］上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列｛｝收敛于方 程f(x)=0的根x*。 

由方程f(x)=0得到的牛顿迭代形式

   x=x-=   =1- = 由于f(x*)=0，所以当f′(x*)≠0时，(x* )= 0，牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。

牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。  

四  牛顿二阶导数法 

这里将简单介绍一下牛顿二阶导数法。对其几何意义及收敛性不作详细的叙述，读者可仿照牛顿法进行讨论，其基本思想是： 

 将f(x)在处展开泰勒级数  

f(x)=f()+f′()(x-)+f″()(x-)+…

取右端前三项近似代替 f(x)，于是得f(x)=0的近似方程为

  f()+f′()(x-)+f″()(x-)=0 

也即  f()+(x-)[f′()+f″()(x-)] =0   (3) 

 设其解为.利用(1)，-=-，代入(3)中括号内- ,则得  f()+(-) [f′()+f″() ]  =0 

 于是解出，得=- 

重复以上过程得：=-

于是得牛顿二阶导数法的迭代公式为：

  =-    n=0,1,2,… (4)    

上式与牛顿法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收敛更快，迭代次数更少。其缺点是要求f(x)的二阶导数存在。

第五节  割线法 

用牛顿方法解非 线性方程f(x)=0，虽然在单根附近有较高的收敛速度，但需要计算f′(x)。若f(x)比较复杂时，每次计算f′(x)带来很多不便；如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节我们介绍割线法，采取在迭代过程中不仅用前一步处的函数值，而且还使用处的函数值来构造迭代函数。这样做能提高迭代的收敛速度。  

一  割线法的基本思想 

设非线性方程 f(x)=0，其中f(x)为［a,b］上的连续函数，且f(a)·f(b)<0。设,为f(x)=0的根x*的两个初始近似值，过(,f())和(,f())作一直线， 其方程为 ：y=f()+(x-)  

当  f()≠f()时，此直线与x轴交点为=-(-) (1) 作为f(x)=0根的第二次近似值，可以预期比, 更接近于x*。重复上述过程可得, ，…， , 从而可 得割线法的迭代公式 ：

 =- (-) (n=1,2,…) (2)  

很明显，它也可由牛顿法用差商近似代替微商f′() 而 得。 若把(2)中的换为, 则得迭代公式=- (-)   (n=1,2,…) (3) 

 显然，它也可由 牛顿法用差商  近似代替微商 f′() 而得。 以上两种迭代方法都称为割线法(或弦截法)。(2)称为双点割线法。也称为有记 忆割线法。(3)称为单点割线法。它们都需要x*邻近的两个初始近似值,  才能启动。  

例1例1      用双点割线法求方程 x-3x+1=0在0.5附近的根。精确到小数点 后第六位。 

解：令f(x)= x-3x+1 

=-(-)  (n=1,2,…) 

 即=-(-)

(n=1,2,… )  取=0.5，=0.2 列表计算如下： 

表2-6

二  割线法的几何意义  

双点割线法是用过点 (,f())和(,f())两点的割线与x轴交点的横坐 标x2作为x*的新近似值。重复此过程，用过点(，f())和(,f())两点的割线法与x轴交点的横坐标来作为x*的下一新的近似值。如 图2-5。 单点迭代法则是用过点(,f())和(,f())两点的割线与x轴交点的横坐标  来作为x* 的近似值，如图2-6。 

              2-5                      2-6

三  割线法收敛的速度 

定理     设方程 f(x)=0 的根为 x* 。若f(x)在x*附近有连续的二阶导数，f′(x*)≠0，而初值, 充分接近x*， 则双点割线法的迭代过程收敛，收敛速度为｜-x*｜≈｜-x*｜ 

这说明它是超线性收敛的( p=1.618>1 )。而单点割线法在单根附近是线性收敛的。

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