数学（文科）

本试卷共5页，共23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：    

    1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

    2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

    3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

    4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则集合（   ）

A．         B．       C．       D．

2．已知是虚数单位，则复数的虚部是（   ）

A．         B．       C．3       D．-3

3．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率（   ）

A．         B．       C．        D． 

4．若直线与平面相交，则（   ）

A．平面内存在直线与异面            B．平面内存在唯一直线与平行       

C. 平面内存在唯一直线与垂直        D．平面内的直线与都相交

5．已知函数，则（   ）

A．是奇函数                     B．是偶函数     

C．既是奇函数也是偶函数         D．既不是奇函数也不是偶函数

6．函数的定义域是（   ）

A．         B．       C.         D．

7．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（   ）

A．         B．       C.6         D．12

8．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（   ）

A．         B．       C.         D．3

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A．         B．1       C.         D．3

10．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用如下：不超过50千克按0.53元/千克收费，超过50千克的部分按0.85元/千克收费，相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（   ）

A．          B．       

C.            D．

11．在中，角对应的边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（   ）

A．         B．       

C.           D．

12．已知定义在上的可导函数满足，设,,则的大小关系是（   ）

A．         B．       C.        D．的大小与的值有关

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，第13~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．          ．

14．双曲线的离心率          ．

15．设满足不等式组，则的最大值为          ．

16．如图，已知向量，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点为线段的中点，则          ．

三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. （本小题满分12分）

已知数列是递增的等比数列，且.

（Ⅰ）若，证明：数列是等差数列；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18. （本小题满分12分）

四棱锥的侧面是等边三角形，，，是棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

19. （本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的占55%.

（Ⅰ）求的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）.

20.（本小题满分12分）

已知曲线在轴右边，上的每一点到点的距离比到轴的距离多1.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）已知过点的直线与曲线有两交点，若恒成立，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）令，是否存在实数，当时，函数的最小值是3，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

请考生在第22、23二题中任选一题做答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）若，直线与轴的交点为是圆上一动点，求的最大值；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

数学（文科）参

一、选择题

1-5:       6-10:      11、12：

12.解：记，

则.

∴函数在上单调递减.

由得，

.

，即.

∴由的单调性得.

又，

∴，即.

二、填空题

13.          14.           15.2           16.5

三、解答题

17.解：（Ⅰ），且数列递增，

∴是方程的两根，.

∴.………………………………………………………………………………2分

∴，即（舍去负值）.

∴.  ………………………………………………………………………………4分

∴.…………………………………………………………………5分

∴数列是首项为3，公差为1的等差数列. …………………………………6分

………………………8分

……12分

是中点，

∴，且.……………………1分

，

∴，

∴.………………………………………………………………………………2分

又，

∴.

∴四边形是平行四边形.

∴，

，

∴.…………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）取中点，连结，

是正三角形，

∴.

，

∴.………………………………………………………………………6分

，且

∴，……………………………………………………………8分

由（Ⅰ）知底面为直角梯形，

∴，………………………………………………………10分

∴四棱锥的体积.……………………………………12分

19.解：（Ⅰ）依题意：，解得：.………………3分

将这100位顾客一次购物的结算时间看作一个容量为100的简单随机样本，用样本平均数估计顾客一次购物的结算时间的平均值：

.

∴顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟. …………………………………………6分

（Ⅱ）记事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，

“顾客一次购物的结算时间为1分钟”的概率；……………………………………7分

 “顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”的概率；………………………………8分

“顾客一次购物的结算时间为2分钟”的概率；…………………………………9分

∴.

∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7. ……………………………12分

20.解：（Ⅰ）依题意：曲线上的任意点到点的距离等于到直线的距离，

∴曲线是抛物线，方程是.………………………………………………4分

（Ⅱ）设直线的方程为，与曲线的交点为，

∴.……………………………………………………………………5分

将的方程代入抛物线方程化简得：.

∴判别式.

又，

∴,

,

.………………………………………8分

又恒成立，，

∴恒成立，

∴恒成立.

，

∴只需即可. ……………………………………………………………11分

即：.

∴所求的取值范围为.……………………………………………12分

21.解：（Ⅰ），

∴，

∴，………………………………1分

函数定义域为，

∴等价于，……………………………………………2分

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

∴函数的递增区间是，递减区间是.………………………………4分

（Ⅱ）假设存在实数，使有最小值3，

，

∴，………………………………………………………………5分

当时，在上单调递减，

∴，

∴（与矛盾，舍去）. ………………………………………………………7分

当，即时，在上，在上，，

∴，

∴.……………………………………………………………………………………9分

当，即时，，

∴，

∴（与矛盾，舍去）. ……………………………………………………11分

综上所述，存在，当时，函数的最小值是3. ……………………12分

22.解：（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，…1分

化为直角坐标方程为，即.

直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.………………3分

圆心与点的距离为，…………………………………………………4分

∴的最大值为.…………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由可得，…………………………………………………6分

∴圆的普通方程为.…………………………………………………7分

直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，

∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，

∴.…………………………………………………………………………9分

解得：或.

23.解：（Ⅰ）依题意：原不等式可化为，………………………………1分

当时，，解集为空集；……………………………………………2分

当时，，解得；………………………………3分

当时，，解得.………………………………………………4分

综上所述，所求不等式解集为.………………………………………………5分

（Ⅱ）不等式等价于.…………………………6分

（当且仅当时取等号），…………………8分

∴.

∴.

注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分。下载本文