[第23讲 不等式选讲]
(时间：30分钟)
1．设f(x)＝，m>0为常数．
(1)求证：|f(a)－f(b)|≤|a－b|；
(2)设a2＋2b2＋2c2＝4m2，求f(a)＋f(b)＋f(c)的最大值．
2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)解不等式|x－8|－|x－4|>2.
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2＋b2＋c2＝n2＋p2＋q2＝m.
(1)求m的值；
(2)求证：＋＋≥2.
专题限时集训(二十三)
1．解：(1)方法一：
|f(a)－f(b)|＝|－|＝
＝|a－b|
≤|a－b|≤|a－b|.
方法二：
|f(a)－f(b)|≤|a－b|⇔|－|≤|a－b|
⇔a2＋m2＋b2＋m2－2≤a2＋b2－2ab
⇔m2＋ab≤，
由柯西不等式得： ≥＝|ab＋m2|≥ab＋m2，
所以|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
方法三：设M(0，m)，A(a,0)，B(b,0)则由||MA|－|MB||≤|AB|得|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
(2)f(a)＋f(b)＋f(c)＝＋＋
≤＝3m，
当且仅当a2＋m2＝4(b2＋m2)＝4(c2＋m2)且a2＋2b2＋2c2＝4m2.
即a＝±m，b＝±m，c＝±m时取等号．
所以f(a)＋f(b)＋f(c)最大值为3m.
2．解：(1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a,6－a<0时无解，
∴6－a≥0，∴a－6≤2x－a≤6－a，
即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，
则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝
φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
3．解：(1)f(x)＝
图象如下：
(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2，
由－2x＋12＝2得x＝5.
由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．
4．解：(1)方法1：f(x)＝|x－2|＋|x－4|＝可得函数的最小值为2.故m＝2.
方法2：f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2，当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m＝2.
(2)证明： 2＋2＋2·(a2＋b2＋c2)≥·a＋·b＋·c2，即＋＋×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4，故＋＋≥2.下载本文
