第四章
4-1. 试求图示各梁中截面1、2、3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或D。设p、q、a均为已知。
解：（c）
（1）截开1截面，取右段，加内力
（2）求内力
（3）截开2截面，取右段，加内力
（4）求内力
（d）
（1）求约束反力
（2）截开1截面，取左段，加内力
（3）求1截面内力
（4）截开2截面，取左段，加内力
（5）求2截面内力
（6）截开3截面，取右段，加内力
（7）求3截面内力
（f）
（1）求约束反力
（2）截开1截面，取左段，加内力
（3）求1截面内力
（4）截开2截面，取右段，加内力
（5）求2截面内力
4-3. 已知图示各梁的载荷P、q、M0和尺寸a。(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3)确定Qmax和Mmax。
解：（a）
（1）求约束反力
（2）列剪力方程和弯矩方程
（3）画Q图和M图
（4）最大剪力和最大弯矩值
（b）
（1）求约束反力
（2）列剪力方程和弯矩方程
（3）画Q图和M图
（4）最大剪力和最大弯矩值
（c）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（d）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（e）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（f）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（g）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（h）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（i）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（j）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（k）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
（l）
（1）求约束反力
（2）直接画Q图和M图
（3）最大剪力和最大弯矩值
4-9. 作图示刚架的剪力图和弯矩图。
解：（a）
（1）求约束反力
（2）分析AC和BC的受力
（3）直接画Q图和M图
（b）
（1）求约束反力
（2）分析AB和CD的受力
（3）直接画Q图和M图
（c）
（1）求约束反力
（2）分析AB、BC和CD的受力
AB
BC
CD
（3）直接画Q图和M图
4-16. 写出图示各曲杆的轴力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。曲杆的轴线皆为圆形。
解：（1）求约束反力
（2）写内力方程
AC弧段
AC弧段
Q(θ)
P
N(θ)
C
M(θ)
θ
A
O
NA
（3）画弯矩图
AC弧段内，弯矩单调递增；
CB弧段内
令
求极值
画弯矩图
5-1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m，h/b=2/3，q=10kN/m，[]=10MPa，试确定此梁横截面的尺寸。
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：
（2）计算抗弯截面模量
（3）强度计算
5-2. 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[]=160MPa，试求许可载荷。
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：
（2）查表得抗弯截面模量
（3）强度计算
取许可载荷
5-3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是C和B截面
（2）计算危险截面上的最大正应力值
C截面：
B截面：
（3）轴内的最大正应力值
5-8. 压板的尺寸和载荷如图所示。材料为45钢，s=380MPa，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：危险截面是A截面，截面弯矩是
（2）计算抗弯截面模量
（3）强度计算
许用应力
强度校核
压板强度足够。
5-12. ⊥形截面铸铁梁如图所示。若铸铁的许用拉应力为[t]=40MPa，许用压应力为[c]=160MPa，截面对形心zc的惯性矩Izc=10180cm4，h1=96.4mm，试求梁的许用载荷P。
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是A和C截面
（2）强度计算
A截面的最大压应力
A截面的最大拉应力
C截面的最大拉应力
取许用载荷值
5-15. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[l]=40MPa，许用压应力[c]=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形截面倒置成为⊥形，是否合理？何故？
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是B和C截面
（2）计算截面几何性质
形心位置和形心惯性矩
（3）强度计算
B截面的最大压应力
B截面的最大拉应力
C截面的最大拉应力
梁的强度足够。
（4）讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B截面上。
梁的强度不够。
5-20. 试计算图示工字形截面梁内的最大正应力和最大剪应力。
解：（1）画梁的剪力图和弯矩图
最大剪力和最大弯矩值是
（2）查表得截面几何性质
（3）计算应力
最大剪应力
最大正应力
5-22. 起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q=50kN，起重量P=10kN。许用应力[]=160MPa，[]=100MPa。若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选定工字钢型号，然后再按剪应力强度条件进行校核。
解：（1）分析起重机的受力
由平衡方程求得C和D的约束反力
（2）分析梁的受力
由平衡方程求得A和B的约束反力
（3）确定梁内发生最大弯矩时，起重机的位置及最大弯矩值
C截面：
此时C和D截面的弯矩是
D截面：
此时C和D截面的弯矩是
最大弯矩值是
（4）按最大正应力强度条件设计
查表取25b工字钢（W=423cm3），并查得
（5）按剪应力强度校核
当起重机行进到最左边时（x=8m），梁内剪应力最大；
最大剪力值是
剪应力强度计算
剪应力强度足够。
7-2. 在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。
解：（a）
（1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
（b）
（1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆：为一点圆
（c）
（1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
（d）
（1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试用解析法和应力圆求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解：（e）
（1）应力分量
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）主平面位置及主应力方向
（4）最大剪应力
（5）应力圆
τ
(0,20)
26.6o
σ
-84.7
4.7
(-80,-20)
（f）
（1）应力分量
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）主平面位置及主应力方向
（4）最大剪应力
（5）应力圆
7-10. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
解：（1）A点的应力状态
τxy
σx
属二向应力状态，应力分量是
（2）斜截面的应力：
（3）主方向
（4）主应力
（5）主单元体
7-11. 图示简支梁为36a工字梁，P=140kN，l=4m。A点所在截面在P的左侧，且无限接近于P。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力及主平面位置。
解：（1）A截面上的剪力和弯矩
（2）A点的应力状态
（3）截面几何性质
（4）应力分量
（5）斜截面上的应力
（6）主方向
（7）主应力
7-13. 二向应力状态如图所示，应力单位为MPa。试求主应力并作应力圆。
80
τ
50
τ
50
60o
80
解：（1）用垂直面截得
其中
（2）求应力分量
（3）主应力
（4）应力圆
7-16. 试求图示各应力状态的主应力及剪应力，应力单位为MPa。
解：（1）z面为一主平面，其上面的正应力为一主应力；
（2）分析xy平面的应力分量
（3）求主应力大小
（4）最大剪应力
7-17. 列车通过钢桥时用变形仪量得钢桥横梁A点的应变为x=0.0004，y= -0.00012。试求A点在x-x和y-y方向的正应力。设E=200GPa，μ=0.3。
解：根据广义虎克定义：
解得
7-18. 在一体积较大的钢块上开一个贯通的槽，其宽度和深度皆为10mm。在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸为10mm×10mm×10mm。当铝块受到压力P=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=70GP,=0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。
解：（1）z方向的应力
（2）x面是自由面，x方向的正应力为零，即
（3）y方向的线应变为零
（4）x 、y、z三个方向是主方向，主应力是
（5）三个方向的线应变和变形
7-19. 从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得=30MPa，=15MPa。材料E=200GPa。=0.30。试求对角线AC的长度改变l。
解：（1）应力分量
（2）求30o和-60o斜截面上的正应力：
（3）求30o方向的线应变
（4）求AC的长度变化
7-25. 某厚壁筒横截面如图所示。在危险点处，t=500MPa，r=-350MPa，第三个主应力垂直于图面是拉应力。且其数值为420MPa。试按第三和第四强度理论计算其相当应力。
解：（1）危险点处的主应力为：
（2）按第三强度理论计算其相当应力
（3）按第四强度理论计算其相当应力
7-26. 铸铁薄管如图所示。若管的外径为200mm，厚度 t=15mm，内压力p=4MPa，P=200kN。铸铁的抗拉许用压力[t]=30MPa，=0.25。试用第二强度理论和第一强度理论校核薄管的强度。
解：（1）应力状态
（2）计算应力
（3）用第一强度理论校核
（4）用第二强度理论校核
（5）结论：强度足够。下载本文
