[第3讲　函数与方程、函数模型及其应用]

(时间：45分钟)

1．函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

2．有一组实验数据，如下表：

A．v＝log2t  B．v＝2t－2

C．v＝  D．v＝2t－2

3．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为(　　)

A．3  B．2  C．1  D．0

4．函数f(x)＝3cosx－log2x－的零点个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

5．如图3－1的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)

图3－1

6．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是(　　)

A．12 cm3  B．15 cm3

C．18 cm3  D．16 cm3

7．已知函数f(x)＝则下列关于函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数的判断正确的是(　　)

A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点

B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点

C．无论k为何值，均有2个零点

D．无论k为何值，均有4个零点

8．已知函数f(x)＝|2x－1|，则函数g(x)＝f(f(x))＋lnx在(0,1]上的不同零点个数为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

9．已知5的展开式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．

10．一个工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________________________________________________________________________，

该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)

11．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为________．

12．已知定义在区间(－2,2]上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x，若g(x)＝f(x)－mx－m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________________．

13．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈，若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．

(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；

(2)省规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

14．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y(万元)与技术改造投入x(万元)之间的关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x＝时，y＝a2；③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,1]．

(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；

(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．

专题限时集训(三)

【基础演练】

1．B　[解析] f(x)为单调增函数，根据函数的零点存在定理得到f(1)f(2)＝(－1)×<0，故函数的一个零点在区间(1,2)内．

2．C　[解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v＝满足．故选C.

3．C　[解析] f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在(0,2)上恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，∴f(x)在(0,2)上只有一个零点．故选C.

4．B　[解析] 在同一坐标系内画出函数y＝3cosx和y＝log2x＋的图象，可得交点个数为3.

【提升训练】

5．B　[解析] 分析选项中所给图象，只有零点两侧的函数值是同号的，不能用二分法求解．故选B.

6．C　[解析] 设小正方形的边长为x，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，由V′＝0得x＝1或x＝(舍去)，V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，∴V最大值＝18.

7．B　[解析] 当k>0时，若f(x)＝－1，则x＝－或x＝.若f[f(x)]＝－1时，f(x)＝－或f(x)＝.若f(x)＝－，则x＝－或x＝e－；若f(x)＝，则x＝或x＝e.当k>0时，－＝关于k无解；e－＝e关于k无解．所以此时函数y＝f[f(x)]＋1有四个零点．(注意必须说明四个零点互异)

当k<0时，f(x)＝－1，在x≤0时无解，在x>0时的解为x＝，所以f[f(x)]＝－1时，只有f(x)＝，此时当x≤0时，x＝>0，此时无解，当x>0时，解得x＝e.故在k<0时，函数y＝f[f(x)]＋1只有一个零点．(本题主要是对函数概念的理解、指数与对数运算的转换)

8．B　[解析] f(x)＝

f(f(x))＝当≤x≤1时，g(x)＝4x－3＋lnx，则g′(x)＝4＋>0在≤x≤1上恒成立．

故g(x)在≤x≤1上为单调递增函数，

又g＝ln<0，g(1)＝1>0，故在≤x≤1上有1个根．

同理可分析得在≤x<，≤x<上各有1个根，在0综上可知在(0,1]上，方程g(x)＝0共有3个根．

9.　[解析] 按二项式公式展开得T＝2，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，

等价于函数y1＝f(x)与y2＝k(x＋1)的图象有4个交点，再利用数形结合可得k∈.

10．y＝　16

[解析] 只要把成本减去即可，成本为x＋100，故得函数关系式为y＝

当020时y<140，故年产量为16件时，年利润最大．

11．2　[解析] 依题意，当x>1时，lnx>0，sgn(lnx)＝1，则f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝，结合x>1得x＝e；当x＝1时，lnx＝0，sgn(lnx)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符合；当012．0[解析] 当x∈[0,2]，f(x)＝x，所以x∈(－2,0)时利用f(x＋2)＝计算出f(x)＝，然后画出f(x)在x∈(－2,2]上的图象．若g(x)＝f(x)－mx－m有两个不同零点，则y＝f(x)和y＝mx＋m有两个不同的交点，也就是过定点(－1,0)的直线y＝mx＋m和f(x)在x∈(－2,2]上的图象有两个交点．结合图象发现当013．解：(1)当x＝0时，t＝0；

当0(2)当a∈时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋，

则g(t)＝

∵g(t)在[0，a]上单调递减，在上单调递增，

且g(0)＝3a＋，g＝a＋，g(0)－g＝2.

故M(a)＝＝

∴当且仅当a≤时，M(a)≤2.

故当0≤a≤时不超标，当14．解：(1)设y＝k(a－x)x，由当x＝时，y＝a2，可得k＝4，

∴y＝4(a－x)x.

由0≤≤t得

又x≥0，所以由①得a－x>0，即0≤x②可化为x≤2(a－x)t，∴x≤，

因为t∈[0,1]，所以综上可得函数f(x)＝4(a－x)x，定义域为，其中t为常数，且t∈[0,1]．

(2)y＝4(a－x)x＝－42＋a2，

当≥时，即≤t≤1，x＝时，ymax＝a2，

当<，即0≤t<时，y＝4(a－x)x在上为增函数，∴当x＝时，ymax＝.

答：当≤t≤1时，投入x＝，附加值y最大，为a2万元；

当0≤t<时，投入x＝，附加值y最大，为万元．下载本文