2015全国高考数学(文科)分类汇编解析几何_动视

2015全国高考数学(文科)分类汇编解析几何

2025-09-24 07:09:47 责编:小OO

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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绝密★启用前

2015-2016学年度?学校11月月考卷

试卷副标题

考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分

一、选择题（题型注释）

1．【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（） A ．()()22

111x y -+-= B ．()()22

111x y +++=

C ．()()22

112x y +++= D ．()()22

112x y -+-=

2．【2015高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2

＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：（x

－5）2＋y 2＝r 2

（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）（1，3）（B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）

3．【2015高考安徽，文8】直线3x+4y=b 与圆2

2210x y x y +--+=相切，则b=（）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 4．【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为

，E 的右焦点与抛物线2

:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = （）

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

5．【2015高考重庆，文9】设双曲线22

221(a 0,b 0)x y a b

-=>>的右焦点是F ，左、右顶

点分别是12A ,A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为（）

试卷第2页，总9页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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（A ）12±

（B ）22

± （C ）1± （D ）2± 6．【2015高考四川，文7】过双曲线2

y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝（）（A ）

（B ）23 （C ）6 （D ）43 7．【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（）

A ．(1,0)-

B ．(1,0)

C ．(0,1)-

D ．(0,1)

8．【2015高考广东，文8】已知椭圆22

2125x y m

+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（）

A ．9

B ．4

C ．3

D ．2

9．【2015高考天津，文5】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为(2,0)F ，

且双曲线的渐近线与圆()

y 3x -+=相切，则双曲线的方程为（）

（A ）

221913x y -= （B ）221139x y -= （C ）2

213x y -= （D ）2

y x -= 10．【2015高考湖南，文6】若双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此

双曲线的离心率为（） A 、

B 、54

C 、43

D 、53

11．【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（）

（A ）22

14y x -= （B ）2

214

x y -= （C ）22

12y x -= （D ）2

212

x y -= 12．【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()

b a b ≠

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >

13．【2015高考福建，文11】已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ．短轴

的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

，则椭圆E 的离心率的取值范围是（） A ．3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3

[,1)2

D ．3[,1)4

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分

二、填空题（题型注释）

14．【2015高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2

0x y r r +=>相交于A,B

两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____．

15．【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 16．【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =．

（Ⅰ）圆C 的标准．．

方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________．

17．【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线2

:18

y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()

0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．

18．【2015高考浙江，文15】椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直

线b

y x c

的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是． 19．【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2

21y x b

-=（0b >）的一个焦点，

则b = ．

20．【2015高考上海，文7】抛物线)0(22

>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ．

21．【2015高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14

=-y x ，

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为．

22．【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22

221x y a a

-=0,0a b >>（）

的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ．若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．评卷人得分

三、解答题（题型注释）

23．【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆

1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．

（1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；

若不存在，说明理由．

24．【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2

231x y -+-=交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）12OM ON ⋅=

，其中O 为坐标原点，求MN ．

25．【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>点O 为坐标原

点，点A 的坐标为(,0)a ，点B 的坐标为（0，b ），点M 在线段AB 上，满足2,

BM MA =直线OM 的斜率为

．（Ⅰ）求E 的离心率e ；

（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ），N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．

26．【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2

33x y +=，过点()

D 1,0且不过点()2,1

E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；

（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．

27．【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2

:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)

A m

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；

（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．

28．【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

29．【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也

是椭圆22

222:1y x C a b

(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，

过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD

同向．

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:_

_____

___姓名：___

_____

__班级：______

___

_考号：_

____

___ ○

…

内

…

○

…

…装

…

……

○…

…

订…

…

○

…

………线…………○………… （Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）若AC BD =，求直线l 的斜率． 30．【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b b αα的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：22

22+=144x y a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值． 31．【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2． 32．【2015高考四川，文20】如图，椭圆E ：22221x y a b +=（a>b>0）的离心率是22，点P （0，1）在短轴CD 上，且PC PD ⋅ ＝－1

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 33．【2015高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆22

221(a b 0)x y a b +=>>的上

顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5

，

（Ⅰ）求直线BF 的斜率；（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M ，||=||PM MQ l ．

（ⅰ）求l 的值；

（ⅱ）若75

||sin =9PM BQP Ð，求椭圆的方程．

34．【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线211

C 4y x =：，圆

222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点．

（1）求点A ，B 的坐标；

（2）求PAB ∆的面积．

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公

共点为切点．

A D

C O x y P

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:_

_____

___姓名：___

_____

__班级：______

___

__考

号：_

____

___ ○

…

内

…

○

…

…装

…

……

○

…

订…

…

○

…

………线…………○………… 35．【2015高考重庆，文21】如图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）的左右焦点分别为1F ，2F ，且过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥1PF ．（Ⅰ）若|1PF |=2+2，|2PF |=2-2，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若|PQ|=λ|1PF |，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围． 36．【2015高考上海，文22】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S ．（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．

参

1．D

【解析】由题意可得圆的半径为2r =，则圆的标准方程为()()22

112x y -+-=，故选D ．【考点定位】圆的标准方程．

【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，

半径为r 的圆的标准方程是()()22

2x a y b r -+-=． 2．D

【解析】不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，

代入抛物线方程有：y 2－4ty －4m ＝0

则△＝16t 2＋16m ＞0

又中点M （2t 2＋m ，2t ），则k MC k l ＝－1

即m ＝3－2t 2

当t ＝0时，若r ≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，

若0＜r ＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t 的直线恰有2条即可．

当t ≠0时，将m ＝3－2t 2代入△＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3

又由圆心到直线的距离等于半径，

可得d ＝r ＝

2222|5|222111m t t t t -+==+++ 由0＜t 2＜3，可得r ∈（2，4）．选D

【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力．

【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论．在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在（t ＝0）时也必须要有两条直线满足条件．再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可．属于难题．

3．D

【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b

＝1⇒2

=b 或12,故选D ．

【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用．

【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；

若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力．

4．B

【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2，0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2，0），

∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，c=2， ∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612

x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2，3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B ．

【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质

【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质．

5．C

【解析】由已知得右焦点(,0)F c （其中)0,222>+=c b a c ，

)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(2

b c C a b c B -，从而),(),,(2

221a

b a

c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以120AB A C ⋅= ，即0)()()()(2

2=⋅-++⋅-a

b a b a

c a c ，化简得到1122±=⇒=a b a

b ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C ．

【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积．

【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a 与b 的关系式来求解．本题属于中档题，注意运算的准确性．

6．D

【解析】由题意，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，

渐近线方程为y ＝±3x

将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±23

故|AB|＝43，选D

【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力．【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别．本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB|的值．属于中档题． 7．B

【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2

x =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B

【考点定位】抛物线方程和性质．

【名师点睛】1．本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值．本题属于基础题，注意运算的准确性．2．给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键． 8．C

【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．

【考点定位】椭圆的简单几何性质．

【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，

即椭圆22221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222

a b c =+．

9．D

【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()

y 3x -+=相切得

23b a b

=+，由

222c a b =+=，解得1,3a b ==，故选D ．

【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力．

【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题，虽有一定的综合性，但方法容易想到，仍属于基础题．不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因． 10．D

【解析】因为双曲线22

221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），

2225

349163

c b a c a a e a ∴=∴-=∴=

，（），=．故选D ．【考点定位】双曲线的简单性质

【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形

结合上找突破口．与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线22

221x y a b -=共渐近线的可

设为2222(0)x y a b λλ-=≠；（2）若渐近线方程为b y x a =±，则可设为222

2(0)x y a b λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；（4）22

21(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的

斜率为22

1b c a e a a -==-．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张

口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置．

11．A

【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A ．【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式．

【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆． 12．D

【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22

221x y a b

-=，则双曲线2C 的方程

为：

()()x y a m b m -=++，所以

222

1a b b e a

，

222

()()()1()a m b m b m e a m a m ++++==+

++，当a b >时， ()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以2

b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，

()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b

a m a

+<+，所以2

b m b a m a +⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

，所以21e e <；故应选D ．【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系．【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性． 13．A

【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以

142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则

b ≥，故1b ≥，从而221a

c -≥，203c <≤，

03c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是3

(0,

，故选A ．【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将4A F B F +

=转化为

142AF AF a +==，进而确定a 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概

念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量,,a b c 满足的不等量关系，以确定c

的取值范围． 14．

【解析】如图直线3450x y -+=与圆222

0x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且120o

AOB ∠=，则圆心（0，0）到直线3450

x y -+=

的距离为1

r ，225

1234

r r =∴+，=2 ．故答案为2．

【考点定位】直线与圆的位置关系

【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，

则222

().2

l r d =-本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再

根据点到直线距离公式列等量关系． 15．250x y +-=

【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=，故填：250x y +-=．【考点定位】圆的切线．【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解．

本题属于基础题，注意运算的准确性．

16．（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）12--．

【解析】设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半

径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=，即02y r ==，所以圆C 的标准方程为

22(1)(2)2x y -+-=，

令0x =得：(0,21)B +．设圆C 在点B 处的切线方程为(21)kx y -+=，则圆心C 到其距离为：

221

k d k -++=

=+，解之得1k =．即圆C 在点B 处的切线方程为x (21)y =++，于

是令0y =可得

x 21=--，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为12--，故应填

22(1)(2)2x y -+-=和12--．

【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题．【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力．其解题突破口是观察出点C 的横坐标． 17．126

【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，

∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线， ∵()

0,66A ，1F （－3，0），∴直线1AF 的方程为

1366x y +=-，即326

x =-代入

y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-（舍），所以P 点的纵

坐标为26，

∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=

66662622

⨯⨯-⨯⨯=126．

【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题

【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路． 18．

【解析】设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有1222n b

m c c

n b m c

⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得

3222222,c b bc bc m n a a --==，所以3222222(

,)c b bc bc

Q a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得22

2a c =，所以离心率22

c e a ==．【考点定位】1．点关于直线对称；2．椭圆的离心率．

【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率．利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于,a c 的方程，由此计算离心率．本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力． 19．3

【解析】由题意知2,1c a ==，222

3b c a =-=，所以3b =．

【考点定位】双曲线的焦点．

【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何

性质，即双曲线22

221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中

222c b a =+．

20．2

【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以

，即2=p ．【考点定位】抛物线的性质，最值．【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小．

21．14

2=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率2

1=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，

设2C 的方程为)0,0(122

22>>=-b a b y a x ，

所以2==b a ，所以2C 的方程为14

2=-y x ．【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率．

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的斜率与离心率的关系，如

．

22．23+

【解析】双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c ．不妨设所作直线与双曲线的渐近线b

y x

a =平行，其方程为()b

y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由

2222a c a c

+=，得2()410c c a a -+=，解之得23c a =+，23c

a =-（舍去，因为离心

率

>），故双曲线的离心率为23+．【考点定位】1．双曲线的几何性质；2．直线方程．

【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率．本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想．

23．（1）()3,0；（2）492322

=+⎪⎭⎫ ⎝⎛

-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤

≤-k 或3

k =±．

【解析】

试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．

试题解析：（1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2

234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为

()3,0

（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l ．

设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以

130000-=⋅-x y x y ，所以032

0020=+-y x x ，即4923202

0=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-y x ．因为动直线l 与圆1C 相交，所以

32<+m m ，所以5

42<

m ．所以202

054x x m y <

=，所以202

005

43x x x <-，解得350>x 或00300≤33

0≤所以),(00y x M 满足49232

+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-y x ⎪⎭

⎫

⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322

=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ．

（3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线．

结合图形，492322

=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛352,35的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧．设P ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

352,35

，则75

5435

2=-

=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，

4232=

+-k k k

，解得43±=k ．在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <．

结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当25

k ≤≤

或34k =时，直线L 与x 轴对称

下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当25

k -

≤<或34k =-时，直线L 与

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点．

综上所述，当7

2752≤

≤-

k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．

考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系．

【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线l 与圆1C 相交于不同的两点A ，B ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆

22D F 0x y x y +++E +=的圆心D ,22E ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，直线与圆相交⇔d r <（d 是圆心到直线

的距离），直线与圆相切⇔d r =（d 是圆心到直线的距离）．

24．（Ⅰ）4747,33骣-+琪琪桫

（Ⅱ）2

【解析】试题分析：（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐

标公式及12OM ON ⋅=

列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|．

试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．

因为l 与C 交于两点，所以

|231|11k k

-+<+．

解得

k -+<<

．所以k 的取值范围是4747

,33骣-+琪琪桫

．

（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．将1y kx =+代入方程()

()2

231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,

所以1212

4(1)7

,.11k x x x x k k ++=

=++

2121212122

4(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k

+?+=++++=++,

由题设可得

4(1)

8=121k k k

+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+．故圆心在直线l 上，所以||2MN =．

考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题． 25．（Ⅰ）25

（Ⅱ）详见解析．【解析】

（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又10

OM k 从而1052=

a b ．进而b b a c b a 2,522=-=

=，故5

a c e ．（Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2

b a ，可得⎪⎭

⎫

⎝⎛=65,6b a NM ．又()b a AB ,-=，从而有()

2256

16561a b b a NM AB -=+-

=⋅ 由（Ⅰ）得计算结果可知,52

2b a =所以0=⋅NM AB ，故AB MN ⊥．

【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识．

【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力． 26．（Ⅰ）

；（Ⅱ）1；（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行．【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．（Ⅰ）先将椭圆方

程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c

e a

计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率

存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和

12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行．

试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2

213

x y +=．所以3a =，1b =，2c =．

所以椭圆C 的离心率6

c e a =

．（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -．直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--．令3x =，得1(3,2)M y -．所以直线BM 的斜率11

2131

BM y y k -+=

=-．

（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =．又因为直线D E 的斜率10

121

DE k -=

=-，所以//BM DE ．当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为111

1(2)2

y y x x --=

--．令3x =，得点1113

(3,

y x M x +--．

由2233(1)

x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=．所以2122613k x x k +=+，2122

13k x x k -=+．

直线BM 的斜率112

23BM

y x y x k x +---=-．

因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)

1(3)(2)

BM k x x k x x x x k x x -+--------=

121221(1)[2()3)

(3)(2)

k x x x x x x --++-=

213312(1)[3)1313(3)(2)

k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，

所以1BM DE k k ==．

所以//BM DE ．

综上可知，直线BM 与直线D E 平行．

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系．

【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，

即椭圆22221x y a b

+=（0a b >>）的离心率c

e a =，过()111,x y P ，()222,x y P 的直线斜率

y y k x x -=

-（12x x ≠），若两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则

12//l l ⇔12k k =且12b b ≠．

27．（Ⅰ）2

4y x =；（Ⅱ）详见解析．

【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22

A =+．因为F 3A =，即232

=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =．（Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 2

4y x =上，

所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()

2,22A ．由()

2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．

由()22214y x y x

⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，

解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫

B - ⎪⎝⎭

．又()G 1,0-，

所以()G 22022213k A -=

--，()G 2022

1312

k B --==---，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等，故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，

所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()

2,22A ．由()

2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．

由()22214y x y x

⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =

，从而1,22⎛⎫

B - ⎪⎝⎭

．又()G 1,0-，故直线G A 的方程为223220x y -+=，

从而2222

r +=

+．又直线G B 的方程为223220x y ++=，

所以点F 到直线G B 的距离2222

d r +=

=+．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．

【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定题．直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明GF GF ∠A =∠B 即可，这样可以把问题转化为判断G G 0k k A B +=，高效解题的过程就是优化转化的过程．

28．（Ⅰ）22

1.1

x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最

小值8．【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立．所以椭圆C 的

中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为22

1.1

x y +=

（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482OPQ S ∆=⨯⨯=．

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2l y kx m k =+≠±，由22

,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩

消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以

22224(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即221m k =+． ①

又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩

可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m

Q k k -++．

由原点O 到直线PQ 的距离为2

||1m d k =

+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得

111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，

41281441

OPQ

k m S k k ∆+==--．当

k >

时，

2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2

104k ≤<时，222

4128()8(1)1414OPQ k S k k

∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以2

8(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8．【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．

【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解．其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识．

29．（Ⅰ）22198y x += ；（Ⅱ）

±．【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题通过F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，可得22

1a b -=，

根据1C 与2C 的公共弦长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称可得

14a b

+=，然后得到对

应曲线方程即可；（Ⅱ）设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 根据AC BD =

，

可得

2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，联

立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果．

试题解析：（Ⅰ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①；又1C 与2C 的公共弦长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3

(6,)2±，22

9614a b

∴+= ②，

联立①②得2

9,8a b ==，故2C 的方程为22

198

y x +=。（Ⅱ）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y

因AC 与BD

同向，且AC BD =，

所以AC BD =

，从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是

2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+- ③

设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，

由214y kx x y

=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④ 由22118

9y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)160k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，

3434

,98k x x x x k k +=-

=-++， ⑤ 将④、⑤代入③，得232

222116(1)(98)98k k k k ⨯+=+++。即222

169(1)16(1)(98)

k k k ⨯++=+ 所以22(98)169k +=⨯，解得6

k =±

，即直线l 的斜率为±

【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质

【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程

组，解出a 2，b 2

，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．

30．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）||2||

OQ OP =；（ⅱ）6 3. 【解析】

（Ⅰ）由题意知2231

1,4a b +=又2232

a b a -=

，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2

2 1.4

x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为

x y +=．（ⅰ）设00||

(,),

,||

OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--．因为22

00 1.4x y +=又2200()()11x y λλ--+=，即22200() 1.44

x y λ+= 所以2λ=，即

2.||

OQ OP = （ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得

222

(14)84160k x k m x

m ++

+-=，由0,∆>可得22416m k <+①

则有21212

228416

,.1414km m x x x x k k -+=-=++所以22122

41||.14k m x x k +--=+因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积

2222212222(1)12||1||||21414k m m m k m S m x x k k +-+-=-==

++2222

2(4).1414m m k k =-++

设2

.14m t k

=+将直线y k x

=+代入椭圆

的方程，可得

222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+②

由①②可知2

01,2(4)24.t S t t t t <≤=-=-+故23S ≤．

当且仅当1t =，即22

14m k =+时取得最大值2 3.

由（Ⅰ）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为6 3.

【考点定位】1．椭圆的标准方程及其几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．距离与三角形面积；4．转化与化归思想．

【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等，解答本题的主要困难是（Ⅱ）中两小题，首先是通过研究,P Q 的坐标关系，使（Ⅰ）得解，同时为解答（Ⅱ）提供简化基础，即认识到ABQ ∆与OAB ∆的面积关系，从而将问题转化成研究OAB ∆面积的最大值．通过联立直线方程、椭圆方程，并应用韦达定理确定“弦长”，进一步确定三角形面积表达式，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高．

本题是一道能力题，属于难题．在考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想．本题梯度设计较好，层层把关，有较强的区分度，有利于优生的选拔．

31．（Ⅰ）2

212

x y +=；（Ⅱ）证明见解析．①②③ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意知

,12

c b a ==，由222a b c =+，解得2a =，继而得椭圆的方程为2

212

x y +=；（Ⅱ）设()11P x y ，()22Q x y ，则120x x ≠，由题设知，直线PQ 的方程为

(1)1(2)y k x k =-+≠，代入

212

x y +=，化简得

22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，则1224(1)12k k x x k -+=

+①，12

2(2)

12k k x x k -=+②，由已知0∆>，从而直线AP 与AQ 的斜率之和1212

AP AQ y y k k x x +++=

化简得12

2(2)

AP AQ x x k k k k x x ++=+-，把①②式代入方程得2AP AQ k k +=．试题解析：（Ⅰ）由题意知

,12

c b a ==，综合222a b c =+，解得2a =，所以，椭圆的方程为2

212

x y +=．（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2

212

x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，

由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠ 则121222

4(1)2(2)

,1212k k k k x x x x k k

--+=

=++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和

12121211

1122AP AQ y y kx k kx k

k k x x x x +++-+-+=

+=+

121212112(2)2(2)x x

k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭

()

4(1)

222(21)22(2)

k k k k k k k k -=+-=--=-．

【考点定位】1．椭圆的标准方程；2．圆锥曲线的定值问题．【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果．

32．（Ⅰ）22

142

x y +=（Ⅱ）存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值－3 【解析】（Ⅰ）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ）

又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅

＝－1

于是22221122b c

a b c ⎧-=-⎪

⎪=⎨⎪⎪-=⎩

，解得a ＝2，b ＝2

所以椭圆E 方程为22

142

x y +=．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1

A ，

B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）

联立22

142

1x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩

，得（2k 2＋1）x 2

＋4kx －2＝0 其判别式△＝（4k ）2

＋8（2k 2

＋1）＞0 所以121222

,2121k x x x x k k +=-

=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅

＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k 2

）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1

＝22(24)(21)

k k λλ--+--+

＝－

221

k λλ---+

所以，当λ＝1时，－

221

k λλ---+＝－3 此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅

＝－3为定值

当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD

此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅

＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅

为定值－3．

【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想．

【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第（Ⅰ）问根据“离心率是22

，且PC PD

⋅ ＝－1”建立方程组可以求出椭圆方程；第（Ⅱ）问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用

目标方程法，结合韦达定理，得到两交点横坐标的和与积，再代入OA OB PA PB λ⋅+⋅

中化

简整理．要得到定值，只需判断有无合适的λ，使得结论与k 无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高．属于较难题．

33．（Ⅰ）2；（Ⅱ）（ⅰ）7

8 ；（ⅱ）

22 1.54

x y += 【解析】（Ⅰ）先由

c a =

及222,a b c =+得5,2a c b c ==，直线BF 的斜率()020b b

k c c

==--；（Ⅱ）先把直线BF ，BQ 的方程与椭圆方程联立，求出点P ，Q 横坐标，

可得

PM MQ

λ=

7.8

M P P Q M

Q x x x x x x -=

=-（ⅱ）先由75||sin =9PM BQP Ð得

=||sin BP PQ BQP Ð=

||sin 73

PM BQP ?，由此求出c=1，故椭圆方程为22

1.54

x y += 试题解析：（Ⅰ）设(),0F c - ，由已知

c a =

及222,a b c =+ 可得5,2a c b c == ，又因为()0,B b ， (),0F c -，故直线BF 的斜率()020b b

k c c

==-- ．（Ⅱ）设点()()

(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ，

（ⅰ）由（Ⅰ）可得椭圆方程为22221,54x y c c += 直线BF 的方程为22y x c =+ ，两方程联立消去y 得2

350,x cx += 解得53P c x =-

．因为BQ BP ⊥，所以直线BQ 方程为1

y x c =-+ ，与椭圆方程联立消去y 得2

21400x cx -= ，解得4021Q c

x =

．又因为PM MQ

λ= ，及0M x = 得7

M P P

Q M

Q x x x x x x λ-=

=- （ⅱ）由（ⅰ）得

78PM MQ

，所以77

7815

PM PM MQ ==++，即157PQ PM = ，又因

为75||sin =

9PM BQP Ð，所以=||sin BP PQ BQP Ð=15

||sin 7

PM BQP ?．又因为4223P P y x c c =+=-，所以2

545502333c c BP c c ⎛

⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，因此5555

,1,33

c c == 所以椭圆方程为22 1.54x y +

= 【考点定位】本题主要考查直线与椭圆等基础知识．考查运算求解能力及用方程思想和化归

思想解决问题的能力．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．

34．（1）22

2222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；（2）3

t 【解析】

（1）设定直线PA 的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点A 的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点B 的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积．

试题解析：（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为()y k x t =-．

所以2()

y k x t y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，整理得：2

440x kx kt -+=．

因为直线PA 与抛物线相切，所以2

16160k kt ∆=-=，解得k t =．

所以2x t =，即点2

(2,)A t t ．

设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B ，O 关于直线D P 对称，

故有00001220

y x t x t y ⎧=-+⎪

⎨⎪-=⎩，

解得2002222,11t t x y t t ==++．即点2

22(,)11t t B t t

++．（2）由（1）知，2

1AP t t =+，

直线PA 的方程为2

0tx y t --=，

所以点B 到直线PA 的距离为22

1t d t

+．

所以PAB ∆的面积为3

122

t S AP d =⋅=．

【考点定位】1．抛物线的几何性质；2．直线与圆的位置关系；3．直线与抛物线的位置关

系．

【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质以及直线与圆，直线与抛物线的位置关系．利用直线与圆、抛物线分别相切，通过联立方程，判别式为零，计算得到点A ，B 的坐标，利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算得到三角形相应的底边长与底边上的高，从而表示面积．本题属于中等题．主要考查学生基本的运算能力，培养学生不怕吃苦的品质．

35．（Ⅰ）22+y =14x ，（Ⅱ）25

e 试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义知122|PF ||PF |a =+可求出a 的值，再由12PF PF ^及勾股定

理可求得c 的值，最后由2

b a

c =-求得b 的值，从而根据椭圆的标准方程22

221x y a b

+=得

到结果，

（Ⅱ）由11PF ,|||PF |PQ PQ l ^=，得

222

111|QF ||PF ||PQ |1|PF |l =+=+

由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=，进而11|PF ||PQ||QF |4a ++= 于

是

(11

)|P F |

4a l l +++=．解得12

4|PF

|11a l l

=+++，故

2212

2(11)|PF |2|PF |11a a l l l l

++-=-=

+++．

再

注

意

到

222122|PF ||PF ||PF |(2)4c c +=

==从而

2222

42(11)41111a a c l l l l l l 骣骣++-琪琪

+=琪

琪

++++++桫

桫

，

两边除以2

4a ，得

(

)(

)

2222

(11)1111e l l l l

l l

++-+

=++++++，若记211t l l =+++，则

上式变成2

24(t 2)111

842e t t 骣+-琪==-+琪桫

．再由34

?，并注意函数的单调性，即可

求得离心率e 的取值范围。

试题解析：（1）由椭圆的定义，()(

)

122|PF ||PF |22224a a =+=++-=，故=2.

设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ^，因此

()()

12122|F F ||PF ||PF |222223c ==+=

++-=，即3c=.

从而2

b 1a

c =-=

故所求椭圆的标准方程为22

+y =14

x ．（2）如题（21）图，由11PF ,|||PF |PQ PQ l ^=，得

222111|QF ||PF ||PQ |1|PF |l =+=+

由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=，进而11|PF ||PQ||QF |4a ++=

于是2

1(11)|PF |4a l l +++=．

解得12

4|PF |11a l l

+++，故2212

2(11)|PF |2|PF |11a a l l l l

++-=-=

+++．

由勾股定理得22222122|PF ||PF ||PF |(2)4c c +=

==，从而2

2222

42(11)41111a a c l l l l l l

骣骣++-琪琪+=琪

琪

++++++桫

桫，

两边除以2

4a ，得

(

)(

)

2222

(11)1111e l l l l

l l

++-+

=++++++，

若记211t l l =+++，则上式变成2

24(t 2)111

842

e t t 骣+-琪==-+琪桫

．

由

3443

l ?，并注意到2

11l l +++关于l 的单调性，得34t ?，即

11143

t 21529e e 【名师点睛】本题椭圆的定义、标准方程、简单几何性质的应用，第一问题应用椭圆的定义及基本量间的关第易于求解，第二问应用条件、椭圆的定义及勾股定理建军立离心率与l 的关系式，从而将离心率e 表示成为l 的函数，然后得用函数相关知识，求其值域，即是所求的范围．本题属于较难题，注意运算的准确性及函数思想方法的应用． 36．（1）详见解析；（2）1-=k 或5

=k ；（3）21-=m ．

【解析】（1）直线1l 的方程为011=-y x x y ，由点到直线的距离公式得点C 到1l 的距离为21

1221||y

x y x x y d +-=

，

因为2121||y x OA +=，

所以||2

||211221y x y x d OA S -=⋅=

．（2）由⎩⎨

⎧=+=1

y x kx y ，消去y 解得2

211k x +=，

由（1）得2111221216|

1|3|3333|21||21k

k kx x y x y x S +-=

-=-=

由题意知

216|

1|32=+-k k ，

解得1-=k 或5

=k ．（3）设kx y l =:1，则x k

y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ，由⎩⎨

⎧=+=1

2y x kx

y ，的2

1211

x +=

，同理2

222

(211

m k k k

m x +=+=，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第27页，总27页

由（1）知，|||

|||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212|

|m k k m k +⋅+-=，

整理得0)18()21()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，

由题意知S 与k 无关，

则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==21812m S ．所以2

1-=m ．【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．

【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线（斜率为k ）与圆锥曲线交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2

）时，则

，而|x 1－x 2|

＝，可根据直

线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．下载本文

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