（非数学类，2012）
本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.
(1)
解：
(2)
解： （令）
(3) 设函数有二阶连续偏导数, 满足且,是由方程所确定的函数. 求
解：依题意有，是函数，、是自变量。将方程两边同时对求导， ，则 ，于是
(4) 求不定积分
解：
(5) 求曲面和所围立体的表面积
解：联立，，解得两曲面的交线所在的平面为，
它将表面分为与两部分，它们在平面上的投影为，
在上
在上
则
二、（本题13分）讨论的敛散性，其中是一个实常数.
解：记
① 若，；则发散
② 若，则，而；所以
发散。
③ 若，即，考 级数敛散性即可
当时，
对任何，我们有
这样，存在，使得.
从而可知，当，时，所讨论的积分收敛，否则发散。
三、（本题13分）设在上无穷次可微，并且满足:存在，使得，，,且，求证：在上，
证明：因为在上无穷次可微，且，所以 （*）
由 ，， 得，
于是
由罗尔定理，对于自然数在上，存在，使得
，且
这里
在上，对应用罗尔定理，存在
，使得，且
于是
类似的，对于任意的，有
有（*）
四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）
设D为椭圆形，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点(其中)垂直于薄板的旋转轴.
1. 求薄板D绕l旋转的转动惯量J；
2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.
解：1.
2.设J固定，是确定的隐函数，则
，对关于求导，
五、（本题12分）设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定, L为正向单位圆周. 试求：
解：由格林公式
又：连续可微函数由方程
两边同时对求偏导数：
两边同时对求偏导数：
代入上式：
六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）
(1)求解微分方程
(2)如为上述方程的解，证明下载本文
