高中数学抛物线大题精选30道（含答案）_动视

高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

2025-09-24 07:10:16 责编:小OO

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抛物线大题30题

1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,

(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;

(2)求抛物线方程.

2 ．过抛物线y 2

=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡

3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2

:2(0)C y

px p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经

过原点O ,求抛物线的方程.

4 ．已知p ：方程

12x y m m

+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．

5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦

点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2

-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求

（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).

7 ．已知抛物线1C :

24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴

交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率1

e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .

(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;

(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.

8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :

22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原

点,(4,12)OA OB +=--｡

(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.

9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.

(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;

(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判

断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程1

x =-

,C 与直线1

:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C

的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作

1的平行线

2交抛物线

C 于第一象限内的

点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a

(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:1

322

n n a -≤⋅-

; (Ⅲ)求证:

()()

1234

211

(23)2(23)6

(23)13321n n n a a a n n n +++

≥-

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:

2=,定点M(1,1)｡

(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;

(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡

12．位于函数4

=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以2

为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;

(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*

N 第n 条抛物线

n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,

求证:

11113221<

+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.

(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;

(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.

14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;

(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.

15．(本小题共13分)

已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8

x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;

(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是

0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.

16．抛物线()2

:20C y

px p

=上横坐标为3

的点到焦点F 的距离为2

（I ）求p 的值；

（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ，求AB CD +的最小值。

17．在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线2

px =上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C 是抛物线上的动点.若以点C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点.

18．在xoy 平面内，已知定点()3,0P

-，动点,Q R 分别

在,x y 轴上，且0PR RQ ⋅=。若点M 满足条件：

2QM MR =。

(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)若直线l ：()0y kx k =>与点M 的轨迹C 所围成区域的面积等于9，求k 的值。

19．已知抛物线2

:C y ax =,直线2y x =+交抛物线C 于

A ．

B 两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线

C 于点N, (1) 证明:抛物线C 在N 点处的切线l 与AB 平行;

(2) 是否存在实数a ,使得0NA NB ⋅=｡若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由｡

20．已知点)0)(0,(>a a F ,直线a x l -=:,点E 是l 上的动点,过点E 垂直于y 轴的直线与线段EF 的垂

直平分线交于点P.

(1)求点P 的轨迹M 的方程;

(2)若曲线M 上在x 轴上方的一点A 的横坐标为a ,过点A 作两条倾斜角互补的直线,与曲线M 的另一个交点分别为 B ．C,求证:直线BC 的斜率为定值.

21．设点P(x ，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(

，0)

的距离比点P 到y 轴的距离大2

1．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程：

（Ⅱ）若直线l 与点P 的轨迹相交于 A ．B 两点，且0=∙，点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．

22．给定抛物线2

:4C y

x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于 A ．B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；（Ⅱ）设||2||FA BF =，求直线l 的方程.

23．已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y

=上，△ABC

的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；

24．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的

运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空

中的最高处距水面2

103

米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距

水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335

米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

25．已知抛物线x y C

8:2=，O 为坐标原点，动直线)2(:+=x k y l 与抛物线C 交于 A ．B 两点。

(1)求证：B O A O

∙为常数

(2)求满足B O A O M O

+=的点M 的轨迹方程。

26．如图，过抛物线y 2

＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N

两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 (Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:

(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、

S 2、，

S 3，试判

断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。

27．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22

221x y a b

-=的一个焦点1F 且垂直于2

的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C

的一个交点是2(3M ．

（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标；（2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．

28．已知抛物线2

y =的焦点为F, A ．B 是抛物线上两动点,且,(0),AF FB λλ=⋅>过 A ．B 两点分

别作抛物线的切线,设其交点为M ｡ (1)证明:FM AB ⋅为定值;

(2)设ABM ∆的面积为S,写出()S f λ=的表达式,并求S 的最小值

29．已知点F 为抛物线2

:4C y

x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，

若点P 的纵坐标为(0)m m ≠，点D 为准线l 与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF 的方程；

（Ⅱ）求DAB ∆的面积S 范围；

（Ⅲ）设AF FB λ=，AP PB μ=，求证λμ+为定值．

30．已知抛物线2

:4C y

x =，点M (m ,0)在x 轴的正半轴上，过M 的直

线l 与C 相交于 A ．B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）若m =1，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；

（Ⅱ）若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.

抛物线大题30题参

1 ．解:椭圆方程为

2=+y x ,∴

a 2=5,

b 2=4,

c 2=a 2-b 2=1, ∴椭圆焦点坐标为(-1,0),(1,0), ;离心率e=5

c =;

(2)若抛物线焦点坐标为(1,0),则设抛物线的方程为y 2=2px, ∴12

p =,则p=2, ∴所求抛物线的方程为x y 42

= 若抛物线焦点坐标为(-1,0),则设抛物线的方程为y 2=-2px,

∴12

p =,则p=2,∴所求抛物线的方程为x y 42

-= ∴抛物线的方程为x y 42±=

2 ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 12=4x 1,y 22

=4x 2

(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2) (y 1+y 2)•2

1x x y y --=4(x 1≠x 2)

设AB 中点M(x,y),则y 1+y 2=2y 1

2121--=--x y x x y y

∴)1(2 41

22-==-⋅

x y x y

y 当x 1=x 2时,M(1,0)满足上式

∴轨迹方程为y 2=2(x-1)

3 ．解:可设直线l 的方程为4x my =+代入2

px = ,

得 2280y pmy p --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ,

则p y y 821-=,1)(222

2212

22121==⋅=p

y y p y p y x x 由题意知,,OQ OP ⊥则0=⋅OQ OP , 即 12121680x x y y p +=-=,

∴2p =, 此时,抛物线的方程为24y x =

4 ．解:“方程

12x y m m

+=-表示椭圆”是真命题， ∴0202m m m m >⎧⎪

->⎨⎪≠-⎩

021m m ∴<<≠且，

“抛物线y =2

21x mx ++与x 轴无公共点”是假命题， ∴抛物线y =2

21x mx ++与x 轴有公共点，

2440m ∴∆=-≥ 11m m ∴≥≤-或，

由题意得，

021

m m m m <<≠⎧⎨

≥≤-⎩且或 12m ∴<<

5 ．[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

满分10分。

6 ．(1)将y=2x 代入y=-x 2

-2x+m 得，x 2

+4x-m=0.

∵直线与抛物线相交于不同的两点 A ．B ，∴10 4.m m =+>⇒>- (2)设1122(,),(,)A x y B x y ，则

∣AB ∣==.

7 ．(1)当1p =时,F 2(1,0),F 1(-1,0)

设椭圆2C 的标准方程为22

221x y a b

+=(a >b >0),∴c =1,c a =12

∵2

c a b =-,∴a =2,b

故椭圆2C 的标准方程为22

x y +=1 (2) (ⅰ)若直线l 的斜率不存在,则l :x =1,且A(1,2),B(1,-2),∴AB =4 又∵12MF F ∆的周长等于1212MF MF F F ++=2a +2c =6≠AB ∴直线l 的斜率必存在

(ⅱ)设直线l 的斜率为k ,则l :(1)y k x =-

由24(1)

y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222(24)0k x k x k -++= ∵直线l 与抛物线1C 有两个交点A,B

∴2242[(24)]416160k k k =-+-=+>,且0k ≠

设1122(,),(,),A x y B x y 则可得2122

24k x x k ++=,121x x =

于是AB 12x -

=224(1)k k +

∵12MF F ∆的周长等于1212MF

MF F F ++=2a +2c =6

∴由22

4(1)

k k +=6,解得k =

故所求直线l 的方程为1)y x =-

8 ．解:(Ⅰ)由22,

2y kx x py

=-⎧⎨=-⎩得,2240,x pkx p +-=

设()

()1,122,,,A x y B x y 则()2

1212122,424,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=-- 因为()()

1212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---=()4,12,--

所以2

24,2412.pk pk -=-⎧⎨--=-⎩解得 1,

2.p k =⎧⎨=⎩

所以直线l 的方程为22,y x =-抛物线C 的方程为2

2.x y =-

(Ⅱ)方法1:设00(,),P x y 依题意,抛物线过P 的切线与l 平行时,△APB 面积最大,

'y x =-,所以0022,x x -=⇒=- 2001

2,2

y x =-=-所以(2,2).P --

此时P 到直线l 的距离

,5d =

由222,2,

y x x y =-⎧⎨=-⎩得,2

440,x x +-=

||AB ===∴△ABP

的面积最大值为

(Ⅱ)方法2:由222,

y x x y =-⎧⎨=-⎩得,2440,x x +-=

||AB ===

设2

1(,)2

P t t -

,(22t --<<-+

因为AB 为定值,当P 到直线l 的距离d 最大时,△ABP 的面积最大

d =

因为22t --<<-+所以当2t =-时,d

max

此时(2,2).P -- ∴△ABP

的面积最大值为

9．解:(Ⅰ)设圆心Q 的坐标为(,)x y ,如图过圆心Q 作QH x ⊥轴于H,

则H 为RG 的中点,在Rt RHQ ∆中,222QR QH RH =+ ∵,2QR QP RH ==∴222(2)4x y y +-=+

即24x y = (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，直线AB 的方程为1y kx =+,联立24x y =有:2

440x kx --=

∴22,1212

M M M x x x k y kx k +===+=+, ∴点M 的坐标为2

(2,21)k k +. 同理可得:点N 的坐标为222

(,1)k k

+. 直线MN 的斜率为222

111M N MN

M N k y y k k k x x k k k

---===

-+,

其方程为22

21(2)k y k x k k

---=-,整理得2(3)(1)k y k x -=-,

不论k 为何值,点(0,3)均满足方程, ∴直线MN 恒过定点(0,3). 10.解:(I)由题意知:2111

,,:.242

p p C y x -

=-∴=∴= 由题意知

:n n y x a +=-联立2y x =得:20n y y a --=,

0y >.

1P (n n y a +∴=

∴+

∴切线1n m +

的斜率为1n m k +=

∴直线1n g +

的斜率1

1)n g k +=-,

∴直线1n g +

的方程为1)(n y x a =--

令0y =,1n x a +=得

:11n n a a +=+

(Ⅱ)由已知易得1(1,1)P ,直线1m 的斜率11

m k =

, ∴直线1g 的方程为:12(1)y x -=--令0y =得13

a =

11(14)3

112.42

n n n n n a a a a a +++=+<++=+

21113333

2()2()2()32.2222

n n n n n a a a a +-∴+

<+<+<⋅⋅⋅<+=⋅ 当2n ≥时 13322n n a -∴+<⋅,即:1

332.2n n a -<⋅-

当1n =时, 111333222a -=≤⋅- 故1

332.2

n n a -<⋅-

(用数学归纳法证明亦可) (III)由(II)知:n

n 2a 332+≤⋅.

n n n n 1n

n 2n 2(2a 3)n(n 1)32n(n 1)

2(n 1)n 111 []32n (n 1)32n 2(n 1)

-++∴

≥

++⋅⋅++-==-⋅⋅⋅+⋅⋅+

12n n 1n 34n 2

(2a 3)2(2a 3)6(2a 3)n (n 1)

111111 [(1)()()]

344122n 2(n 3)

-+∴

++⋅⋅⋅+

+⋅+⋅+⋅⋅+≥-+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅+

n 11332(n 1)

-⋅+.

11．(I)由焦点F(1,0)在l 上,得2

121:,21+-=∴-

=x y l k 设点N(m,n)则有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---1212211)2

1)(11

(n m m n ,

解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-==53

51n m , )53,51(-∴N

,)5

(542-≠

N 点不在抛物线C 上｡

(2)把直线方程)0(11

≠--=

k k

k y x 代入抛物线方程得:,04442=++-k y ky ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++=+-=⋅--≠+-≤≤--≥+--=∆∴122111

.025

1251,

0)1(16,00002k a x k y k a

x y k k k k 由对称得且解得

相交解得)0,25

1251(1

2)1(2

220≠+-≤≤+-+--=k k k k k a x 且｡当P 与M 重合时,a=1

分

时当时单调递减且是偶函数函数且14)1,5

25[,

1lim ,55

25)(,251.0,))((),

0,25

1251(1

43131)(000min 002220 +-

∈=+-=--=∴>∈=≠+-≤≤+-++-=+-==∴→x x x k k R k x f x k k k k k x k f k

12．解: (Ⅰ)由于n P 的横坐标构成以2

为首项,1-为公差的等差数列{}n x , 故153

(1)(1)22

n x x n d n n =+-=---=--

又),(n n n y x P 位于函数4

3+=x y 的图象上,

所以y 4

53413)23(34133--=+--=+=n n x n n 所求点),(n n n y x P 的坐标为()4

3,23----n n

(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,即2

5()32

n y a x n n =++--. 由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有2

351()32

n n a n n +=+--. 由此可得2

351,()32

n a y x n n ==++-- 故32)23

(20

+=++='

===n n x y k x x n .

所以

)2)(3

121(21)32)(12(111≥+-+=++=

-n n n n n k k n

n ,

于是

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )3

2151(21+-=

n . 故10

1)32151(2111113221<+-=+++-n k k k k k k n n

13．解:(Ⅰ)∵焦点F 为(1,0),过点F 的直线AB 的方程可设为1x ty =+,代入抛物线24y x =

得:2440y ty --=,1122(,),(,)A x y B x y 设,则有124y y =-,

12 1.44

y y x x == 1

214

30O A O B x x y y ∴=

=-=-<

于是AOB ∠为钝角,故O 在圆内

(Ⅱ)设直线AB 的方程为2,4x ty b y x =+=代入抛物线消去x,得

21122440.(,),(,)y ty b A x y B x y --=设,则124y y t += ,124.y y b =-

2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++

=b b b b bt bt 44442

-=-++-. 令244, 2.b b b -=-∴=,∴直线AB 过定点(2,0).

14．解:(1)20.解:(1)设N 点坐标为),(y x ,所以)0(82

>=x x y

(2)ABO S ∆=

15．(本小题共13分)

解:(Ⅰ)由抛物线C :2y x =得抛物线的焦点坐标为1

(,0)4

,设直线l 的方程为:1

x ny =+

,()()1122,,,P x y Q x y 由2,14y x x ny ìï=ïïíï=+ïïî

得2

104y ny --=. 所以2

10n ∆=+>,12y y n +=.因为112211,44

x ny x ny =+

=+, 所以()121212111

12442

PQ x x x x n y y =+

++=++=++=. 所以2

1n =.即1n = .

所以直线l 的方程为:104x y --

=或1

x y +-= (Ⅱ)设0:(0)l x my x m =+≠,1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)M x y -.

由02,

x my x y x

=+⎧⎨=⎩得200y my x --=. 因为018

x ≥

,所以2

040m x ∆=+>,12120,y y m y y x +==- (ⅰ)设(,0)B B x ,则2211(,),(,)B B BM x x y BP x x y =--=-. 由题意知:BM ∥BP ,211122B B x y y x x y x y ∴-=-+. 即2

12122112211212()()B y y x x y x y y y y y y y y y +=+=+=+. 显然1212000,.(,0).B y y m x y y x B x +=≠∴==-∴-

(ⅱ)由题意知:BMQ ∆为等腰直角三角形,1PB k ∴=,即

12121y y x x +=-,即12

1y y y y +=-. 2212121201. ()4 1. 41y y y y y y m x ∴-=∴+-=∴+=. 20140m x ∴=->.

x ∴<

.018x ≥,01184

x ∴≤<

,)122

d ∴=

. 即d

的取值范围是1

16．（I ）解由已知3222

+解得1p = （II ）1,02F ⎛⎫

⎪⎝⎭

显然直线AB 的斜率k 存在且0k ≠ 设直线1:2AB y k x ⎛⎫=-

⎪⎝

⎭

联立2

2y x =，得 ()()2

2004

k k x k x k -++=≠

设()()1122,,,A x y B x y 则

1222,0

k x x k k R k ++=

∈≠

则2121222

2221122

11222,2222

448k AB AF BF x x x x k k CD AB CD k AB CD k k

+=+=+++=++=+=+

⊥∴=+∴+=+

+≥+=则当且仅

222k k

=即1k =±时AB CD +取得最小值8 17．解：（1）根据题意，抛物线y 2

＝2px 的准线方程为x ＝－p

，且p ＞0．

因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以该点到准线x ＝－p

2的距离也为5．所以p ＝2．

故所求抛物线的标准方程为y 2＝4x ．

（2）因为点C 在抛物线上，故可设点C 为(t 2

4，t )．

所以点C 到y 轴的距离为t 2

．

因为圆C 在y 轴上截得的弦长为4，所以圆C 的半径r ＝⎝⎛⎭

⎫t 2

＋22＝14t 4＋．

所以圆C 的方程为(x －t 24)2＋(y －t )2＝(1

4t 4＋)2．

即x 2

＋y 2

－t 2

x －2ty ＋t 2－4＝0．

（方法一）因为圆C 是动圆．

所以当t ＝0时，圆C 的方程为x 2＋y 2－4＝0， ① 当t ＝2时，圆C 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0． ② 联立①②，得⎩⎨⎧x 2

＋y 2－4＝0 ，x 2

＋y 2

－2x －4y ＝0．解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，

或⎩⎨⎧x ＝－6

5，y ＝85．

把(2，0)代入圆C 方程，左边＝22

＋02

－t 2

⋅2－2t ⋅0＋t 2－4＝0＝右边，方程成立，所以圆C 恒过定点

(2，0)．

把(－65，85)代入圆C 的方程得，左边＝85t 2－16

5t 不恒为0，即随着t 的变化而变化．

故点(－65，8

5)可能不在圆C 上．

所以圆C 恒过定点(2，0)．

（方法二）将方程x 2

＋y 2

－t 2

x －2ty ＋t 2－4＝0整理为

(1－x

)t 2－2yt ＋(x 2＋y 2－4)＝0． ①

①式对任意实数t 都成立的充要条件是⎩⎨⎧1－x

2＝0，－2y ＝0，x 2

＋y 2

－4＝0．

即⎩⎨⎧x ＝2，

y ＝0．

所以圆C 恒过定点(2，0)．

18．解：(Ⅰ)设()()()11,,,0,0,.M

x y Q x R y

则()()11,,,.QM x x y MR x y y =-=-- 由2QM MR =得()112,2x x x y y y -=-=-，所以，113

3,.2

x x y y == 于是333,

,3,22PR y RQ x y ⎛⎫⎛

⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝

⎭，

由0PR RQ ⋅=得2

9904

x y -

=，即24y x =。 (Ⅱ)解方程组24y kx y x =⎧⎨=⎩，得1100x y =⎧⎨=⎩或22

244

x k y k ⎧=

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

故直线l 与轨迹C 交点坐标为()2440,0,,k k ⎛⎫

⎪⎝

⎭，

于是

(

)

kx dx =⎰，取()322432

F x x x =-，

则(

),F x kx '=从而()2409F F k ⎛⎫

⎪⎝⎭

, 即3

223344432829,9,3233k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

19．解:(1)由22

20y x ax x y ax

=+⎧--=⎨=⎩得, 设()()1122A x y B x y ，，则121212x x x x a a

=-， 122

2214N M N N x x x x a

y a x a

+∴==

==⋅=

由知,抛物线C 在点N 处是切线l 的斜率1122k a a

=⋅

因此,抛物线C 在点N 处的切线与直线AB 平行｡ (2)假设存在实数a ,使得0NA NB ⋅=,则NA NB ⊥ 由M 是线段AB 的中点｡

MN AB ∴=

由MN x ⊥轴,知11122244MN a a a

+-=+

1118

AB x x

a a a

⎛⎫⎛⎫

∴+=⨯⨯+

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

又

解得

a a

==-

或(舍去)

∴存在实数

a=,使得0

NA NB

⋅=

20．解:(1)连结PF. ∵点P在线段EF的垂直平分线上,

∴|PF|=|PE|.

∴点P的轨迹是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.

∴p=2a.

∴点P的轨迹为M:).

(

(2)直线AB的斜率为k(k≠0),点B).

(

则直线AB的方程为).

(

⎩

⎨

⎧

(

2ax

消去x,得

)

-k

△=0

(

162

2≥

∵y1,2a是方程的两个根,

∴.

)

∴

依题意,直线AC的斜率为-k.

同理可得.

)

∴.

)

∴1

所以直线BC的斜率为定值.

21．解：（I）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=2，此时，A(2，48)，

B (2，-48)，不符合0=∙OB OA

当直线l 的斜率存在时，设方程为y=kx+b(k≠0，b≠0)，

{

022222=+-⇒+==b y ky b kx y x

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2=

b 2 ∵02

2212

212121=+∙=+=∙y y y y y y x x OB OA ∴y 1y 2=-4， ∴b+2k=0 ① 又点O 到直线l 距离为2得

=+k b ②

由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2，

所以直线l 的方程为y=x-2或y=-x+2

22．方法一：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.

由2

4y x y x

ì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y ,

则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,

故点(3(3A B ++-- 所以12

0003,122

x x x y x +=

==-=, 故圆心为(3,2)M ,

直径||8AB =

所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；

（Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,

设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,

所以121212(1),2.

x x y y ì-=-ïïí

ï=-ïî ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,

所以22

11224,4y x y x ==, ○

由○1○2

，解得111122222,2,11,,22x x y y x x y y 祆==镲镲镲镲==-镲

镲镲眄镲==镲镲镲镲镲=-=镲铑

或

所以1

(2,(,(2,(22

A B A B -

-或,

故直线l

的方程为0,y --

或0y +- 方法二：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.

由2

14y x y x

ì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y , 因为2320,D =-=>所以12126,1x x x x +==, 所以12

0003,122

x x x y x +=

==-=, 故圆心为(3,2)M , 由抛物线定义，得1212||||||()()822

p p

AB AF BF x x x x p =+=+++=++=, 所以12||8AB x x p =++=(其中p =2).

所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；

（Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,

设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,

所以121212(1),2.

x x y y ì-=-ïïí

ï=-ïî ○1 设直线AB 的方程为(1)y k x =-或1x =(不符合题意，舍去). 由2

(1)4y k x y x

ì=-ïïíï=ïî，消去x 得 2440ky y k --=，因为直线l 与C 相交于A , B 两点，所以0k ¹, 则216160k D =+>, 12124

,4y y y y k

=-, ○

由○1○2，得方程组121212442y y k y y y y ìïï+=ïïïï=-íïï?-ïïïïî

，解得12k y y ìï=-ïïï=-íïïï=ïïî或

k y y ìï=ïïï

=íïïï=-ïïî 故直线l

的方程为0,y --

或0y +-

23．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y

=上，

解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，

焦点F 的坐标为（8，0）

（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，

所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FM AF

，

设点M 的坐标为),(00y x ，则02

128,82

12200=++=++y x ，

解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．

24．解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，

抛物线的解析式为2y ax bx c =++．

由题意，知O （0，0），B （2，－10），且顶点A 的纵坐标为

． 2

250210

43342100a c ac b b a a b c c ⎧=-⎪=⎧⎪⎪-⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪++=-=⎪⎪⎩⎪

⎩

或3220

a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩

∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴02b

->,又∵

抛物线开口向下，∴a ＜0, 从而b ＞0,故有2510

,,063

a b c =-

== ∴抛物线的解析式为22510

y x x =-+

（Ⅱ）当运动员在空中距池边的水平距离为3

米时，

即33

32155

x =-=时，225810816()65353y =-⨯+⨯=-，

∴此时运动员距水面的高为10－163＝14

＜5，因此，此次跳水会失误

25．解：将)2(+=x k y 代入抛物线方程得04)84(2222

=+-+k x k x k

由01100≠<<->∆≠k k k 且得且设4,.48

),(),(212

212221=-=

+x x k x x y x B y x A 则（1）证明：B O A O ∙=)2)(2(212

112121+++=+x x k x x y y x x

=2212212

4)(2)1(k x x k x x k

++++

=204)48(2)1(42

=+-++k k k k ∴B O A O ∙为常数

解：B O A O M O +==),(2121y y x x ++=)8

,48(2k k

设),(y x M 则{

y k x 848

，消去k 得3282

+=x y

。

又448

->-=

k x ，所以点M 的轨迹方程为)4(3282->+=x x y （1） 26．本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合

运用数学知识进行推理运算的能力证法1：由抛物线的定义得

11,,MF MM NF NN == 1111,MFM MM F NFN NN F ∴∠=∠∠=∠

如图，设准线l 与x 的交点为1F

111////MM NN FF Q

111111,F FM MM F F FN NN F ∴∠=∠∠=∠

而0111111180F FM MFM F FN N FN ∠+∠+∠+∠= 即0111122180F FM F FN ∠+∠=

0111190F FM F FN ∴∠+∠=

故11FM FN ⊥

证法2：依题意，焦点为(

,0),2p F 准线l 的方程为2

x =- 设点M,N 的坐标分别为1122,),,),M x y N x y （（直线MN 的方程为2

x my =+

，则有 11121112(,),(,),(,),(,)22

p p

M y N y FM p y FN p y -

-=-=- 由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩

得2220y mpy p --= 于是，122y y mp +=，2

12y y p =-

22211120FM FN p y y p p ∴⋅=+=-=，故11FM FN ⊥

（Ⅱ）2

2134S S S =成立，证明如下：

证法1：设1122(,),(,)M x y N x y ，则由抛物线的定义得

1112||||,||||22

p p

MM MF x NN NF x ==+

==+，于是 11111111||||()||222p

S MM F M x y =⋅⋅=+

21211211

||||||22S M N FF p y y =⋅⋅=-

31112211||||()||222

S NN F N x y =⋅⋅=+

22131211221114(||)4()||()||22222

p p S S S p y y x y x y =⇔-=⨯+⋅+

222

12121212121[()4][()]||424

p p p y y y y x x x x y y ⇔+-=+++

将11222,2

p x my p x my ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与122

2y y mp y y p +=⎧⎨=-⎩代入上式化简可得 22222222()()p m p p p m p p +=+，此式恒成立。

故22134S S S =成立。

证法2：如图，设直线MN M 的倾角为α，12||,||MF r NF r == 则由抛物线的定义得1113||||,||||MM MF r NN NF r ====

11111////,

,MM NN FF FMM FNN απα

∠=∠=-

于是22211322111

sin ,sin()sin 222

S r S r r απαα=

=-= 在1FMM ∆和1FNN ∆中，由余弦定理可得

2222222211111222||22cos 2(1cos ),||22cos 2(1cos )FM r r r FN r r r αααα=-=-=+=+

由（I ）的结论，得2111

||||2

S FM FN =

⋅ 2

222222221112121311||||4(1cos )(1cos )sin 444

S FM FN r r r r S S ααα∴=⋅=⋅⋅⋅-+==

即2

2134S S S =，得证。

27．（1）由题意可设抛物线1C 的方程为2

px =．

把2(,

M 代入方程22y px =，得2p =

因此，抛物线1C 的方程为24y x =．于是焦点(1,0)F （2）抛物线1C 的准线方程为1y =-，

所以，1(1,0)F - 而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ，于是

1752

2333

a MF MF =-=

-= 因此，13a =

又因为1c =，所以222

b c a =-=．于是，双曲线2C 的方程为22119

x y -= 因此，双曲线2C 的离心率3e =．

28．解:(1)由已知条件,得1122(0,1),0.(,),(,).F A x y B x y λ

>设

由.AF FB λ=即得1122(,1)(,1).x y x y λ--=-

12(1)1(1)

(2)

x x y y λλ-=⎧∴⎨

-=-⎩

将①式两边平方并把22

112211,,44

y x y x == 代入得212y y λ= 解②、③式得121

.,y y λλ

且有

12224 4.x x x y λλ=-=-=-

抛物线方程为21.4y x =

求导得1

y x '= 所以过抛物线上 A ．B 两点的切线方程分别是

11122211

(),().22y x x x y y x x x y =

-+=-+ 即22

11221111,.2424y x x x y x x x =-=-

求出两条切线的交点M 的坐标为

121212(

,)(,1).242

x x x x x x ++=- 所以12

2121(,2)(,)2

x x FM AB x x y y +⋅=-⋅-- 22222121111()2()0.244x x x x =---=……………………

(2)由(1)知ABM ∆中,FM AB ⊥,因而1

||||.2

S AB FM =

||FM =

因为|AF|、|BF|分别等于 A ．B 到抛物线准线y=-1的距离,所以

121

||||||22AB AF BF y y λλ

=+=++=+

=2.

于是311||||22S AB FM =

2, 4.S ≥≥知

且当1λ=时,S 取最小值4｡……………………

29．解：（Ⅰ）由题知点,P F 的坐标分别为(1,)m -，(1,0)，

于是直线PF 的斜率为2

，所以直线PF 的方程为(1)2

y x =--，即为20mx y m +-=．

（Ⅱ）设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，

由24,(1),2

y x m

y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得2222(216)0m x m x m -++=，所以2122

216m x x m ++=，121x x =．于是2122

416

||2m AB x x m +=++=．

点D 到直线20mx y m +-=

的距离d =，

所以21||2S AB d ===因为m ∈R 且0m ≠，于是4S >，

所以DAB ∆的面积S 范围是(4,)+∞．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及AF FB λ=，AP PB μ=，得

1122(1,)(1,)x y x y λ--=-，1122(1,)(1,)x m y x y m μ---=+-，于是1211x x λ-=-，1211

x x μ--=+（21x ≠±）. 所以111222*********(1)(1)x x x x x x x x λμ----+=

+==-+-+．所以λμ+为定值0．

30．（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)M ，直线l 的方程为1y x =-.

由214y x y x

ì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点P 的坐标为00(,)P x y ,

则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,

故点(3(3A B ++-- 所以120003,122

x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)P ,

直径||8AB =,

所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；

方法一：（Ⅱ）解：设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , (0)MB AM λλ=>.

则1122(,),(,)AM m x y MB x m y =--=-,

所以 2121

()x m m x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩ ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,

所以2211224,4y x y x ==, ○

2 由○1○2，消去212,,x y y 得1x m λ=

若此直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，则2||||||OM MB AM =⋅，

即2||||||OM AM AM λ=⋅，所以22211[()]m x m y λ=-+，

因为2114y x =，1x m λ=，所以22111

[()4]m m x m x x =-+，整理得2211(34)0x m x m --+=， ○

3 因为存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，

所以关于x 1的方程○3有正根，

因为方程○3的两根之积为m 2>0, 所以只可能有两个正根，

所以2223400(34)40m m m m ->⎧⎪>⎨⎪∆=--≥⎩

，解得4m ≥.

故当4m ≥时，存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列

方法二：（Ⅱ）解：设使得||,||,||AM OM MB 成等比数列的直线AB 方程为(0)x m m =>或()(0)y k x m k =- ,

当直线AB 方程为x m =时

, ((,A m B m -

，

因为||,||,||AM OM MB 成等比数列,

所以2||||||OM MB AM =⋅，即24m m =，解得m =4，或m =0(舍)；

当直线AB 方程为()y k x m =-时，由2()4y k x m y x

ì=-ïïíï=ïî，得22222(24)0k x k m x k m -++=，设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则221212224,k m x x x x m k

++==, ○1 由m >0, 得222222(24)416160k m k k m k m D =+-?+>.

因为||,||,||AM OM MB 成等比数列, 所以2||||||OM MB AM =⋅,

所以2m = ○2

因为A , B 两点在抛物线C 上，

所以2211224,4y x y x ==, ○

3 由○1○2○3，消去1122,,,x y x y , 得214(1)m k

=+, 因为存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，所以2

14(1)4m k =+>, 综上，当4m ³时，存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列

在行动前设定目标

成功。一次做好一件事著名的效率提升大师博思信条的实践。培养重点思维从重点问题突破，是高效能人士思考的一项重要习惯。如果一个人没有重点地思考，就等于无主要目标，做事的效率必然会十分低下。相反，如果他抓住了主要矛盾，解决问题就变得容易多了。发现问题关键在许多领导者看来，高效能人士应当具备的最重要的能力就是发现问题关键能力，因为这是通向问题解决的必经之路。正如微软总裁兼首席软件设计师比尔。盖茨所”把问题想透彻把问题想透彻，是一种很好的思维品质。只要把问题想透彻了，才能找到问题到底是什么，才能找到解决问题最有效的手段。不找借口美国成功学家格兰特纳说过这样的话：会到处为自己找借口，开脱责任；相反，无伦出现什么情况，他都会自觉主动地将自己的任务执行到底。要事第一创设遍及全美的事务公司的亨瑞。杜哈提说，不论他出多小钱的薪水，都不可能找到一个具有两种能力的人。这两种能力是：第一，能思想；第二，能按事情的重要程度来做事。因此，在工作中，如果我们不能选择正确的事情去做，那么唯一正确的事情就是停止手头上的事情，直到发现正确的事情为止。运用20/80法则二八法则向人们揭示了这样一个真理，即投入与产出、努力与收获、原因和结果之间，普遍存在着不平衡关系。小部分的努力，可以获得大的收获；起关键作用的小部分，通常就能主宰整个组织的产出、盈亏和成败。合理利用零碎时间所谓零碎时间，是指不构成连续的时间或一个事务与另一事务衔接时的空余时间。这样的时间往往被人们毫不在乎地忽略过去，零碎时间虽短，但倘若一日、一月、一年地不断积累起来，其总和将是相当可观的。凡事在事业上有所成就的人，几乎都是能有效地利用零碎时间的人。习惯10、废除拖延对于一名高效能人士来蒂固的习惯。习惯11、向竞争对手学习一位知名的企业家曾经说过，”习惯12、善于借助他人力量年轻人要成就一番事业，养成良好的合作习惯是不可少的，尤其是在现代职场中，靠个人单打独斗的时代已经过去了，只有同别人展开良好的合作，才会使你的事业更加顺风顺水。如果你要成为一名高效能的职场人士，就应当养成善于借助他人力量的好习惯。习惯13、换位思考在人际的相处和沟通里，思考”指导人的交往，就是让我们能够站在他人的立场上，设身处地理解他人的情绪，感同身受地明白及体会身边人的处境及感受，并且尽可能地回应其需要。树立团队精神一个真正的高效能人士，是不会依仗自己业务能力比别人更优秀而傲慢地拒绝合作，或者合作时不积极，倾向于一个人孤军奋战。他明白在一个企业中，只有团队成功，个人才能成功。善于休息休息可以使一个人的大脑恢复活力对事业也是大有好处的。及时改正错误一名高效能人士要善于从批评中找到进步的动力进而学习、改进、你将获得意想不到的成功。责任重于一切著名管理大师德鲁克认为这是保证你的任务能够有效完成的基本条件。不断学习一个人.让工作变得简单简单一些.重在执行执行力是决定一个企业成败的关键.只做适合自己的事找到合适自己的事.把握关键细节精细化管理时代已经到来.不为小事困扰我们通常都能够面对生活中出现的危机积极地面对工作和生活。专注目标美国明尼苏达矿业制造公司对个人工作也有指导作用。有效沟通人与人之间的交往需要沟通相反他应当是一个能设身处地为别人着想充分理解对方能够与他人进行桌有成效的沟通的人。及时化解人际关系矛盾与人际交往是一种艺术提高自己化解人际矛盾的能力。积极倾听西方有句谚语说：多听。善于倾听，是一个高效能人士的一项最基本的素质。保持身体健康充沛的体力和精力是成就伟大事业的先决条件。保持身体健康，远离亚健康是每一名高效能人士必须遵守的铁律。杜绝坏的生活习惯习惯”而坏习惯则是你的敌人，他只会让你难堪、丢丑、添麻烦、损坏健康或事业失败。释放自己的忧虑孤独和忧虑是现代人的通病。在纷繁复杂的现代社会，只有保持内心平静的人，才能保证身体健康和高效能的工作。合理应对压力身体是的本钱，状态是成功的基础。健康，尤其是心理健康，已成为职场人士和企业持续发展的必备保障。学会正确地应对压力就成了高效能人士必备的一项习惯。掌握工作与生活的平衡真正的高效能人士都不是工作狂，他们善于掌握工作与生活平衡。工作压力会给我们的工作带来种种不良的影响，形成工作狂或者完美主义等错误的工作习惯，这会大大地降低一个人的工作绩效。及时和同事及上下级交流工作正确处理自己与上下级各类同事的关系，及时和同事、上下级交流工作，是高效能人士，与同事保持良好的互动交流是我们提高工作效能的一个关键。注重准备工作一个善于做准备的人，是距离成功最近的人。一个缺乏准备的员工一定是一个差错不断的人，纵然有超强的能力，千载难逢的机会，也不能保证获得成功。守时如果你想成为一名真正的高效能人士，就必须认清时间的价值，认真计划，准时做每一件事。这是每一个人只要肯做就能做到的，也是一个人走向成功的必由之路。高效地搜集并消化信息当今世界是一个以大量资讯作为基础来开展工作的社会。在商业竞争中，对市场信息尤其是市场关键信息把握的及时性与准确性，对竞争的成败有着特殊的意义。一个高效能人士应当对事物保持敏感，这样才能在工作中赢得主动。重完善自己的人际关系网人际能力在一个人的成功中扮演着重要的角色。成功学专家拿破仑大家认同的杰出人物，其核心能力并不是他的专业优势，相反，出色的人际策略却是他们成功的关键历练说话技巧有人说：往可以为自己的工作锦上添花，如果我们能够巧妙运用语言艺术，对协调人际关系、提高工作效能都将大有裨益。善于集思广益、博采众议一件事物往往存在着多个方面，要想全面、客观地了解一个事物，必须兼听能够做出正确的决定。善于授权善于授权，举重若轻才是管理者正确的工作方式：举轻若重，事必躬亲只会让自己越陷越深，把自己的时间和精力浪费于许多毫无价值的决定上面。制订却实可行的计划许多成功人士一定会成为一个卓有成效的高效能人士。经常和成功人士在一起心理学研究表明，环境可以让一个人产生特定的思维习惯，甚至是行为习惯。环境能够下载本文

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