文科数学
（北京卷）
第一部分
一、选择题
1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于( )．
A．{0} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
答案 B
解析 ∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．
2．设a，b，c∈R，且a>b，则( )．
A．ac>bc B.< C．a2>b2 D．a3>b3
答案 D
解析 当a>b时，a3>b3成立．A中对c＝0不成立．B项取a＝1，b＝－1，则<不成立；C项取a＝1，b＝－2，则a2>b2不成立．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
答案 C
解析 A中为奇函数，B中y＝e－x非奇非偶函数．y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．
4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 i(2－i)＝2i＋1对应点(1,2)在第一象限．
5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B等于( )．
A. B. C. D．1
答案 B
解析 由正弦定理，＝，∴sin B＝sin A＝×＝.
6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 执行一次循环后S＝，i＝1，执行第二次循环后，S＝，i＝2≥2，退出循环体，输出S的值为.
7．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )．
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
答案 C
解析 由x2－＝1知，a＝1，b＝，∴c2＝a2＋b2＝1＋m，e2＝＝1＋m，由e>，得1＋m>2，∴m>1.
8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
答案 B
解析 设正方体边长为1，不同取值为PA＝PC＝PB1＝，PA1＝PD＝PC1＝1，PB＝，PD1＝共有4个．
第二部分
二、填空题
9．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．
答案 2 x＝－1
解析 y2＝2px的焦点F.
∴p＝2，准线l：x＝－＝－1.
10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为____________________________．
答案 3
解析 由三视图知，四棱锥的高h＝1，底面是边长为3的正方形，∴四棱锥的体积V＝S·h＝×32×1＝3.
11．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝＝2n＋1－2.
12．设D为不等式组表示的平面区域．区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
答案
解析
作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB及其内部)，易观察知，所求最小值为点P(1,0)到2x－y＝0的距离d＝＝ .
13．函数f(x)＝的值域为________．
答案 (－∞，2)
解析 当x≥1时，logx≤0；当x<1时，0<2x<2，∴f(x)的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝
(－∞，2)．
14．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足 ＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．
答案 3
解析 设P(x，y)，且＝(2,1)，＝(1,2),
∴＝＋＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)
∴∴
又1≤λ≤2,0≤μ≤1
∴表示的可行域是平行四边形及内部．
可求其面积S＝3.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2x·sin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin
∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.
(2)由f(α)＝，得sin＝1.
∵α∈，则<4α＋<
所以4α＋＝π，故α＝π.
16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解 (1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良．
∴此人到达当日空气质量优良的概率P＝.
(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5日，7日或8日．
∴只有一天空气重度污染的概率P＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
17. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)平面PAD∩平面ABCD＝AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.
∴PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD
所以BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形．
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD
∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD
又E、F分别为CD、CP的中点，
∴EF∥PD，故CD⊥EF.
由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥底面PCD.
18．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解 (1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，
得f′(x)＝x(2＋cos x)
∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．
∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)
则a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增．
当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．
∴f(x)的最小值为f(0)＝1.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，
所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
19．直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
(1)解 ∵四边形OABC为菱形，
则AC与OB相互垂直平分．
由于O(0,0)，B(0,1)
∴设点A，代入椭圆方程得＋＝1
则t＝±，故|AC|＝2.
(2)证明 假设四边形OABC为菱形，
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由
消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－，
因为k·＝－≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
20．给定数列a1，a2，…，an.对i＝1,2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.
(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；
(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列．
(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0.证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．
(1)解 d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明 因为a1>0，公比q>1.
∴数列a1，a2，a3，…，an(n≥4)是递增数列．
因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1，
∴di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1qn－1(1－q)．
因此di≠0，且＝q(i＝1,2，…，n－2)，
故数列d1，d2，…，dn－1是等比数列．
(3)证明 设d为d1，d2，…，dn－1的公差，且d>0，
对于1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0.
∴Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai，
又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.
从而a1，a2，…，an－1是递增数列，
因此Ai＝ai(i＝1,2，…，n－1)．
又因为B1＝A1－d1＝a1－d1 所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di， 因此对于i＝1,2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d. 故数列a1，a2，a3，…，an－1是等差数列．下载本文
