新课标Ⅰ卷数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合{}
2,1,0,1,2M =--，
{
}260
N x x x =--≥，则M N ⋂=（
）A.
{}2,1,0,1-- B.
{}
0,1,2 C.
{}
2- D.2
2.
已知1i
22i
z -=
+，则z z -=（）
A.i
- B.i
C.0
D.1
3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-
，若()()
a b a b λμ+⊥+ ，则（
）
A.1λμ+=
B.1λμ+=-
C.1λμ=
D.1
λμ=-4.设函数()()
2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A.(],2-∞-
B.[)2,0-
C.
(]
0,2 D.
[)
2,+∞
5.设椭圆222
2122:1(1),:14
x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （
）
A.
23
3
B.
C.
D.
6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）
A.1
B.
4
C.
4
D.
4
7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n
S n
为等差数列，则（）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()11
sin ,cos sin 36
αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．
A.
7
9 B.
19
C.19-
D.79
-
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）
A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数
B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数
C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差
D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差
10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级0
20lg p p
L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车106090
混合动力汽车105060
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．
A.12p p ≥
B.2310p p >
C.30
100p p = D.12
100p p ≤11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2
2
f xy y f x x f y =+，则（
）．
A.()00f =
B.()10
f =C.()f x 是偶函数
D.0x =为()f x 的极小值点
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）
A.直径为0.99m 的球体
B.所有棱长均为1.4m 的四面体
C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体
D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===
________．
15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
16.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，
11222,3
F A F B F A F B ⊥=-
，则C 的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；
（2）设5AB =，求AB 边上的高．
18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；
（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．
19.
已知函数()(
)
e x
f x a a x =+-．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当0a >时，()3
2ln 2
f x a >+
．20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n
n n
b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．
（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．
21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11
n n
i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记
前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．
22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；
（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD
的周长大于
2023年普通高等学校招生全国统一考试
新课标Ⅰ卷数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合{}
2,1,0,1,2M =--，
{
}260
N x x x =--≥，则M N ⋂=（
）A.
{}2,1,0,1-- B.
{}0,1,2 C.
{}
2- D.2
【答案】C 【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为{}
(][)2
60,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M
=--，
所以M N ⋂={}2-．
故选：C ．
方法二：因为{}2,1,0,1,2M
=--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以
M N ⋂={}2-．
故选：C ．2.已知1i
22i
z -=+，则z z -=（）
A.
i - B.
i
C.0
D.1
【答案】A 【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2
z =，即i z z -=-．故选：A ．
3.已知向量()()1,1,1,1a b ==- ，若()()a b a b λμ+⊥+
，则（
）
A.1λμ+=
B.1λμ+=-
C.1λμ=
D.1
λμ=-【答案】D 【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+
，a b μ+ ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-
，
由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()
0a b a b λμ+⋅+=
，
即
()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．
故选：D ．
4.设函数()()
2x x a f x -=在区间
()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A.(],2-∞-
B.[)2,0-
C.
(]
0,2 D.
[)
2,+∞【答案】D 【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数
2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a
f x -=在区间()0,1上单调递减，
则有函数2
2()(24
a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，
所以a 的取值范围是[)2,+∞.
故选：D
5.设椭圆2222
122
:1(1),:14
x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e ，则=a （）
A.
3
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由21e ，得22
213e e =，因此
2241134a a --=⨯，而1a >，所以3
a =
.故选：A 6.过点()0,2-与圆2
2410x
y x +--=相切的两条直线的夹角为
α，则sin α=（
）
A.1
B.
4
C.
4 D.
4
【答案】B 【解析】
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2
225x y -+=，可得圆心()2,0C
，半径r ，
过点()0,2P
-作圆C 的切线，切点为,A B ，
因为
PC ==
，则PA
=
可得106
sin ,cos 44APC APC ∠=
=
∠==
，
则sin sin 22sin cos 2444
APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯
⨯=
，2
2
22
1cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛⎫∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即APB ∠为钝角，
所以()sin sin πsin 4
APB APB =-∠=∠=
α
；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0
C ，半径r ，
过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，
可得
PC ==
，则PA PB ===，
因为2
2
2
2
2cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，
即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1
cos 04
APB ∠=-
<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4
APB APB =-∠=-∠=α，
且α
为锐角，所以sin 4
α
==
；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0
C
，半径r ，
若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，
则
=，整理得2810k k ++=，且4600
∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得
12k k -=
所以1212
tan 1k k k k -=
=+
αsin cos α
α
=，可得cos =α则22
2
2
sin sin cos sin 115
+=+=α
ααα，
且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则sin 0α>，解得sin 4
α=
.故选：B.
7.记n S 为数列
{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n
S n 为等差数列，则（
）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1
a
，公差为d ，
则1111(1)1,,222212
n n n n S S S n n n d d d
S na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{
}n
S n
为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{
}n
S n
为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，
即
1(1)
n n
na S t n n +-=+，则1(1)n n S n a t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，
两式相减得：1(1)2n n n a n a n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此
{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：
{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1
a
，公差为d ，即1(1)
2
n n n S na d -=+
，
则
11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n
为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{
}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S
D S n D n n n
+-==+-+，即1(1)n S n S n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，
当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a n D a n D D +-=+-+-=为常数，因此
{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
8.已知()11
sin ,cos sin 36
αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．
A.
7
9 B.
19
C.19-
D.79
-
【答案】B 【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6
αβ=，因此1sin cos 2αβ=，
则2
sin()sin cos cos sin 3
αβαβαβ+=+=
，所以22
21cos(22)cos 2()12sin ()12()3
9
αβαβαβ+=+=-+=-⨯=
.故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）
A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数
B.
2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数
D.
2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差
【答案】BD 【解析】
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()1652341234562345212
x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=
-=
，因为没有确定()1652342
,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，
例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得11
2,6
m n ==
；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为34
2
x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，
则2345,,,x x x x 的波动性不大于16,,x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()1
2468101276
n =+++++=，
标准差13
s =
=，4,6,8,10，则平均数()1
4681074
m =
+++=，
标准差2s =
=，
显然
53
>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；
故选：BD.
10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级0
20lg
p p
L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车106090 混合动力汽车105060
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（
）．
A.12p p ≥
B.2310p p >
C.
30
100p p = D.
12
100p p ≤【答案】ACD 【解析】
【分析】根据题意可知[][]12
3
60,90,50,60,40p p p
L L L ∈∈=，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：[][]12
3
60,90,50,60,40p p p
L L L ∈
∈=，
对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p p
L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则1
2
1220lg
0p p p L L p =-⨯≥，即12
lg 0p
p ≥，所以1
2
1p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得23322003
20lg
20lg 20lg p p p p p
L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥
，则2320lg
10p p ⨯≥，即231
lg 2
p p ≥
，所以2
3
p p ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当2
50p L =时，等号成立，故B 错误；
对于选项C ：因为33020lg
40p p L p =⨯=，即30
lg 2p
p =，可得3
100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121
2
20lg p p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1
2
20lg
40p p ⨯≤，
即12lg
2p p ≤，可得12
100p
p ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（
）．
A.()00f =
B.
()10
f =C.
()f x 是偶函数
D.0x =为
()f x 的极小值点
【答案】ABC 【解析】
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为22()()()f xy y f x x f y =+，
对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，
又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，
对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.
方法二：
因为22()()()f xy y f x x f y =+，
对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，
又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，
对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22
x y ，得到
22
22()()()
f xy f x f y x y x y
=+，故可以设2()
ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0
x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，
当0x >肘，2()ln f x x x =，则()21
2ln (2ln 1)x x x x x
f x x =+⋅
=+'，令
()0f x '<，得1
20e x -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；
故()f x 在12
0,e -⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12
e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1
2,e -⎛
⎫ ⎪⎝∞⎭
-
上单调递减，
显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）
A.直径为0.99m 的球体
B.所有棱长均为1.4m 的四面体
C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体
D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；
对于选项B
1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C
1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D
，且
1.2>，
设正方体1111A B C D ABCD -的中心为O ，以1AC 为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h ，
如图，结合对称性可知：1
111111,0.6222
OC C A C O OC OO ===-=-，则1111C O h AA C A =
，即0.621h -=
，解得
10.340.012h =>>，
所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于C 、D ：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以
及圆柱的性质分析判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144
116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；
综上所述：不同的选课方案共有162424++=种.
故答案为：.
14.在正四棱台1111A B C D ABCD -中，1112,1,AB AB AA ==________．
【答案】
6【解析】【分析】结合图像，依次求得111
,,AO AO AM ，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A 作1AM AC ⊥，垂足为M ，易知1AM 为四棱台1111A B C D ABCD -的高，
因为1112,1,AB A B AA ==，
则11
11111111,22222AO AC B AO AC ======，
故()11122
AM AC AC =-=，则12A M ===，
所以所求体积为1(41326
V =⨯+⨯=.
故答案为：6
.15.已知函数
()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
【答案】[2,3)
【解析】【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，
令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，
令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，
结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，
故答案为：[2,3).
16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，
11222,3
F A F B F A F B ⊥=- ，则C 的离心率为________．
【答案】
5##【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t =
=-，224t c =，将点A 代入双曲线C 得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，
在1Rt ABF 中，
2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），
所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故1
1244cos 55AF a F AF AB a ∠=
==，所以在12AF F △中，22212144cos 2425
a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，
故5
c e a ==
.方法二:
依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则0023
5,3x c y t ==-，又11F A FB ⊥ ，所以()1182,,3
3F A F B c t c t ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222
254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b -=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169c c a a c a c a --=-，
整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a
c a --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >
，所以5e =
或5e =（舍去）
，故5
e =.
故答案为：5
.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知在ABC 中，()3,2sin
sin A B C A C B +=-=．
（1）求sin A ；
（2）设5AB =，求AB 边上的高．
【答案】（1
）
10
（2）6
【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.
【小问1详解】
3A B C += ，
π3C C ∴-=，即π4
C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，
2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，
sin cos 3cos sin A C A C ∴=，
sin 3cos A A ∴=，
即tan 3A =，所以π02
A <<
，310sin 10
A ∴==.【小问2详解】由（1
）知，10cos 10A ==
，由sin sin()B A C =
+sin cos cos sin (210105
A C A C =+=
+=，由正弦定理，sin sin c b C B =
，可得52
2
b ==，11sin 22
AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅
，sin 610
h b A ∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111A B C D ABCD -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1D D 上，
22221,2,3AA BB D D C C ====．
（1）证明：2222B C A D ∥；
（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P AC D --为150︒时，求2B P ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设(0,2,)(04)P λλ≤≤，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解.
【小问1详解】
以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1
)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- ，
2222B C A D ∴ ∥，又2222BC A D ，
不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.
【小问2详解】
设(0,2,)(04)P λλ≤≤，
则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=--- ，
设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =
，则22222202(3)0
n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，
(1,3,2)n λλ∴=-- ，设平面222AC D 的法向量(,,)m a b c = ，
则2222222020
m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，得1,2==b c ，
(1,1,2)m ∴=
，cos ,cos150n m n m n m ⋅∴===︒= ，化简可得，2430λλ-+=，
解得1λ=或3λ=，
(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，
21B P ∴=.
19.已知函数()()
e x
f x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+
．【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02
g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.
方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02
a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】
因为(
)()e x
f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1x f x a '=-，
当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1x f x a -'=<恒成立，
所以
()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，令
()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，
当ln x a <-时，
()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；
当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；
综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，
()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.
【小问2详解】方法一：
由（1）得，()()(
)ln min 2ln ln ln e 1a
f a a x a f a a a --+=++=+=，
要证3()2ln 2f x a >+
，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证2
1ln 02
a a -->恒成立，令()()2
1ln 02g a a a a =-->，则()2121
2a g a a a a
-'=-=，
令()0g a '
<，则02a <<
；令()0g a '>，则2
a >；所以()g a 在20,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以()2
min
1ln 02222g a g ⎛⎫⎛⎫==--=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()0g a >恒成立，
所以当0a >时，3
()2ln 2
f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h
x x =--，则()e 1x h x '=-，
由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1x h x '=-在R 上单调递增，
又()00e 10h '
=-=，
所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；
所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
故()()00h
x h ≥=，则e
1x
x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，
因为(
)
2ln 22()e e e
ln 1x
x x a
f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，
当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+
，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证2
1ln 02
a a -->，令()()2
1ln 02g a a a a =-->，则()2121
2a g a a a a
-'=-=，
令()0g a '
<
，则02a <<
；令()0g a '>
，则2
a >；所以()g
a
在0,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增，
所以(
)
2
min
1ln 02222g a g ⎛⎫⎛⎫==--=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3
()2ln 2
f x a >+
恒成立，证毕.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n
n n
b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．
（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；
（2）若
{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d
．
【答案】（1）3n a n =（2）5150
d =【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501a b -=，分类讨论即可得解.
【小问1详解】
21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，
又312326129
23T b b b d d d d
=++=
++=，339
621S T d d
∴+=+
=，即22730d d -+=，解得3d =或1
2
d =
（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.
【小问2详解】
{}n b 为等差数列，
2132b b b ∴=+，即21312212
a a a =+，
23231
11616(
)d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，
又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即5050
1a b -=，
5050
25501a a ∴-
=，即2
505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；
当1
a d =时，501495051a a d d =+==，解得51
50
d =
.综上，5150
d =
.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11
n n
i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记
前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．
【答案】（1）0.6
（2）1
121653
i -⎛⎫⨯+
⎪
⎝⎭
（3）52()11853
n
n
E Y ⎡⎤⎛⎫=-+
⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设()i i P
A p =，由题意可得1
0.40.2i i p
p +=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【小问1详解】
记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，
所以，()()()()()()()
21212121121||P
B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.
【小问2详解】设()i i P
A p =，依题可知，()1i i P
B p =-，则
()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，
即
()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，
构造等比数列{}i p λ+，
设()125i i p p λλ++=
+，解得1
3λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，
又11111,236p p =
-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是首项为16，公比为2
5的等比数列，即1
1
112121,365653
i i i i p p --⎛⎫
⎛⎫-=⨯=⨯+
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
．【小问3详解】
因为1
121
653
i i p -⎛⎫
=⨯+
⎪
⎝⎭
，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315
n
n n n n E Y p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，
故52()11853
n
n
E Y ⎡⎤⎛⎫
=-+⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本
知识求解．
22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；
（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD
的周长大于【答案】（1）2
1
4
y x =+
（2）见解析【解析】
【分析】（1）设(,)P x y ，根据题意列出方程2
2212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点
222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，且a b c <<，分别令
0A B k a b m =+=<，0BC k b c n =+=>，且
1mn =-，利用放缩法
得
112C n n ⎛
≥+ ⎝
，设函数()
2
21()1f x x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，利用导数求出其最小值，则得C 的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线
AB 的方程为2
1
()4
y k x a a =-++
，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得
AB AD +≥
，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【小问1详解】
设(,)P x y ,
则y =2
14y x =+，
故2
1:4
W y x =+
.【小问2详解】
法一：设矩形的三个顶点2
22111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
在W 上,且a
b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则1,A B B C k k a b b c =⋅-+<+,令
2240
114AB
k b a b a b a
m ⎛⎫+-+ ⎪
⎝=+⎭
==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n
=-
，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n
-=-=-=+
，
则
11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛
=+=-+-≥-=+ ⎝
.0n >，
易知10n n ⎛+> ⎝
则令()
2
2
2111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭,
令()0f x '=
，解得2
x =
，
当2x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，
()0f x '<，此时()f x 单调递减，
当,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，
()0f x '>，此时()f x 单调递增，
则min 27()24f x f ⎫==⎪ ⎪⎝⎭
，
故
122
C ≥=
,
即C ≥.
当C =
,,2
n m ==,
且((b a b a -=-m n =
时等号成立，矛盾，故C >,
得证.
法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥
，
依题意可设2
1,4A a a
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0，则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1
k
-
，由对称性，不妨设1k ≤，直线AB 的方程为2
1()4
y k x a a =-++
，则联立2
214
1()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
得220x kx ka a -+-=，
()()2
22420k ka a k a ∆=--=->，则2k a
≠
则||2|AB k a =-，
同理||2AD a =，
|||||2|2AB AD k a a ∴+=-
1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m
+==+++，则2
221(21)(1)()23m m f m m m m '
-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =，当10,2m ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，
当1,2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，()0f m '>，此时()f m 单调递增，则min 127()24
f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
||||2AB AD ∴+≥
，
但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时
2k =不一致，故2
AB AD +>.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动
14个单位得抛物线2:W y x '=,
矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()(
)222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.
由于1020,AB t BC t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,
则1020AB BC t t ''''+--.令20tan t t θ+=,
10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而
))
002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-
故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''
-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时
,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''
''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000co t tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22
t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B BC θθθθθθθθ
''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ
-+>+=
+
==
332≥≥=
，当且仅当cos 3
θ
=时等号成立，故2A B B C '
'''
+>，故矩形周长大于
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得11||||2C AB BC n n ⎛=+≥+ ⎝，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.下载本文
