一、选择题（每小题4分，共40分）

1．下列四个实数中，是无理数的是（　　）

A．﹣π    B．3.1415    C．    D．

2．下列调查工作适合采用普查方式的是（　　）

A．重庆市环保局对嘉陵江水域的水污染情况的调查    

B．重庆市旅游局了解外地游客对洪崖洞的印象    

C．重庆市质检部门对各厂家生产的电灯泡使用寿命的调查    

D．神舟十二号载人飞船发射前，工作人员对其各个零部作安全情况的检查

3．如图，木工师傅在制作木门时，为了使本门不容易变形，常常在它的背面加钉了一根木条，这样做的依据是（　　）

A．垂线段最短    

B．三角形具有稳定性    

C．两点之间线段最短    

D．三角形任意两边之和大于第三边

4．如图，象棋盘上，若“将”位于点（3，﹣3），“车“位于点（﹣1，﹣3），则“马”位于（　　）

A．（1，3）    B．（3，3）    C．（0，6）    D．（6，0）

5．如果n＝﹣1，那么n的取值范围是（　　）

A．0＜n＜1    B．1＜n＜2    C．2＜n＜3    D．3＜n＜4

6．若a＞b，则下列各式中不正确的是（　　）

A．5a＞5b    B．    C．﹣a＞﹣b    D．a﹣3＞b﹣3

7．重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，相遇时小汽车比货年多行驶40km，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

8．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（　　）

A．∠ECB＝∠DCA    B．BC＝EC    C．∠A＝∠D    D．AC＝DC

9．若a使得关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且使得关于y的方程4y﹣3a＝2（y﹣3）有正数解，则所有满足条件的整数a的个数为（　　）

A．6    B．5    C．4    D．3

10．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6.4，CD＝5.2．则DE的长度为（　　）

A．1.2    B．0.6    C．0.8    D．1

二、填空题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）

11．﹣的立方根为　               　．

12．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　．

13．若点P（a﹣2，a）在第一象限，则a的取值范围为 　    　．

14．若是二元一次方程2x+y＝3的一组解．则6a+3b＝　 　．

15．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为　    　．

16．设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是 　      　．

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝　 　．

18．如图，BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，BF、CE交于点G，如果∠BDC＝120°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为 　   　度．

19．如图所示，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　 　．

20．“开放的六月”美术馆之夜携手多所艺术高校在重庆正式开启，分别有音乐表演、剧场表演、灯光秀以及时装秀四个类型的演出，且每类演出的单价均为整数，其中音乐表演和剧场表演的门票单价分别为8元和15元，灯光秀和时装秀的门票单价之比为4：13．我校准备组织热爱艺术的同学前往观看表演，带队老师在统计购买门票时发现，购买音乐表演的门票数量大于5小于10，购买剧场表演的门票数量大于20不大于26．购买时装秀的门票数量少于购买灯光秀门票数量的2倍，而购买时装秀门票数量小于16，购买时装秀门票数量与购买灯光秀门票数量之差大于5小于10．且购买音乐表演、剧场表演门票的总价恰好等于购买灯光秀和时装秀的门票总价．而在实际购票时，售票员将音乐表演，剧场表演门票数量搞反了，将灯光秀和时装秀门票数量也搞反了，结果发现购买音乐表演和剧场表演门票的总价还是等于购买灯光秀和时装秀的门票总价，则实际购票时购买灯光秀和时装秀门票总价为 　    　元．

三、解答题：（本大题8个小题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

21．解二元一次方程组：

（1）；

（2）．

22．解不等式（组）：

（1）3（3x﹣2）﹣1＞2x，并将解集表示在数轴上；

（2）．

23．如图，已知∠ABC，求作：∠ABC的角平分线BP（不写作法，保留作图痕迹）．

24．今年是巴蜀中学建校88周年纪念，为了让学生进一步了解巴蜀中学的历史，学校在初一年级组织了一系列“校史知识”专题学习活动，进行了一次书面测试（满分100分）阅卷后教务处随机地抽取了部分答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为100分，且分数都为整数．并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段71≤x＜81对应扇形圆心角度数是 　   　度；

（4）我校初一年级共有2000人参加测试，学校准备对成绩在91≤x＜101的学生进行奖励，请你计初一年级获得奖励的学生人数．

25．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．

（1）求证：△ABF≌△ADF；

（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．

26．2021年初，随着重庆本地的一些优势的落地，城市经济发展状况越来越好，购房需求有增无减，重庆楼市涨幅明显，据国家统计局5月17日公布的70城房价数据显示，4月重庆新房价格环比上涨1.4%，领涨全国；二手房价格环比上涨13%，涨幅全国第二．5月份，重庆RC壹号院甄装大平层璀璨登场，共推出A、B两种大平层共100套，其中A户型340万元/套，B户型460万元/套．

（1）RC壹号院5月的销售总额为38800万元，问5月推出A、B两种户型各多少套？

（2）近期，关于重庆银行利率上涨、二手房将停贷等消息在朋友圈被大量转发，重庆楼市将要进行成为了各大平台的热点话题．为年中清盘促销，地产商调整了营销方案，对销售团队采取奖励办法：每销售一套A户型按每套售价的a%给予奖励，每销售一套B户型按每套售价的0.5%给予奖励．奖励办法出台后．A户型6月份的销售量比5月份增加了50%；而B户型6月份的销售量比5月份减少了a%，为保证销售团队6月份类励金额不低于152.97万元，求a的最小值．

27．我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）X．

X进制的数转化为十进制数的方法：X进制表示的数（1111）X中，从右边数起，第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，故（1111）X转化为十进制为：（1111）X＝1×X3+1×X2+1×X1+1×X0（规定当X≠0时，X0＝1）．

例如：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5，（1023）5＝1×53+0×52+2×51+3×50＝138．

根据材料，完成以下问题：

（1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：（10101）3＝　   　，（257）8＝　   　；

（2）一个四进制三位数（a3b）4与七进制三位数（3ba）7之和能被8整除（1≤a≤3，1≤b≤3．且a，b均为整数），求a的值；

（3）若一个八进制数与一个六进制数之差为420，则称这两个数为“坤鹏数”，试判断（mm4）8与（n2n）6是否为“坤鹏数”并说明理由．

28．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．

（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为 　   　度；

（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；

（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．

参

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）

1．下列四个实数中，是无理数的是（　　）

A．﹣π    B．3.1415    C．    D．

【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数．

解：选项A、﹣π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意；

选项B、3.1415是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；

选项C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；

选项D、＝3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

故选：A．

2．下列调查工作适合采用普查方式的是（　　）

A．重庆市环保局对嘉陵江水域的水污染情况的调查    

B．重庆市旅游局了解外地游客对洪崖洞的印象    

C．重庆市质检部门对各厂家生产的电灯泡使用寿命的调查    

D．神舟十二号载人飞船发射前，工作人员对其各个零部作安全情况的检查

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

解：A．重庆市环保局对嘉陵江水域的水污染情况的调查，适合抽样调查，选项不合题意；

B．重庆市旅游局了解外地游客对洪崖洞的印象，适合抽样调查，选项不合题意；

C．重庆市质检部门对各厂家生产的电灯泡使用寿命的调查，适合抽样调查，选项不合题意；

D．神舟十二号载人飞船发射前，工作人员对其各个零部作安全情况的检查，适合全面调查，选项符合题意．

故选：D．

3．如图，木工师傅在制作木门时，为了使本门不容易变形，常常在它的背面加钉了一根木条，这样做的依据是（　　）

A．垂线段最短    

B．三角形具有稳定性    

C．两点之间线段最短    

D．三角形任意两边之和大于第三边

【分析】根据三角形具有稳定性解答．

解：这样做的道理是三角形具有稳定性．

故选：B．

4．如图，象棋盘上，若“将”位于点（3，﹣3），“车“位于点（﹣1，﹣3），则“马”位于（　　）

A．（1，3）    B．（3，3）    C．（0，6）    D．（6，0）

【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，得出答案．

解：如图所示：“马”位于（6，0）．

故选：D．

5．如果n＝﹣1，那么n的取值范围是（　　）

A．0＜n＜1    B．1＜n＜2    C．2＜n＜3    D．3＜n＜4

【分析】先估算出的范围，再写出﹣1的范围即可．

解：∵9＜12＜16，

∴3＜＜4，

∴2＜﹣1＜3，

故选：C．

6．若a＞b，则下列各式中不正确的是（　　）

A．5a＞5b    B．    C．﹣a＞﹣b    D．a﹣3＞b﹣3

【分析】根据不等式的性质，可得答案．

解：A、不等式a＞b的两边都乘以5，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；

B、不等式a＞b的两边都除以﹣4，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意；

C、不等式a＞b的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项符合题意；

D、不等式a＞b的两边都减去3，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；

故选：C．

7．重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，相遇时小汽车比货年多行驶40km，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

【分析】根据路程＝速度×时间，结合“经过1小时40分钟两车相遇，且相遇时小汽车比货车多行驶40km”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

解：设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，根据题意可得：，

故选：D．

8．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（　　）

A．∠ECB＝∠DCA    B．BC＝EC    C．∠A＝∠D    D．AC＝DC

【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．

解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，

∴当添加∠ECB＝∠DCA，则∠ACB＝∠DCE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△DEC；

当添加BC＝EC，则可根据“SAS”判断△ABC≌△DEC；

当添加∠A＝∠D，则可根据“ASA”判断△ABC≌△DEC．

故选：D．

9．若a使得关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且使得关于y的方程4y﹣3a＝2（y﹣3）有正数解，则所有满足条件的整数a的个数为（　　）

A．6    B．5    C．4    D．3

【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有2个整数解，得到a的范围；解关于y的方程，根据方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤7，所以a的整数解为3，4，5，6，7．

解：，

解不等式①得：x≥，

解不等式②得：x＜4，

∴不等式组的解集为≤x＜4，

∵不等式组有且仅有2个整数解，

∴1＜≤2，

∴1＜a≤7；

解关于y的方程4y﹣3a＝2（y﹣3）得：y＝，

∵方程有正数解，

∴＞0，

∴a＞2，

∴2＜a≤7，

∴a的整数解为3，4，5，6，7共5个，

故选：B．

10．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6.4，CD＝5.2．则DE的长度为（　　）

A．1.2    B．0.6    C．0.8    D．1

【分析】过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF＝AE，CF＝BE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF＝DE，最后根据线段的和差即可求解．

解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，

∴∠AFC＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AFC＝∠AED＝∠AEB＝90°，

在△AFC和△AEB中，

，

∴△AFC≌△AEB（AAS），

∴AF＝AE，CF＝BE，

在Rt△AFD和Rt△AED中，

，

∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），

∴DF＝DE，

∵CF＝CD+DF，BE＝BD﹣DE，CF＝BE，

∴CD+DF＝BD﹣DE，

∴2DE＝BD﹣CD，

∵BD＝6.4，CD＝5.2，

∴2DE＝1.2，

∴DE＝0.6，

故选：B．

二、填空题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）

11．﹣的立方根为　﹣　．

【分析】可以利用立方根的定义来进行计算．

解：

∵＝﹣，

∴﹣的立方根为﹣，

故答案为：﹣．

12．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　8　．

【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．

解：设多边形边数有x条，由题意得：

180（x﹣2）＝1080，

解得：x＝8，

故答案为：8．

13．若点P（a﹣2，a）在第一象限，则a的取值范围为 　a＞2　．

【分析】根据第一象限内点的坐标符合特点列出关于a的不等式，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

解：∵点P（a﹣2，a）在第一象限，

∴，

解得a＞2，

故答案为：a＞2．

14．若是二元一次方程2x+y＝3的一组解．则6a+3b＝　9　．

【分析】将代入2x+y＝3，可得2a+b＝3，即可求解．

解：将代入2x+y＝3，可得

2a+b＝3，

∴6a+3b＝3（2a+b）＝3×3＝9，

故答案为9．

15．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为　85°　．

【分析】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数．

解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，

∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．

∵∠EBC＝20°，

∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．

故答案为：85°．

16．设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是 　2a+2c　．

【分析】根据三角形的三边关系可得a+c＞b，再化简式子+|b﹣a﹣c|＝a+b+c+（a+c﹣b）＝2a+2c．

解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，

∴a+c＞b，

∴+|b﹣a﹣c|＝a+b+c+|b﹣（a+c）|＝a+b+c+（a+c﹣b）＝2a+2c，

故答案为2a+2c．

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝　1　．

【分析】由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD＝CE＝2，BE＝CD＝1，即可求解．

解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ACD+∠BCE，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD＝CE＝2，BE＝CD＝1，

∴DE＝CE﹣CD＝1，

故答案为1．

18．如图，BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，BF、CE交于点G，如果∠BDC＝120°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为 　80　度．

【分析】利用三角形外角的性质证明∠ABF+∠ACE＝110°﹣∠A，由角平分线的定义可得∠ABD+∠ACD＝200°﹣2∠A，延长CD交AB于点M，再根据三角形外角的性质可得∠A+200°﹣2∠A＝120°，进而可求解∠A的度数．

解：∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BGC＝∠BEC+∠ABF，

∴∠BGC＝∠A+∠ACE+∠ABF，

∴∠ABF+∠ACE＝∠BGC﹣∠A，

∵∠BGC＝100°，

∴∠ABF+∠ACE＝100°﹣∠A，

∵BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，

∴∠ABD＝2∠ABF，∠ACD＝2∠ACE，

∴∠ABD+∠ACD＝2（∠ABF+∠ACE）＝2（100°﹣∠A）＝200°﹣2∠A，

延长CD交AB于点M，

∵∠BDC＝∠DMB+∠ABD，∠DMB＝∠A+∠ACD，

∴∠BDC＝∠A+∠ACD+∠ABD，

∵∠BDC＝120°，

∴∠A+200°﹣2∠A＝120°，

解得∠A＝80°．

故答案为80．

19．如图所示，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　5　．

【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，证明Rt△DEF≌Rt△DGH，得到△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，结合图形计算得到答案．

解：过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，

∴DH＝DF，

在Rt△DEF和Rt△DGH中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），

∴△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，

同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，

∴△ADF的面积＝△ADH的面积＝9﹣2＝7，

∴△ADE的面积＝△ADF的面积﹣△DEE的面积＝7﹣2＝5，

故答案为：5．

20．“开放的六月”美术馆之夜携手多所艺术高校在重庆正式开启，分别有音乐表演、剧场表演、灯光秀以及时装秀四个类型的演出，且每类演出的单价均为整数，其中音乐表演和剧场表演的门票单价分别为8元和15元，灯光秀和时装秀的门票单价之比为4：13．我校准备组织热爱艺术的同学前往观看表演，带队老师在统计购买门票时发现，购买音乐表演的门票数量大于5小于10，购买剧场表演的门票数量大于20不大于26．购买时装秀的门票数量少于购买灯光秀门票数量的2倍，而购买时装秀门票数量小于16，购买时装秀门票数量与购买灯光秀门票数量之差大于5小于10．且购买音乐表演、剧场表演门票的总价恰好等于购买灯光秀和时装秀的门票总价．而在实际购票时，售票员将音乐表演，剧场表演门票数量搞反了，将灯光秀和时装秀门票数量也搞反了，结果发现购买音乐表演和剧场表演门票的总价还是等于购买灯光秀和时装秀的门票总价，则实际购票时购买灯光秀和时装秀门票总价为 　454　元．

【分析】设前去参观“音乐表演”、“剧场表演”、“灯光秀”以及“时装秀”表演的人数分别为a人，b人，c人和d人，灯光秀和时装秀的门票单价为4x元，13x元，根据题意列出不等式组，求出c，d的值，再确定x的值，从而可得结论．

解：设前去参观“音乐表演”、“剧场表演”、“灯光秀”以及“时装秀”表演的人数分别为a人，b人，c人和d人，灯光秀和时装秀的门票单价为4x元，13x元，根据题意得，

，

∴，

∵d，c均为整数，

∴或或，

∵，

∴7（a﹣b）＝9（c﹣d）x，

∴x＝，

∴c﹣d必为7的倍数，

∴c＝8，d＝15，

∴x＝，

∵，

∴10＜a﹣b＜21，

∵x是整数，

∴a﹣b＝18，x＝2，

∴实际购票时购买灯光秀和时装秀门票总价为：2×（4×8+13×15）＝454，

故答案为：454．

三、解答题：（本大题8个小题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

21．解二元一次方程组：

（1）；

（2）．

【分析】（1）①+②×2得出5x＝15，求出x，再把x＝3代入①求出y即可；

（2）整理后①+②得出4x＝0，求出x，再把x＝0代入①求出y即可．

解：（1），

①+②×2，得5x＝15，

解得：x＝3，

把x＝3代入①，得3﹣2y＝1，

解得：y＝1，

所以方程组的解是；

（2）整理，得，

①+②，得4x＝0，

解得：x＝0，

把x＝0代入①，得0+4y＝2，

解得：y＝，

所以方程组的解是．

22．解不等式（组）：

（1）3（3x﹣2）﹣1＞2x，并将解集表示在数轴上；

（2）．

【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．

（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解：（1）去括号，得：9x﹣6﹣1＞2x，

移项，得：9x﹣2x＞6+1，

合并同类项，得：7x＞7，

系数化为1，得：x＞1，

表示在数轴上如下：

；

（2），

解不等式①得：x＞﹣1，

解不等式②得：x≤4，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤4，

23．如图，已知∠ABC，求作：∠ABC的角平分线BP（不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】利用基本作图求解．

解：如图，BP为所作．

24．今年是巴蜀中学建校88周年纪念，为了让学生进一步了解巴蜀中学的历史，学校在初一年级组织了一系列“校史知识”专题学习活动，进行了一次书面测试（满分100分）阅卷后教务处随机地抽取了部分答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为100分，且分数都为整数．并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段71≤x＜81对应扇形圆心角度数是 　54　度；

（4）我校初一年级共有2000人参加测试，学校准备对成绩在91≤x＜101的学生进行奖励，请你计初一年级获得奖励的学生人数．

【分析】（1）根据分数段在61≤x＜71中的频数是18人，频率为0.18，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；

（2）根据a、b的值以及各组的频数即可补全频数分布直方图；

（3）求出分数段71≤x＜81的人数所占调查人数的百分比，即可求出对应的扇形圆心角度数；

（4）根据样本中成绩在91≤x＜101的学生所占的百分比，即可估计总体2000人中成绩在91≤x＜101的学生人数．

解：（1）∵被调查的总人数为18÷0.18＝100（人），

∴a＝100×0.2＝20，b＝100﹣（20+18+35+12）＝15，

∴c＝15÷100＝0.15，

故答案为：20、15、0.15；

（2）补全图形如下：

（3）360°×＝54°，

故答案为：54；

（4）2000×0.12＝240（人），

答：初一年级2000人中成绩在91≤x＜101的获得奖励的学生大约有240人．

25．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．

（1）求证：△ABF≌△ADF；

（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．

解：（1）∵FD∥BC，

∴∠ADF＝∠C，

∵∠ABF＝∠C，

∴∠ABF＝∠ADF，

∵AF平分∠BAE，

∴∠BAF＝∠CAF，

在△ABF和△ADF中，

，

∴△ABF≌△ADF（AAS）；

（2）∵△ABF≌△ADF，

∴AD＝AB＝8，BF＝DF，

∵AE＝5，

∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3，

∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10．

26．2021年初，随着重庆本地的一些优势的落地，城市经济发展状况越来越好，购房需求有增无减，重庆楼市涨幅明显，据国家统计局5月17日公布的70城房价数据显示，4月重庆新房价格环比上涨1.4%，领涨全国；二手房价格环比上涨13%，涨幅全国第二．5月份，重庆RC壹号院甄装大平层璀璨登场，共推出A、B两种大平层共100套，其中A户型340万元/套，B户型460万元/套．

（1）RC壹号院5月的销售总额为38800万元，问5月推出A、B两种户型各多少套？

（2）近期，关于重庆银行利率上涨、二手房将停贷等消息在朋友圈被大量转发，重庆楼市将要进行成为了各大平台的热点话题．为年中清盘促销，地产商调整了营销方案，对销售团队采取奖励办法：每销售一套A户型按每套售价的a%给予奖励，每销售一套B户型按每套售价的0.5%给予奖励．奖励办法出台后．A户型6月份的销售量比5月份增加了50%；而B户型6月份的销售量比5月份减少了a%，为保证销售团队6月份类励金额不低于152.97万元，求a的最小值．

【分析】（1）设5月推出A户型x套，则推出B户型（100﹣x）套，利用销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合销售团队6月份类励金额不低于152.97万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

解：（1）设5月推出A户型x套，则推出B户型（100﹣x）套，

依题意得：340x+460（100﹣x）＝38800，

解得：x＝60，

∴100﹣x＝100﹣60＝40（套）．

答：5月推出A户型60套，B户型40套．

（2）依题意得：340×a%×60×（1+50%）+460×0.5%×40（1﹣a%）≥152.97，

化简得：304.85a≥60.97，

解得：a≥0.2．

答：a的最小值为0.2．

27．我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）X．

X进制的数转化为十进制数的方法：X进制表示的数（1111）X中，从右边数起，第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，故（1111）X转化为十进制为：（1111）X＝1×X3+1×X2+1×X1+1×X0（规定当X≠0时，X0＝1）．

例如：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5，（1023）5＝1×53+0×52+2×51+3×50＝138．

根据材料，完成以下问题：

（1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：（10101）3＝　91　，（257）8＝　175　；

（2）一个四进制三位数（a3b）4与七进制三位数（3ba）7之和能被8整除（1≤a≤3，1≤b≤3．且a，b均为整数），求a的值；

（3）若一个八进制数与一个六进制数之差为420，则称这两个数为“坤鹏数”，试判断（mm4）8与（n2n）6是否为“坤鹏数”并说明理由．

【分析】（1）根据转化算法公式直接代入即可算出．

（2）把这两个数都转化为十进制数求和，再讨论这个和是否是8的整数倍．

（3）把两个数都转化为十进制数做差，再根据这个八进制数与一个六进制数之差为420列等式，再根据所得等式，进一步讨论m、n的值．

解：（1）（10101）3＝1×34+0×33+1×32+0×31+1×30＝91，

（257）8＝2×82+5×81+7×80＝175．

故答案是：91，175．

（2）（a3b）4+（3ba）7

＝a×42+3×41+b×40+3×72+b×71+a×70

＝16a+12+b+49×3+7b+a

＝17a+8b+159．

因为8b是8的整数倍，只需（17a+159）是8的整数倍，则（17a+8b+159）就是8的整数倍．

当a＝1时，（17a+159）是8的整数倍．

当a＝2或3时，（17a+159）都不是8的倍数．

所以a＝8．

（3）令（mm4）8﹣（n2n）6＝420，

m×82+m×81+4×80+n×62+2×61+n×60＝420，

72m﹣37n＝428，

m＝，

当n＝1时，m＝，

当n＝2时，m＝，

当n＝3时，m＝，

当n＝4时，m＝8＞6，

当n＝5时，m＝，

可见都不合题意，所以（mm4）8与（n2n）6不是坤鹏数．

28．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．

（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为 　27　度；

（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；

（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．

【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．

（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．证明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ＝BE＝3，QF＝EF，求出EF，可得结论．

（3）如图3中，结论：CN+MN＝BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论．

解：（1）如图1中，

∵△ACB，△CDE都是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD＝∠CBE＝28°，

∵∠DCB＝10°，

∴∠ECB＝90°﹣10°＝80°，

∴∠CEB＝180°﹣80°﹣28°＝72°，

∵∠CED＝45°，

∴∠DEB＝72°﹣45°＝27°．

故答案为：27．

（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC＝∠CEB，AD＝BE＝3，

∵∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠ADC＝∠CEB＝135°，

∴∠AEB＝90°，

在△CFQ和∠BFE中，

，

∴△CQF≌△BEF（AAS），

∴CQ＝BE＝3，QF＝EF，

∵CQ＝EQ＝3，

∴EF＝EQ＝，

∴S△CEF＝•EF•CQ＝××3＝．

（3）如图3中，结论：CN+MN＝BG．

理由：如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∵∠BCT+∠ECB＝90°，∠ECB+∠CBG＝90°，

∴BCT＝∠CBG，

在△CBT和△BCG中，

，

∴△CBT≌△BCG（ASA），

∴BT＝CG，CT＝BG，

∵BM＝CG，

∴BM＝BT，

在△BNM和△BNT中，

，

∴△BNM≌△BNT（SAS），

∴MN＝NT，

∴CN+MN＝CN+NT＝CT＝BG．下载本文