数学（理科）
一．选择题
1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i
A ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1 2．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 3．已知y x ,为正实数，则 A.y x y
x lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222∙=+
C.y x y
x lg lg lg lg 222
+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙=
4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2
π
ϕ=的
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
5
9
，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a
6．已知2
10
cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.
34 B. 4
3
C.43-
D.34-
（第5题图）
7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P
4
1
0=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P 00∙≥∙。则
A. 090=∠ABC
B. 090=∠BAC
C. AC AB =
D.BC AC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则
A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值
B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值
C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值
D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值
9．如图，21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公
共点。若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是
A. 2
B. 3
C.
23 D.2
6
10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=。设βα,是两个不同的平面，对空间任
意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则
A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为0
45
C. 平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为0
60
二、填空题 11．设二项式5
3)1(x
x -
的展开式中常数项为A ，则=A ________。 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2
cm 。
13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。
14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字
作答）
15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的
中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________。
16．ABC ∆中，0
90=∠C ,M 是BC 的中点，若3
1
sin =
∠BAM ，则=∠BAC sin ________。 17．设21,e e 为单位向量，非零向量R y x e y e x ∈+=,,21，若21,e e 的夹角为6π
，则的最大值等于________。 三、解答题
18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列。
（1）求n a d ,； （2）若0 出蓝球得3分。 （1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列； （2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若 9 5 ,35==ηηD E ，求.::c b a 20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小. 21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直 径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D （1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程. 22．已知R a ∈，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f （1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值。 A B C D P Q M （第20题图） （第21题图） 参 一、选择题 1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题 11．-10 12．24 13．2 14．480 15．1± 16 ．2 三、解答题 18．解：（Ⅰ）由已知得到： 22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5) a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+ 2 2 41 12122125253404611n n d d d d d d d a n a n ==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨ =+=-⎩⎩或； （Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n ≤≤时， 123123(1011)(21) 0||||||||22 n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++== ②当12n ≤时， 1231231112132123111230||||||||() 11(2111)(21)212202()()2222 n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-= 所以，综上所述：1232 (21) ,(111)2||||||||21220,(12)2 n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪ ++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ； 19．解：（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331 (2)6 P ξ⨯===⨯；当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135 (4)66666618 P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时3ξ=，此时32231 (3)66663 P ξ⨯⨯== +=⨯⨯；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时5ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=，此时111 (6)6636 P ξ⨯===⨯；所以ξ的分布列是： 9 所以： 222 5233555253(1)(2)(3 )9333 a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη⎧== + + ⎪⎪+ +++++⎨ ⎪==-⨯ +-⨯+-⨯⎪++++++⎩， 所以 2,3::b c a c a b c ==∴=。 20．解：证明（Ⅰ）方法一：如图6，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =。因为P 是BM 中点，所以//PF BD ；又因为（Ⅰ）3AQ QC =且3AF FD =，所以//QF BD ，所以面//PQF 面BDC ，且PQ ⊂面BDC ，所以//PQ 面BDC ； 方法二：如图7所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以1 // 2 PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH CH =，且3A Q Q C =，所以11 // //42 QH AD MD ，所以////PO QH PQ OH ∴，且OH BCD ⊂，所以//PQ 面BDC ； （Ⅱ）如图8所示，由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥，过G 作 GH BM ⊥于H ，连接CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角； 由已知得到3BM ==，设 BD C α∠=，所以 cos ,sin ,sin ,,CD CG CB CD CG BC BD CD BD αααααα===⇒===， 在RT BCG ∆中 ，2s i n 2s i n BG BCG BG BC ααα∠=∴=∴=，所以在RT BHG ∆中， 13HG =∴=，所以在RT CHG ∆中 tan tan60 3 CG CHG HG ∠==== tan(0,90)6060 BDC ααα ∴=∈∴=∴∠= ； 21．解：（Ⅰ）由已知得到1 b=，且242 a a =∴=，所以椭圆的方程是 2 21 4 x y +=； （Ⅱ）因为直线 12 l l ⊥，且都过点(0,1) P-，所以设直线 1 :110 l y k x k x y =-⇒--=，直线2 1 :10 l y x x k y k k =--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线 1 :110 l y k x k x y =-⇒--=的距离 为 d=所以直线 1 l被圆224 x y += 所截的弦AB== 由222 2 2 480 1 4 x ky k k x x kx x y ++= ⎧ ⎪ ⇒++= ⎨ += ⎪ ⎩ ，所以 2 8 || 44 D P k x x DP k k +=-∴== ++ 222 114 |||| 22444313 ABD S AB DP k k k ∆ ⨯ ==⨯== ++++ 2 3232 ==≤= + 2 5 2 k k =⇒=⇒= 时等号成立，此时直线 1 :1 l y x =- 22．解：（Ⅰ）由已知得：2 ()363(1)33 f x x x a f a '' =-+∴=-，且(1)133331 f a a =-++-=，所以 所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=； （Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2] x ∈时，(2)0x x -≤， （1）当0a ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，因为 max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-； （2）当440a ∆=-≤，即 1a ≥时，()0f x '≥恒成立，所以() f x 在[0,2]x ∈上递增，所以 max |()|max{(0),(2)}f x f f =，因为 max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-； （3）当440a ∆=->，即01a <<时， 212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即 所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且 31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >， 所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =； 由2 (0)(2)3331003 f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当2 03 a << 时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，因为 2 1()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+--+=--= ，又因为 203 a << ， 所 以 230,340 a a ->->，所以 1 ( )(0)0 f x f ->，所以 max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（ⅱ）当 2 13 a ≤<时，(2)0,(0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为 2 1()(2)1)132(1 2) f x f a a a a -=+-+=--=，此时 320a ->，当 2 13 a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当 23 34 a <<时，340a ->，所以1()|(2)|f x f > ，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-； ② 当 3 14 a ≤<时，34 0a -<，所以1()|(2)|f x f <，所以此时max |()|(2)31f x f a ==- 综上所述：max 33,(0)3 |()|12(1)43 31,()4 a a f x a a a a ⎧ -≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩。下载本文
