第二章有理数

2.1比0小的数

⒈正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数：比0小的数       正数：比0大的数        0既不是正数，也不是负数

注意：a可以表示任意数，-a不一定是负数。 

2. 具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

4.有理数

定义：正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

分类：

⑴按有理数的意义分类         ⑵按正、负来分

           （0不能忽视）

2.2数轴

1.定义：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。（2）反之，数轴上的点表示的不一定是有理数。（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数>0，负数<0，正数>负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

2.3绝对值和相反数

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0. 

字母表示为：①若a>0，则|a|=a；②若a<0，则|a|=-a；③若a=0，则|a|=0。归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，即绝对值具有非负性。即|a|≥0。

⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数.即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a ；②当a≤0时，|a|=-a 

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数；绝对值为0的数是0；没有绝对值为负数的数。

相反数

1.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

2.相反数的代数定义：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

3.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

2.4有理数的加法和减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a 

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

3.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。

4.有理数加减法：统一成加法

几个有理数相加，通常写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”

2.5有理数的乘法与除法

1.有理数的乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

(2)任何数同0相乘，都得0；

(3)几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；

(4)几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 

2.倒数    

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 .

倒数等于它本身的数是1或-1。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律ab=ba ⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都等于0 .

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

(2)运算顺序：有括号先算括号里的，再乘除，最后加减。

2.6有理数的乘方

1.乘方的概念

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方.乘方的结果叫做幂。在an中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

2.7有理数的混合运算

1.运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

2.科学计数法

把一个大于10的数表示成的形式（其中101  a，n是正整数），这种记数法是科学记数法。

第三章用字母表示数

代数式

1.代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式.

3.单项式的系数：单项式中的数字因数.

4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和

5.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。

6.整式：单项式和多项式统称为整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

7.代数式书写规范：①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；②出现除式时，用分数表示；③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；④若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

合并同类项

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。合并3.5去括号法则

（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；

（2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都改变；

整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。

第四章一元一次方程

4.1从问题到方程

一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。

4.2解一元一次方程

方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

等式的基本性质：

（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变叫做移项。

移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使方程左边只含未知数的项，右边只含有常数项。

注意：移项时一定要注意变号。解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。

注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。下载本文