上教版《2.8分数、小数的四则混合运算（3）》课例分析

上海市新杨中学  杨冰

PCK是学科教学知识 (Pedagogical Content Knowledge)的简称，这一术语最早出现于1986年舒尔曼教授在美国教育研究协会会刊《教育研究者》发表的一份研究报告。其中蕴含的意义指教师除必须拥有所教学科的具体知识：事实、概念、规律、原理等外，还应该具有将自己拥有的学科知识转化成易于学生理解的表征形式的知识[1]。

PCK是教师区别于其它学科专家的根本特征，是教师所特有的、作为其专业基础的知识。舒尔曼说：“确认教学的知识基础之关键就在于学科知识和教育知识的交互作用（intersection），就在于教师拥有的将自身知晓的学科知识改造成（transform）在教学意义上有力的、能够适应学生不同层次和背景的能力。”

PCK与学科知识的区别在于它是为了有效地传授一门学科知识的能力，而不是知识本身。它是一种有关如何组织、呈现具体内容、问题，并使之适应不同学习者的兴趣和能力的理解，其中包括最有用的呈现知识的形式、最有力的类比、图表、例证、解释和证明，总之就是那些呈现学科知识并对其进行公式化陈述，以使其他人能理解的那些方法。相对其它的知识来说，PCK能够促进有效教学[2]。

在21世纪的今天，为了促进有效教学，培养高素养的师资，对PCK的研究是有意义的[3]。我校为了增进有效教学的策略，提高教学水平，开展了对“四步教学法”的实践研究，通过开课、交流、反思等多个教学环节，运用四步教学法有效提升数学教师PCK。

“四步教学法”总体要求“三少三多”，即：讲解少一点，思考多一点；追问少一点，探究多一点；强求一致少一点，培养个性多一点。自学—交流—指导—反馈：“自学”使学生养成思考、主动学习的习惯；“交流”提升学生对数学知识的分析、提炼、概括、表达能力；“指导”则有针对性的对重点、难点、易错点进行指导，提高了课堂有效性；“反馈”则及时对学生的学习情况进行评价。通过四步教学法的使用，注重知识的探究，学生的体验，激发学生的求知、创新欲望，挖掘学生的潜能，提高有效教学的测略。

本文结合上教版《2.8分数、小数的四则混合运算（3）》，按照四步教学法的教学过程，从教师课前备课（导学案的制定）-学生课前自学-课上交流-指导-反馈这五个环节，结合PCK的内涵，分析本节课如何促进有效教学，提升教师的教学能力。

1.备课（制定导学稿）

（1）教学课时安排

从2.8的整体内容来看，在整个初中阶段，都占了举足轻重的地位，计算是初中的一个关键环节，需要为后面解方程、函数、应用打下坚实的基础。从课时安排上来看，共分为三节来上，区里给的教案划分分别为第一节（分数、小数的加减混合）、第二节（分数、小数的乘除混合与四则混合）、第三节（四则混合运算的应用及乘法分配律的简便运算），但整体上下来，感觉第一节较为宽松、简单，后两节课的时间有点紧张，而且内容的安排不够合理，所以从教学目标的明确，认为课时安排作如下调整更为合理：第一节（分数、小数的加减混合，分数、小数的乘除混合），在将加减、乘除分别学习、巩固练习之后；第二节进行分数、小数的四则混合运算及其应用，在计算的基础上，通过应用，对分数计算进行巩固，并且结合生活中的实例进行应用；第三节在前两节的基本运算之后，提出简便运算的思想，是对小算律在数域范围内的拓展，这也满足对数字的认识规律。

（2）教学目标

经历发现、归纳在分数中使用乘法分配律的过程，理解和掌握分数的乘法分配律，灵活运用乘法分配律进行计算；

培养学生观察、分析、类比、概括、计算能力；在合适的计算方法的选择过程中，体验优化的数学思想；

通过情境创设，激发学生的学习兴趣；通过课前预习，培养学生的自主探究精神；同学间合作交流的态度，使学生获得成功的体验。 

（3）教学设计与策略

由于学生在小学时学习过乘法分配律，而在本章中，是对乘法分配律适用范围的拓展，为了使学生对学习知识自然地迁移，对新旧知识进行类比，促进学生对于新知的理解，在课前让学生对学习过的整数、小数的乘法分配律进行复习与巩固，有利于教师了解学生对于乘法分配律掌握情况的了解，进而有效地开展教学。让学生通过课前复习，带着疑问引入新知，可以有效地提高学生的探究能力，提高学生的学习兴趣，降低学生对于新知难度的预期，提高学生的学习信心。

由于乘法分配律的使用范围较广，存在多种变式，为了让学生灵活使用乘法分配律，让学生通过观察探究、小组讨论、抽象概括对于乘法分配律的各种变式进行归纳与小结，在讨论的过程中，培养学生的观察能力、自主探究能力、抽象概括能力。进而在学生灵活掌握乘法分配律的基础上，在对于分数计算之前，进行观察，选择合理的运算方法，体现数学的优化思想。

本节课通过复习旧知，问题引入，探究展开教学，注重知识发生、发展的过程，关注学生已有的知识，注重知识的迁移与类比。把握重点与难点，对于学生易于理解的、易于混淆的知识点，区别教学，精心组织教学策略，把握重点，突破难点，注重知识的层次，符合学生的心理特点。对于例题与练习的选取，意图清楚，对于例题变式的设计，有利于学生对于知识的灵活运用。整个教学过程中，注重学生的自主性，引导到学生形成观察、抽象概括的能力。

2、自学

通过自学能够让学生对于所学知识有所了解，有利于形成“问题意识”，有利于发展学生思维的严密性、深刻性，有利于增强学生课堂听课的针对性。预习、自学、自测虽然不能解决所有疑难，但自我探究有利于对于课堂讨论及相关问题产生共鸣，是问题能迎刃而解。

本节课为了帮助学生建立新旧知识之间的联系，形成类比的数学思想，在学生的课前习题中，设计了小学时整数、小数范围内乘法分配律的使用。

（1）（54+78）×5  （2）8×（5+12.5）  （3）73×12+27×12  （4）9.9+9.9×99

（1）（2）是对整数、小数的乘法分配律的复习，（3）（4）是对整数、小数的乘法分配律的逆运算的复习，进而提出疑问，“现在我们学习了分数之后，乘法分配律是否仍然适用呢？”

给出分数的乘法分配律，让学生进行思考、探究如何验证乘法分配律在分数中同样适用。

在备课过程中，引入新知的设计，各位老师集体研讨，各抒己见。由于书中是直接给出两种方法，让学生观察得出结论：乘法分配律在分数的运算中也成立。而班级中学生基础较好，因而在教学过程中对学生提高了一定的要求，对学生提出疑问，让学生想办法来进行验证，提高了学生的自主性，学生想到通过乘法分配律和按照运算顺序两种方法进行计算，如果计算结果相同，则可以验证乘法分配律在分数运算中也成立。在这个过程中同样让学生体验了这道题目中使用乘法分配律的简便，方便后面进行优化方法的选择。

3.交流

    在课上通过例1（1）教师进行板书，规范学生步骤，由于涉及混合运算，分析每一个的做题步骤；（2）的练习，学生板书，及时反馈学生对于分数的乘法分配律使用情况，并且在让学生体验乘法分配律的简便的过程中，抽象概括分数中什么情况下使用乘法分配律比较方便，也体现了数学的优化思想，提升了学生的抽象概括能力。

由于书中缺乏对于乘法分配律使用的变形，这些变形的情况也都会在后面解方程、简便运算的题型中起到至关重要的作用，因而通过两组变式题目进行巩固提高。变式1涉及（1）小数与分数直接约分，（2）乘法分配律的简便运算，（3）乘法分配律的适用范围的探索.

这组题目形式多样，而且有利于发散学生的思维，让学生通过小组讨论，拓展思路，学生通过交流和合作，发展数学交流的技巧。

变式2与学生共同探索，让学生体验乘法分配律的逆运算的适用范围及使用方法，引导学生思路，由学生讲解方法：

（1）   （2）

4.指导

例1中关于“在分数计算中什么时候使用乘法分配律较为简便”规律的总结是预备年级学生的难点，预备年级多以计算为主，对于规律的抽象概括能力仍有待于提高，因而在让学生小结之前，教师进行引导，通过观察两种方法的计算顺序，比较两种方法的优劣：使用乘法分配律展开之后，需要先计算乘法；通常的运算顺序需要先通分，再相乘。如果乘法分配律展开之后的乘法可以约分，就会将分子分母减小，降低计算难度，因而引导学生小结出如果括号内与括号外的分数可以进行约分，就会简化计算，也就达到了使用乘法分配律简化计算的目的。

对于变式1的五个题型，学生不明白老师的出题目的，因而在让学生进行讨论前，需要进行引导：（1）可以先让学生说出方法，将2.4化为分数，再进行约分，然后教师提出提问，“是否可以有其他的方法？如果将2.4变为24呢？24能与4、3约分，那么2.4可以吗？”通过一系列问题的引导，对题目的方法进行铺垫；（2）（3）教师提出疑问“这道题怎么做呢？”预设学生提出将带分数化为假分数，进行约分，可是由于数字较大，提示学生带分数是正整数与分数之和，；（4）（5）教师引导这两道题是除法，哪道可以使用乘法分配律呢？回顾除法与乘法之间的关系。通过引导思路，让学生再进行小组讨论，帮助学生确定讨论方向，不会让学生找不到目标。小组讨论结束后，各个小组派出代表对各个题目进行讲解。在第（2）中，一定要强调中括号的重要性，否则计算错误；第（3）题可能学生会按照（2）题方法写成，可是99×999时，没有体现方法的简便性，让学生计算观察数字特征，若为整十或者整百较为容易计算，而且与100之间只相差，所以想到化为，同样强调括号的重要性；（4）（5）中通过“除以一个数等于乘以它的倒数”，（4）中除号后面的数可以化为倒数，因而可以将乘法化为除法，而（5）后面是一个和式，需要计算出两数之和，才能求出倒数，就是按照运算顺序进行计算，因而不能使用乘法分配律。

5.反馈

课堂中的教学反馈是对课堂教学设计、策略有效性的检查，是对课堂教学效果的评价，是课堂教学前的综合性检查，也是教师对于课堂教学情况的了解途径。

课堂中的教学反馈有利于学生对于自身学习情况的了解，有利于教师对于课堂教学环节设置合理性的检验，发现教学中的问题，才能更好的进行课后反思。反思是促进教师PCK获得和增长的主要因素。通过对整个课堂教学行为进行思考性回忆，以及教学成功与失败进行理性的分析，发现问题，思考解决方法，调整教学观念、教学行为，才能更好的提高课堂教学有效性，将自身的学科知识，更多的将知识有效地“转化”给学生。

本节课中，由于学生基础较好，所以除了较为基础的分配率的计算，加入一些拓展提高的题目供学生课下思考，其中也加入了一些生活中实际问题的计算，例如梯形面积的计算中就会使用乘法分配律。这样不同层次和梯度的知识，既能使得基础较为薄弱的学生掌握应有的基础知识，对于基础较好的学生拓展思路，而在这个知识迁移与发散的过程中，学生对于知识的整体认识都会有所提高。让差一点的学生“吃饱”，好一点的学生“吃好”，优秀的学生“跳一跳”，为实现课堂教学的立体交叉互动创造必备的训练条件，使不同层次的学生都能够在学习中有足够的信心与收获，这样更加能够刺激学生学习的兴趣。

四步教学法，可以帮助学生逐步养成了良好的学习习惯：一是思考的习惯；二是积极参与、踊跃发言的习惯；三是认真倾听的习惯；四是对于知识抽象概括的能力。中国古话说要给学生一杯水，教师要有一桶水，这只是说明了教师知识量的关系，如果这一桶水只是教师的学科知识，而忽视了其他，这一桶水不能完全发挥它的教学效率。作为一名新教师，我要更多地进行教学实践，在实践→经验积累→反思→再实践→再经验积累→再反思……的不断往复的过程中，将知识结构与自己的教学过程、学生的学习过程进行重组，希望能够不断提高自身的PCK。

参考文献：

　[1]杨薇,郭玉英.PCK对美国科学教师教育的影响及启示.当代教师教育.2008（1、3）：6-10

　[2]胡青,刘小强.分离还是融合：教师教育专业化中形式与实质的矛盾——兼谈学科教学知识（PCK）与当前我国的教师教育改革[J].江西社会科学.2005(11):188-192

[3]白益民.学科教学知识初探[J].现代教育论丛.2004（4）：27-30下载本文