题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 若函数f(x)=在x=0处连续，则(    )

A．ab=1／2

B．ab=-

C．ab=0

D．ab=2

正确答案：A

解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．  

2． 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1且f”(x)＞0，则(    )

A．∫-11f(x)dx＞0

B．∫-11f(x)dx＜0

C．∫-10f(x)dx＞∫01f(x)dx

D．∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx

正确答案：B

解析：f(x)为偶函数时满足题设条件，此时∫-10f(x)dx=∫01f(x)dx，排除C，

D．取f(x)=2x2-1满足条件，则∫-11f(x)dx=∫-11(2x2-1)dx=-＜0，选

B．  

3． 设数列{xn}收敛，则(    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：特值法：A取xn=π，有xn=π，A错；取xn=-1，排除B，

C．所以选

D．  

4． 微分方程y”-4y’+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为yk=(    )

A．Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

B．Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

C．Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

D．Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

正确答案：C

解析：特征方程为：λ2-4λ+8=0λ1．2=2±2i∵f(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2x，∴y1*=Ae2x，y2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)，故特解为：y*=y1*+y2*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)，选

C．  

5． 设f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有＞0，则(    )

A．f(0，0)＞f(1，1)

B．f(0，0)＜f(1，1)

C．f(0，1)＞f(1，0)

D．f(0，1)＜f(1，0)

正确答案：D

解析：f(x，y)是关于y的单调递减函数，所以有f(0，1)＜f(1，1)＜f(1，0)，故答案选

D．  

6． 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则(    )

A．t0=10

B．15＜t0＜20

C．t0=25

D．t0＞25

正确答案：C

解析：从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt，∫0t0v2(t)dt，则乙要追上甲，则∫0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10，当t0=25时满足，故选

C．  

7． 设A为三阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P-1AP=，则A(α1，α2，α3)=(    )

A．α1+α2

B．α2+2α3

C．α2+α3

D．α1+2α2

正确答案：B

解析：P-1AP=A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)=α2+2α3，因此B正确．  

8． 已知矩阵A=，则(    )

A．A与C相似，B与C相似

B．A与C相似，B与C不相似

C．A与C不相似，B与C相似

D．A与C不相似，B与C不相似

正确答案：B

解析：由|λE-A|=0可知A的特征值为2，2，1，因为3-r(2E-A)=1，∴A可相似对角化，即A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1．因为3-r(2E-B})=2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，但B不相似于

C．  

填空题

9． 曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_______．

正确答案：y=x+2

解析：∵=2，∴y=x+2．  

10． 设函数y=y(x)由参数方程确定，则d2y／dx2=|t=0_______．

正确答案：

解析：  

11． ∫0+∞dx=_______．

正确答案：1

解析：  

12． 设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且af(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．

正确答案：xyey

解析：f’x=yey，f’y1=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，即c(y)=c，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．  

13． ∫01dy∫y1dx=_______．

正确答案：lncos1

解析：∫01dy∫y1dx=∫01dx∫0xdy=∫01tanxdx=lncos1．  

14． 设矩阵A=的一个特征向量为，则a=_______．

正确答案：-1

解析：设α=，由题设知Aα=λα，故(1 1 2)T=λ(1 1 2)T故a=1．  

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 

正确答案：dt，令x-t=u，则有  

16． 设函数f(u，v)具有2阶连续偏导数，y=f(ex，cosx)，求dy／dx|x=0，d2y／dx2|x=0．

正确答案：y=f(ex，cosx)y(0)=f(1，1)dy／dx|x=0=f’1ex+f’2(-sinx))|x=0=f’1(1，1)．1+f’2(1，1)．0=f’1(1，1)d2y／dx2=f’11e2x+f’12ex(-sinx)+f’21ex(-sinx)+f’22sin2x+f’1ex-f’2cosxd2y／dx2|x=0=f’11(1，1)+f’1(1，1)-f’2(1，1)．  

17． 

正确答案：=∫01xln(1+x)dx=∫01ln(1+x)dx2=(ln(1+x)．x2|01-∫01dx)=1／4．  

18． 已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值．

正确答案：两边求导得：3x2+3y2y’-3+3y’=0  (1)令y’=0得x=±1对(1)式两边关于x求导得6x+6y(y’)2+3y2y”+3y”=0  (2)将x±1代入原题给的等式中，得将x=1，y=1代入(2)得y”(1)=-1＜0将x=-1，y=0代入(2)得y”(-1)=2＞0故x=1为极大值点，y(1)=1；x=-1为极小值点，y(-1)=0．  

设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，＜0，证明：

19． 方程f(x)=0在区间(0，1)至少存在一个实根； 

正确答案：f(x)二阶导数，f(1)＞0，由于＜0，根据极限的保号性得ヨδ＞0，x∈(0，δ)有f(x)／x＜0，即f(x)＜0进而ヨx0∈(0，δ)，有f(δ)＜0又由于f(x)在[δ，1]上连续，由f(δ)＜0，f(1)＞0根据零点定理得：至少存在一点ξ∈(δ，1)，使f(ξ)=0，即得证．  

20． 方程f(x)+f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根． 

正确答案：由上可知f(0)=0，ヨξ∈(0，1)，使f(ξ)=0，令F(x)=f(x)f’(x)，则f(0)=f(ξ)=0．  

21． 已知平面区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，计算二重积分∫(x+1)2dxdy．

正确答案：(x+1)2dxdy=(x2+1)dxdy=2x2dxdy+dxdy=2∫0π／2dθ∫02sinθr2cos2θdθ+π=5π／4．  

22． 设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0，YP)，法线与x轴相交于点(Xp，0)，若XP=yP，求L上点的坐标(X，Y)满足的方程．

正确答案：设p(x，y(x))的切线Y-y(x)=y’(x)=y’(x)(X-x)，令X=0得Yp=y(x)-y’(x)x，法线Y-y(x)=-(X-x)令Y=0得Xp=x+y(x)y’(x)。由Xp=Yp得y-xy’(x)=x+yy’(X)，即-1，令y／x=u，则y=ux，按照齐次微分方程的解法不难解出ln(u2+1)+arctanu=-ln|x|+

C．  

设3阶矩阵A=(α1，α2．α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．

23． 证明：r(A)=2； 

正确答案：由α3=α1+2a2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=|α1α2α3|=0，即A的特征值必有0．又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0．且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为，λ1≠λ2≠0∴r(A)=r()=2．  

24． 若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解． 

正确答案：由r(A)=2，知3-r(A)=1，即Ax=0的基础解系只有1个解向量，由α1+2α2-α3=0可得(α1，α2，α3)=0，则Ax=0的基础解系为又β=α1+α2+α3，即(α1，α2，α3)=β，则Ax=β的一个特解为综上，Ax=β的通解为k，k∈R．  

25． 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Oy下的标准型为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

正确答案：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中A=由于f(x1，x2，x3)=XTAX经正交变换后，得到的标准形为λ1y12+λ2y22，故r(A)=2a=2，将a=2代入，满足r(A)=2，因此a=2符合题意，此时A=，则|λE-A|=λ1=-3，λ2=0，λ3=6，由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α1=由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为α2=由(0E-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α3=令P=(α1，α2，α3)，则P-1AP=，由于α1，α2，α3彼此正交，故只需单位化即可：β1=(1，-1，1)T，β2=(-1，0，1)T，β3=(1，2，1)T，则Q=(β1β2β3)=，QTAQ=  下载本文