1、运动学中的临界问题
在在追及与相遇问题中常常会出现临界现象，仔细审题，挖掘题设中的隐含条件，寻找与“刚好”、“最多”、“至少”等关键词对应的临界条件是解题的突破口。一般来说两物体速度相等是题中隐含的临界条件，解题时正确处理好两物体间的时间关系和位移关系是解题的关键。
例题一：一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车.试问:（1）汽车从路口开动后,在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?（2）当两车相距最远时汽车的速度多大？
解析：（1）设两车运动时间为t时,自行车的位移X1=v0t，汽车的位移为
两车相距的距离
当时，Δx有最大值Δx=6m.
（2）当t=2s时，汽车的速度v=at=6m/s=v0，此时两车相距最远。
例题二、在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？
解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等.设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为sB，末速度为vB，两车运动的速度时间图象如图所示，由匀变速直线运动规律有:
对A车有
对B车有
两车有s=sA-sB
追上时，两车刚好不相撞的临界条件是vA=vB
以上各式联立解得
故要使两车不相撞，A的初速度v0应满足的条件是：
点评：在追及问题中，当同一时刻两物体在同一位置时，两物体相遇，此时若后面物体的速度大于前面物体的速度即相撞，因此两物不相撞的临界条件是两物体的速度相等。若两物体相向运动，当两物体发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇，此时只要有一个物体的速度不为零则为相撞。
针对练习：（07海南卷）两辆游戏赛车、在两条平行的直车道上行驶。时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆(AC)
解析:由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故选项A、C正确.
二、平衡现象中的临界问题
在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与物理量来寻找临界条件。解题的关键是依据平衡条件及相关知识进行分析，常见的解题方法有假设法、解析法、极限分析法等。
例题：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图甲所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ 再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有： FN－mgcosθ＝0② FT－Ffm－mgsinθ＝0③ 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN④ 联立①②③④四式解得mB＝m(sinθ＋μcosθ)． 再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有： FN－mgcosθ＝0⑤ FT＋Ffm－mgsinθ＝0⑥ 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN⑦ 联立①⑤⑥⑦四式解得mB＝m(sinθ－μcosθ)． 综上所述，物体B的质量的取值范围是： m(sinθ－μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcosθ)． 点评：此题用假设法与极限法分析临界问题，解题思路是：先假设物体处于某个状态，然后恰当地选择某个物理量并将其推向极端(“极大”、“极小”)从而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来，再根据平衡条件及有关知识列方程求解. 针对练习1：如图所示，水平面上两物体m1、m2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( ) A、零 B、F/2 C、F D、大于F 解析： 当m2与平面间的摩擦力与F平衡时，绳中的张力为零，所以A对；当m2与平面间的最大静摩擦力等于F/2时，则绳中张力为F/2，所以B对，当m2与平面间没有摩擦力时，则绳中张力为F，所以C对，绳中张力不会大于F，因而D错。 针对练习2：(98)三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳 A、必定是OA B、必定是OB C、必定是OC D、可能是OB，也可能是OC 解析：三根绳所能承受的最大拉力相同，在增大C端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先达到临界值是关键。OC下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G.就是OC绳的拉力产生两个效果，使OB在O点受到向左的作用力F1，使OA在O点受到斜向下沿绳长方向的作用力F2，F1、F2是G的两个分力.由平行四边形可作出力的分解图如下图所示，当逐渐增大所挂物体的质量,哪根绳子承受的拉力最大则最先断.从图中可知：表示F2的有向线段最长,F2分力最大，故OA绳子最先断. 三、动力学中的临界问题 在动力学的问题中，物体运动的加速度不同，物体的运动状态不同，此时可能会出现临界现象。分析这类问题时挖掘隐含条件，确定临界条件，对处于临界准确状态的研究对象进行受力分析，并灵活应用牛顿第二定律是解题的关键，常见的解题方法有极限法、假设法等。 例题一：如图所示,在光滑水平面上叠放着A、B两物体,已知mA=6 kg、mB=2 kg，A、B间动摩擦因数μ=0.2，在物体A上系一细线,细线所能承受的最大拉力是20N，现水平向右拉细线，g取10 m/s2，则 ( ) A.当拉力F<12 N时,A静止不动 B.当拉力F>12 N时,A相对B滑动 C.当拉力F=16 N时,B受A的摩擦力等于4 N D.无论拉力F多大,A相对B始终静止 解析 设A、B共同运动时的最大加速度为amax,最大拉力为Fmax 对B:μmAg=mBamax amax= =6 m/s2 对A、B系统:Fmax=(mA+mB)amax=48 N 当F B静止,B错。 当F=16 N时,其加速度a=2 m/s2。 对B:f=4 N,故C对。 因为细线的最大拉力为20 N,所以A、B总是相对静止,D对。正确选项为CD。 点评：刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即f静=fm ，此时系统的加速度仍相等。 针对练习：（2007）江苏卷如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为 A、 B、 C、 D、 解析：分别对整体、右端一组及右端个体受力分析，运用牛顿第二定律，由整体法、隔离法可得 F＝6ma① F－μmg＝2ma② μmg－T＝ma③ 由①②③联立可得T＝3/4μmg 所以B正确． 例题二：如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA＝(9－2t) N(t的单位是s)．从t＝0开始计时，则( ) A、A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍 B、t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动 C、t＝4.5 s时，A物体的速度为零 D、t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反 解析：对于A、B整体根据牛顿第二定律有FA＋FB＝(mA＋mB)a，开始时合力为11 N,3秒末合力为5N，故A正确．设A、B间的作用力为FN，则对B进行分析，由牛顿第二定律可得：FN＋FB＝mBa，解得FN＝mB－FB＝N．当t＝4 s时，FN＝0，A、B两物体开始分离，此后B做匀加速直线运动，故B正确；而A做加速度逐渐减小的加速运动，当t＝4.5 s时，A物体的加速度为零而速度不为零，故C错误．t＞4.5 s后，A所受合外力反向，即A、B的加速度方向相反，故D正确．当t＜4 s时，A、B的加速度均为a＝.综上所述，选项A、B、D正确． 点评：相互接触的两物体脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零，即N=0。 针对练习1：不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M＝15kg的重物，重物静止于地面上，有一质量m＝10kg的猴子从绳的另一端沿绳上爬，如右图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子向上爬的最大加速度为(g取10m/s2)( ） A、25m/s2 C、．5m/s2 C、10m/s2 D、15m/s2 解析：本题的临界条件为F＝Mg，以猴子为研究对象，其受向上的拉力F′和mg，由牛顿第二定律可知，F′－mg＝ma，而F′＝F，故有F－mg＝ma，所以最大加速度为a＝5m/s2. 点评：此题中的临界条件是：地面对物体的支持力为零。 针对练习2：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2） 解析： 依题意，0.2 s后P离开了托盘，0.2 s时托盘支持力恰为零，此时加速度为： a=（F大－mg）/m ① (式中F大为F的最大值)此时M的加速度也为a. a=（kx－Mg）/M ② 所以 kx=M（g+a） ③ 原来静止时，压缩量设为x0，则： kx0=（m+M）g ④ 而 x0－x=at2/2 ⑤ 由③、④、⑤有： 即mg－Ma=0.02ak a=mg/（M+0.02k）=6 m/s2 ⑥ ⑥代入①： Fmax=m（a+g）=10.5（6+10）N=168 N F最大值为168 N. 刚起动时F为最小，对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得 F小+kx0－（m+M）g=（m+M）a ⑦ ④代入⑦有： Fmin=（m+M）a=72 N F最小值为72 N. 点评：此题中物块与秤盘刚分离时，二者具有相同的速度与加速度，此时二者间相互作用的弹力为零，在求拉力F的最大值与最小值时要注意弹簧所处的状态， 例题三、表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子长为l，绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的８倍，要使绳子不断，节目获得成功，则杯子通过最高点时速度的最小值为_____，通过最低点时速度的最大值为______。 解析：要使水在最高点恰不流出杯子，此时绳子对杯子拉力等于零，杯子和水做圆周运动的向心力仅由其重力mg提供，由牛顿第二定律，在最高点处对杯子和水列方程：mg=mv12/L，所以，杯子通过最高点时速度的最小值。在最低点处对杯子和水应用牛顿第二定律，当F=8mg取最大值时，速度v2也取最大值，而，故通过最低点时速度的最大值 点评：重力场中，在竖直平面内作圆周运动的物体恰好能通过最高点的临界条件是：仅由重力提供作圆周运动的向心力，此时与物体连的细绳、细杆、或其他接触物对作圆周运动的物体的作用力为零。 针对练习:(04甘肃理综)如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ D ） A、一定是拉力 B、一定是推力 C、一定等于0 D、可能是拉力，可能是推力，也可能等于0 例题四：如图所示，细绳一端系着质量m′＝0.6 kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体，m′的重心与圆孔距离为0.2 m，并知m′和水平面的最大静摩擦力为2 N．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围，m 会处于静止状态．(取g＝10 m/s2) 解析：要使m静止，m′也应与平面相对静止，而m′与平面静止时有两个临界状态： 当ω为所求范围最小值时，m′有向着圆心运动的趋势，水平面对m′的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2 N. 此时，对m′运用牛顿第二定律，有T－fmax＝m′ω12r ，且T＝mg 解得ω1＝2.9 rad/s. 当ω为所求范围最大值时，m′有背离圆心运动的趋势，水平面对m′的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2 N.再对m′运用牛顿第二定律，有T＋fmax＝m′ω22r，且T＝mg 解得ω2＝6.5 rad/s. 所以，题中所求ω的范围是：2.9 rad/s<ω<6.5 rad/s. 点评：分析“在什么范围内……”这一类的问题时要注意分析两个临界状态。最大静摩擦力的方向与物体的相对运动趋势方向有关，当角速度最小时，有向着圆心的方向运动的趋势，当角速度达到最大的时候，有远离圆心的方向运动的趋势，因此出现了极值情况。 例题五、如图所示，质量为M=4kg的木板长L=1.4m，静止在光滑且足够长的水平地面上，其水平顶面右端静置一质量m=1kg的小滑块（可视为质点），其尺寸远小于L，小滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.4。（1）现用恒力F的作用于木板M上为使m能从M上滑落，F的大小范围是多少？（2）其他条件不变，若恒力F=22.8N且始终作用于M上，最终使m能从M上滑落，m在M上滑动的时间是多少？（不计空气阻力，g=10m/s2） 解析：（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力为Ff=μfN=μmg，小滑块在滑动摩擦力作用下向右做匀加速运动，由牛顿第二定律有，Ff=ma1, , 对木板有： 木板的加速度 使m能从M上滑落的条件为a1＞a2 ＞ 由以上各式得，F＞μ(M+m)g=20N，即F＞20N。 (2)设m在M上面滑行的时间为t，木板的加速度=4.7 m/s2 小滑块的位移 木板的位移 解得t=2s 点评：板块问题中的临界问题一般隐蔽性强，难度较大，试题比较灵活，解题时要认真分析物体的运动过程，还原物理情景，构建物体模型，探寻临界状态的特征，寻求解题问题的突破口。 针对练习：如图所示，物体A的质量为M＝1 kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为m＝0.5 kg、长L＝1 m．某时刻A以v0＝4 m/s向右的初速度滑上平板车B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力．忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数为μ＝0.2，取重力加速度g＝10 m/s2.试求：如果要使A不至于从B上滑落，拉力F应满足的条件。 解析：（1）物体A不从车右端滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v1，对A物体有： 对B物体有： 又：两物体运动时间相等，则， 由以上各式，可得：aB=6 m/s2 代入①式得： F=1 N 若F＜1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从小车B的右端滑落。 （2）当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落．对整体和A分别应用牛顿第二定律得： F＝(m＋M)a′，μMg＝Ma′解得：F＝3 N 若F大于3 N，A就会相对B向左滑下． 综合得出力F应满足的条件是：1 N≤F≤3 N.下载本文
