基于相位测量轮廓术的复合光栅优化设计

何定高，曹益平

( 四川大学光电科学技术系，成都 6100 )

摘要：基于复合光栅的相位测量轮廓术在物体三维信息重建中是一种非接触、实时的测量方法。通过对这种光栅的形成机理分析，发现当复合光栅中的空间调制光栅的频率一定时，其中相移光栅周期与三维重构精度有关，并且存在一个重构均方差最小值的相移光栅周期，其大小与被测物体的形貌有关。因此，可通过优化复合光栅结构的方法来提高测量精度。利用数字投影仪将连续改变相移光栅周期得到的复合光栅投影到物体，获取变形光栅图像来重建物体的三维信息，从周期数与均方差关系曲线中找到对应的复合光栅的最优化参数，以实现复合光栅最优化设计。通过数字模拟和实验都证实采用优化设计的复合光栅来提高物体的测量精度是有效的。

关键词：相位测量轮廓术；复合光栅；优化设计；载频；3D测量

中图分类号：TN256 文献标志码：A

Optimized Design of Composite Grating Based on PMP

HE Ding-gao，CAO Yi-ping

( Department of Opto-electronics, Sichuan University, Chengdu 6100, China ) Abstract:Phase Measuring Profilometry (PMP) by a composite grating is a non-contract and real-time optical three-dimensional (3D) measurement method. By analyzing the composite grating, it is found that the measuring precision is related to the period of shift-phase gratings inside the composite grating when the frequencies of the spatial modulating gratings inside the composite grating are chosen properly. A period eigenvalue depending on the profile of the measured object is founded. It leads to a least Root-mean-square (RMS) measuring error. Therefore, the measuring precision can be improved by optimizing parameters of composite grating. When a set of designed composite grating patterns with different period of shift-phase grating are projected orderly by digital light projector, the corresponding deformed composite grating patterns are detected respectively to retrieve measured object with different RMS measuring error .The optimized composite grating can be obtained by RMS measuring error. Both the simulating and actual experimental results prove that the designed optimized composite grating can improve measuring precision.

Key words: PMP; composite grating; optimized design; carrier frequency; 3D measurement

1 引 言

相位测量轮廓术(Phase Measuring Profilometry，PMP)是一种非接触的光学三维测量方法，广泛应用在光学三维传感、工业检测以及产品质量控制等领域[1-7]。PMP采用正弦光栅投影和相移技术，通过获取全场条纹的空间信息和一个条纹周期内相移条纹的时序信息，来完成物体三维信息的重建。传统的PMP至少需要采集三幅变形条纹图像才能完成一次测量，因此不利于应用在快速测量、在线检测方面。C. Guan 等人提出了一种通过投影一帧复合光栅图、采集一帧变形图像来恢复物体的三维信息的相位测量轮廓术[8]，该方法就是一种基于PMP原理的快速三维测量手段。通过把该方法与传统的PMP进行比较研究分析[9]，收稿日期：2007-04-11；收到修改稿日期：2007-10-16

基金项目：国家863高技术研究发展计划(2007AA01Z333)；四川省科技攻关项目(2006Z01-028)

作者简介：何定高(1981-)，男(汉族)，四川攀枝花人，硕士研究生，主要研究光信息处理及三维传感技术。E-mail: hedinggao@126.com 通讯作者：曹益平，E-mail: caoyping@mail.sc.cninfo.net

2008年2月 何定高 等：基于相位测量轮廓术的复合光栅优化设计

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得到该方法对于高度连续变化的物体的动态测量有很大的应用前景，但在测量精度还有待研究提高。

本文通过对这种将N (N ≥3)步相移光栅分别加载在与其正交的N 个频率不同的载波光栅上组合形成复合光栅结构的研究，通过复合光栅结构与三维物体重建精度的关系图得到最优化参数，从而来指导设计出最佳测量精度的复合光栅，运用于基于PMP 方法的物体快速三维测量中去。通过复合光栅的优化设计来提高测量的精度，有利于扩大该方法的运用领域和范围，也为PMP 应用在在线检测领域提供了一种有效的方法。

2 基于复合光栅的相位测量轮廓术

相位测量轮廓术(PMP)需要N (N ≥3)帧变形条纹图才能恢复物体，而采用将N 步相移的相移光栅图像分别加载在与相移光栅正交的不同频率的载频光栅上，然后叠加组合成一幅复合光栅只需一帧就能恢复出物体三维信息。复合光栅的形成机理如图1所示。

设N 步相移光栅的光强可),(p y x I n 表示为

N n N n y B A y x I y n

,,2,1)/π2π2cos(),(p

"=−+=，η (1) 其中：A 表征背景光强和B 表征条纹对比度，ηy 为相移光栅的基频，可表示为

p p /Y n y =η (2) 其中：p Y 为相移光栅的总长度，光栅为正弦光栅，p n 为p Y 中的总周期数。y η既影响光栅频谱混叠，又决定了相移光栅的对被测物体的抽样频率。由N 个与相移光栅正交且不同频率n ξ的载频正弦光栅分别对应调制各相移光栅强度分布),(p y x I n ，经叠加组合得到复合光栅图像，即：

∑=⋅+=N

n n n x y x I D C y x I 1p p

)π2cos(),(),(ξ (3)

其中：C 、D 分别表征各调制光栅的背景光强和条纹对比度。当该复合光栅投影到被测物体上，用CCD 相机获取的变形复合光栅为

∑=⋅−++⋅+=N

n n y x N n y B A D C y x I 1)π2cos()]/π2π2cos([),(ξφη (4)

式中：φ为物体的高度引起的相移光栅相位变化),(y x φ的简写形式，对式(4)进行快速傅里叶变换(FFT)得到其频谱图，从频谱图中分别滤出N 步相移光栅的频率成分，对滤出的N 个相移光栅频谱分别做逆快速傅里叶变换(IFFT)，取模运算后就得到正好表征PMP 第n 步相移的变形条纹),(y x I n ：

)/π2π2cos(),(N n y B A y x I y n −++=φη (5)

可以从恢复出来的N 幅相移变形条纹图中计算出被测物体的相位分布),(y x φ：

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡=∑∑==N n n N n n N n y x I N n y x I y x 11

)/π2cos(),()/π2sin(),(arctan ),(φ (6)

由于式(6)得到的),(y x φ被截断在反三角函数的主值范围内，因此相位是离散分布的。为了从相位分布计算出被测物体的高度分布，必须进行相位展开，通过相关相位展开算法[10-12]得到物体的连续相位分布，由物体相位与高度之间的映射关系[13]就可以计算出物体的高度分布，即得到物体的三维信息。

P h a s e d i r e c t i o n

Carrier grating

PMP grating

图1 复合光栅的形成过程

Fig.1 Formative process of composite grating

光电工程 第35卷第2期

1303 复合光栅的优化设计

为了从受物体高度调制的变形复合光栅的频谱中准确提取出每个相移光栅的频谱成分，要求所采用的各个载波光栅的频率n ξ在整个频谱图中分布间隔尽量大，使各个频谱之间的混叠

尽量小，并且各载波光栅的频率值不应成整数倍关系，以免由于CCD 自身的非线性，引入载波光栅的高次谐波，造成基频与高次谐波的混叠，影响测量精度。因此，在遵从各个载波光栅的频谱间混叠最小前提下，合理选择各载波光栅的频率n ξ是复合光栅优化设计的先决条件，一旦n ξ选定，相移光栅的基频

ηy 便是影响三维测量精度关键，由式(2)知，当相移光栅的总长

度Y p 一定时，相移光栅的周期数n p 可以表征相移光栅的基频

ηy ，测量精度用均方差(Root-mean-square ，RMS)σ 来表征，从大量的数字化模拟计算，发现测量精度σ 与相移光栅的周期数

n p 存在一定的变化规律。图2为误差曲线总体趋势示意图。

从图2可以看出：1) σ 随n p 由小变大呈振荡变大的趋势，最终单调递增；2) 误差较小区域位于n p 较小(<9)的位置；3) 在误差较小区域中总是存在一个误差最小特征点，该特征值大小与待测物体形貌有关，不同物体，特征点对应的n p 也不同。当

n p 较大时对应的ηy 也较大，复合光栅中的正弦相移光栅的频率较高，由于数字投影设备和图像采集设备的像素分辨率以及

CCD 传感器光强探测的非线性影响，产生随机噪声、高次谐波等因素，使重建物体的RMS 误差必然增大，因此主要关注n p ≤9的情况。

以上分析表明，为了尽可能减小由于复合光栅设计不当，而引入测量误差，应通过待测物体形貌特征，优化设计复合光栅结构，使测量均方差最小。数字投影仪是一种先进的空间光调制器，为复合光栅优化设计提供了有效手段，复合光栅优化设计算法如图3所示，即将一组用计算机编程好的复合光栅(n p ≤9)通过数字投影仪分别投影到待测物体上，对应采集变形复合光栅，采用复合光栅PMP 重构物体形貌，RMS 最小时对应的复合光栅即为优化复合光栅，由计算机实现自动寻优。

4 实验结果

为了研究相移光栅的频率ηy 与不同被测物体3D 重建精度的关系，对相应的复合光栅优化设计进行了数字模拟实验。实验中，取N=3，即采用3步相移复合光栅PMP 进行物体的重建，复合光栅大小都为512×512像素，分别对峰值高度均为25mm 的圆锥形物体、Peaks 函数形物体和马鞍形物体三个不同物体进行了的数字模拟。如图4所示，图4(a)、图4(b)、图4(c)是上述三个典型物体的数字原形。图4(d)、图4(e)、图

4(f)是分别为对应的均方差随相移光栅周期数n p 变化的特性曲线，可以看出，均方差较小区域都在n p ≤9范围内，并且均存在一个最小均方差特征点，其所在位置有所不同，对圆锥形物体出现在n p =3处，对Peaks 函数形物体出现在n p =5处，而对马鞍形物体出现在n p =8处。图4(g)、图4(h)、图4(j)是用上述的优化设计算法设计的对应复合光栅。

为了验证对复合光栅参数优化设计的有效性，将最优化的复合光栅分别投影到相应的三个被测物体上，采集到受物体高度调制的变形组合光栅图如图5中的(a)、(b)、(c)所示。用复合光栅PMP 重现的对应物体三维面形如图5中的(d)、(e)、(f)所示。

σ /m m

5 10 15 20 25 30

n p /cycles

1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

图2 总的误差趋势图

Fig.2 RMS error trend map

图3 复合光栅优化算法

Fig.3 Composite grating optimized algorithm

2008年2月 何定高 等：基于相位测量轮廓术的复合光栅优化设计

131

(d) 对圆锥形物体测量的均方差曲线 (e) 对Peaks 函数形物体测量的均方差曲线 (f) 对马鞍形物体测量的均方差曲线 (d) RMS curve for conic object (e) RMS curve for Peaks-function object (f) RMS curve for saddle object 1 2 3 4 5 6

n /cycles

0.051 0.05 0.049 0.048 0.047 0.046 0.045

σ /m m

1 2 3 4 5 6 7 8

n /cycles

0.1 0.0950.09 0.0850.08 0.075

σ /m m

2 4 6 8 10 12 14

n /cycles

3 2.6

2.21.81.4

σ /m m

20 15 10 5 0

Z /m m

400

200 Y /pixel 0 0

200400

X /pixel 20100-10-20400

200Y /pixel 00200400

X /pixel 20100-10

400

200 Y /pixel 0 0 200 400X /pixel

(a) 圆锥形物体 (b) Peaks 函数形物体 (c) 马鞍形物体

(a) Standard conic object (b) Standard Peaks-function object (c) Standard saddle object

图4 复合光栅的优化设计

Fig.4 Optimized design of composite grating

(g) 圆锥形物体的最优化复合光栅 (h) Peaks 函数形物体的最优化复合光栅 (i ) 马鞍形物体的最优化复合光栅 (g) Optimized composite grating (h) Optimized composite grating (i ) Optimized composite grating

for conic object

for Peaks-function object

for saddle object

0 100 200 300 400 500

100 200 300 400

500 X /pixel Y /p i x e l

0 100 200 300 400

500 Y /p i

x e l

0 100 200 300 400

500

Y /p i x e l

100 200 300 400 500X /pixel 100 200 300 400 500

X /pixel

0 100 200 300 400 500

Y /p i x e l

(a) 受圆锥形物体调制后的变形光栅 (b) 受标准Peaks 函数形物体调制后的变形光栅 (c) 受标准马鞍形物体的变形光栅(a) Deformed grating modulated (b) Deformed grating modulated (c) Deformed grating modulated

by Peaks-function object

0 100

200 300 400 500

Y /p i x e l

0 100 200 300 400 500

Y /p i x e l

100 200 300 400 500

X /pixel

100 200 300 400 500

X /pixel

100 200 300 400 500

X /pixel

20100-10

400

200

Y /pixel 0 0 200

400

X /pixel

(d) 重建后的圆锥形物体 (e) 重建后的Peaks 函数形物体 (f ) 重建后的马鞍形物体 (d) Retrieved conic object (e) Retrieved Peaks-function object (f ) Retrieved saddle object

20 15 10 5 0 Z /m m

400

200 Y /pixel 0 0

200

400

X /pixel

图5 模拟结果

Fig.5 Simulating results

光电工程 第35卷第2期

132对重建物体的误差计算可得：圆锥形物体的重构最小RMS 误差σmin =0.045mm ；Peaks 函数形物体的重构最小RMS 误差σmin =0.039mm ；马鞍形物体的重构最小RMS 误差σmin =1.25mm 。由于复合光栅PMP 采用频域滤波，这决定了复合光栅运用于测量高频成分多的物体时精度相对较低。

为了验证该方法的实用性，采用数字微镜投影机PLC-XU50/XU55对图6(a)所示已知标准圆锥物体进行了实验，图6(b)是采用优化设计光栅投影的变形光栅图像，图6(c)是未经优化设计光栅投影的变形光栅图像，图6(d)是三维重构与标准物体的比较结果，图6(e)是图6(d)中锥顶局部放大情况，其中L1是已知标准物体的剖面图，L2是采用优化设计光栅投影重构物体剖面图，L3是未经优化设计光栅投影重构物体剖面图，分析可知，L2比L3更接近于标准物体轮廓，二者的最大误差分别为0.35mm 和0.67mm ，其均方差分别为0.11mm 和0.29mm ，表明采用优化复合光栅投影可以提高物体的测量精度。

5 小 结

介绍了复合光栅的形成机理，根据复合光栅的结构特点，提出了一种提高复合光栅测量精度的方法。通过对三个不同的物体投影一系列的复合光栅得到复合光栅中的相移光栅周期数与物体重建精度的关系曲线。通过分析得到，每个物体都总会有对应一个最优化的复合光栅结构。采用复合光栅的三维测量只需要向被测物体投影一幅复合光栅图像，同样的也只需采集一帧受物体高度调制的变形复合光栅图像，通过相应的计算方法就可以恢复物体的三维信息，这是一种快速测量方法，可以将复合光栅重建物体的方法应用于工业在线检测，并且可通过对光栅的优化设计来提高测量的精度，为较高精度在线检测提供了一种有效的方法。 参考文献：

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，

(a) 实物图 (b) 受物体调制的复合光栅图像 (c) 受物体调制的最优化复合光栅图像 (a) Object (b) Deformed grating modulated by object (c) Deformed optimized grating

modulated by object

图6 实验结果

Fig.6 Experimental

results

(d) 重建物体的结果比较 (e) 结果局部放大 (d) Result of retrieved object (e) Result zoomed in

75 78 81 84 87 90 95

X /mm

-Y /m m

23 75 78 81 84 87 90

X /mm

Y /m m

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