(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)
1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝( )
A.25 B.30 C.20 D.40
2.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )
A.55° B.45° C.35° D.65°
3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A＝40°，∠B＝50° B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80° D.∠A＝40°，∠B＝80°
4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是( )
A.2，3，4 B.1，， C.4，5，6 D.2，，4
5.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.不能确定
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )
A.1.5 B.3 C.6 D.9
10.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中( )
A.每一个锐角都小于45° B.有一个锐角大于45°
C.有一个锐角小于45° D.每一个锐角都大于45°
11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE＝( )
A.2∶5 B.14∶25 C.16∶25 D.4∶21
15.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是( )
A.△BPQ是等边三角形 B.△PCQ是直角三角形
C.∠APB＝150° D.∠APC＝135°
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)
16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是 .
17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为 km.
18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 .
19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是 .
20.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .
三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)
21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.
22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)
23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.
24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.
(1)判断△CED的形状，并说明理由；
(2)若OC＝3，求CD的长.
25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.
26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.
(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；
(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；
(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.
27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？
(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.
参
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 选项 | D | A | C | B | A | A | C | B | C | D | B | A | C | B | D |
A.25 B.30 C.20 D.40
2.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(A)
A.55° B.45° C.35° D.65°
3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)
A.∠A＝40°，∠B＝50° B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80° D.∠A＝40°，∠B＝80°
4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(B)
A.2，3，4 B.1，， C.4，5，6 D.2，，4
5.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(A)
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为(A)
A.35° B.45° C.55° D.60°
7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是(B)
A.40° B.50° C.60° D.不能确定
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为(C)
A.1.5 B.3 C.6 D.9
10.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中(D)
A.每一个锐角都小于45° B.有一个锐角大于45°
C.有一个锐角小于45° D.每一个锐角都大于45°
11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)
A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是(C)
A.24° B.30° C.32° D.36°
14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE＝(B)
A.2∶5 B.14∶25 C.16∶25 D.4∶21
15.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(D)
A.△BPQ是等边三角形 B.△PCQ是直角三角形
C.∠APB＝150° D.∠APC＝135°
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)
16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是68__°.
17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1__000 km.
18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.
19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是33.
20.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是108__°.
三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)
21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.
解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，
∴AB＝2BC＝5 cm.
∵52＋122＝132，即AB2＋AD2＝BD2，
∴△ABD是直角三角形.
∴S△ABD＝AB·AD＝×5×12＝30(cm2).
22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在图中∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)
解：如图所示.
23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.
解：∵∠APC＝60 °，CD⊥AP，
∴∠PCD＝90 °－∠APC＝90 °－60 °＝30 °.
∴PC＝2PD.
∵PC＝2PB，∴PB＝PD.
∴∠PBD＝∠PDB.
又∵∠APC＝∠PBD＋∠PDB，∴∠PBD＝∠APC＝×60 °＝30 °.
∵∠ABC＝45 °，
∴∠ABD＝∠ABC－∠PBD＝45 °－30 °＝15 °.
24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.
(1)判断△CED的形状，并说明理由；
(2)若OC＝3，求CD的长.
解：(1)△CED是等边三角形.理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60 °，∴∠AOC＝∠COE＝30 °.
∵CE∥OA，∴∠AOC＝∠COE＝∠OCE＝30 °，∠CED＝60 °.
∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90 °.
∴∠EDC＝60 °.
∴△CED是等边三角形.
(2)∵△CED是等边三角形，∴CD＝CE＝ED.
又∵∠COE＝∠OCE，∴OE＝EC.
∴CD＝ED＝OE.
设CD＝x，则OD＝2x.
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：x2＋9＝4x2，解得x＝.
则CD＝.
25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.
解：(1)证明：连接BP，CP.
∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP.
∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)，∴BD＝CE.
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，∴AD＝AE.
∵AB＝6 cm，AC＝10 cm，∴6＋AD＝10－AE，
即6＋AD＝10－AD.解得AD＝2 cm.
26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.
(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；
(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；
(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.
解：(1)∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AO＝CO.
∴△PAO的周长为AP＋PO＋AO＝BO＋PO＋OC＝BC.
∵BC＝10 cm，∴△PAO的周长为10 cm.
(2)∵AB＝AC，∠BAC＝110 °，∴∠B＝∠C＝×(180 °－110 °)＝35 °.
由(1)知AP＝BP，AO＝CO.
∴∠BAP＝∠B＝35 °，∠CAO＝∠C＝35 °.
∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝110 °－35 °－35 °＝40 °.
(3)能.理由如下：
∵∠BAC＝110 °，∴∠B＋∠C＝180 °－110 °＝70 °.
由(1)知AP＝BP，AO＝CO.
∴∠BAP＝∠B，∠CAO＝∠C.
∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110 °－70 °＝40 °.
27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？
(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.
解：(1)设点M，N运动x秒后，M，N两点重合，
x×1＋12＝2x，解得x＝12.
(2)设点M，N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t.
∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4.
∴点M，N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.
(3)当点M，N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形.
由(1)知，12秒时M，N两点重合，恰好在C处.
如图2，假设△AMN是以MN为底边的等腰三角形，
∴AN＝AM.∴∠AMN＝∠ANM.∴∠AMC＝∠ANB.
∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形.∴∠C＝∠B.
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN(AAS).∴CM＝BN.
设当点M，N在BC边上运动时，M，N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形.
∴CM＝y－12，NB＝36－2y，由CM＝NB，得y－12＝36－2y，解得y＝16.
故假设成立.
∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16秒.下载本文
