一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.(2021·广东省·单元测试)实数2，0，，中，最小的数是
A. 2 B. 0 C. D.
2.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为
A. B. C. D.
3.(2021·广东省·单元测试)如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是
A.
B.
C.
D.
4.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为
A. B. C. D.
5.(2021·广东省·单元测试)如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为
A.
B.
C.
D.
6.(2021·广东省·单元测试)关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是
A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6
7.(2021·广东省·单元测试)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是
A. 2m
B. 3m
C.
D.
8.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是
A. 直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形
B. 直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形
C. 直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形
D. 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形
9.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连结CE，则的值为
A.
B.
C.
D. 2
10.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案图中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形下面说法正确的是
A. 用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B. 用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形
C. 用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D. 用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11.(2021·山东省济南市·模拟题)分解因式：______．
12.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两银子共有______ 两
13.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上若，则BC长为______ 结果保留根号．
14.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是______ ．
16.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)计算：．
解不等式：．
四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）
18.(2021·广东省·单元测试)绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；
全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人．
19.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度无人机海拔高度与时间的关系如图两架无人机都上升了15min．
求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度与时间的关系式；
问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
20.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长精确到1cm，参考数据：，．
物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
21.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．
若，求，的度数；
写出与之间的关系，并说明理由．
22.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．
求杯体ACB所在抛物线的函数表达式不必写出x的取值范围；
为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为，求的长．
23.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)问题：如图，在▱ABCD中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
当点E与点F重合时，求AB的长；
当点E与点C重合时，求EF的长．
把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
24.(2021·浙江省绍兴市·历年真题)如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．
若，求DF的长；
若，求DF的长；
直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【知识点】算术平方根、实数大小比较
【解析】解：，
最小的数是，
故选：C．
根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，即可判断出最小的数．
本题考查了实数的比较大小，注意负数比较大小，绝对值大的反而小．
2.【答案】B
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形，
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】解：袋子有6个小球，其中白球有1个，
摸出一个球是白球的概率是，
故选：A．
用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
5.【答案】B
【知识点】正多边形与圆的关系、圆周角定理、正方形的性质
【解析】解：连接OB、OC，如图，
正方形ABCD内接于，
弧所对的圆心角为，
，
．
故选：B．
根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为，是本题解题的关键．
6.【答案】D
【知识点】二次函数的最值、二次函数的性质
【解析】解：二次函数，，
该函数图象开口向上，有最小值，当取得最小值6，
故选：D．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
7.【答案】A
【知识点】相似三角形的应用、中心投影及其相关概念
【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：A．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
8.【答案】C
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【解析】解：，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当时，此时为等腰三角形；
当点P到达点C处时，此时为等边三角形；
当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则为等腰三角形；
当点P与点D重合时，此时为等腰三角形，
故选：C．
把点P从点B出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。
本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，题目有一定的综合性，难度适中。
9.【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线
【解析】解：设DE交AC于T，过点E作于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
设DE交AC于T，过点E作于首先证明，再证明，可得结论。
本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，属于中考常考题型。
10.【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】解：如图所示，
用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；
用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，
故选：B．
根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．
本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定．
11.【答案】
【知识点】因式分解-运用公式法
【解析】解：．
故答案为：．
本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
三项式；
其中两项能化为两个数整式平方和的形式；
另一项为这两个数整式的积的2倍或积的2倍的相反数．
12.【答案】46
【知识点】一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用
【解析】解：设有x人，银子y两，
由题意得：，解得，
故答案为46．
通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
13.【答案】
【知识点】矩形的性质、钟面角
【解析】解：过O点作，，垂足分别为E，F，
由题意知，
，
，，
在矩形ABCD中，，，
，
，
，
故答案为．
根据题意即可求得，即可求得，由矩形的性质结合平行线的性质可求得，利用含角的直角三角形的性质可求解．
本题考查的矩形的性质、钟面角，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】解：如右图所示，
当点P在点B的左侧时，
，，
，
，
，
，
；
当点P在点C的右侧时，
，，
，
，
，
，
；
由上可得，的度数是或，
故答案为：或．
根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
15.【答案】5或
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质
【解析】解：作轴于M，轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，
正方形ABCD中，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
顶点D的坐标．
，，
同理：≌，
，，
，，
设，
，
，，
当反比例函数常数，的图象经过点B、D时，则；
当反比例函数常数，的图象经过点B、c时，则，
解得，
，
故答案为5或．
作轴于M，轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，通过证得三角形求得表示出B、C的坐标，然后根据反比例函数系数即可求得结果．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
16.【答案】或4或
【知识点】角平分线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、全等三角形的判定与性质
【解析】解：如图，当C，D同侧时，过点A作于E．
在中，，，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
当C，D异侧时，过作于H，
是等边三角形，，
，，
在中，，
是等边三角形，
，
的长为或4或。
故答案为：或4或。
分C，D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形。
本题考查直角三角形角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题。
17.【答案】解：原式
；
，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【知识点】特殊角的三角函数值、一元一次不等式的解法、零指数幂、实数的运算
【解析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零指数幂的意义化简，计算即可得到结果；
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得．
本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
18.【答案】解：接受问卷调查的学生数：人，
“了解”的扇形圆心角度数为；
答：本次接受问卷调查的学生有200人，图2中“了解”的扇形圆心角的度数为；
人，
答：估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人．
【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、条形统计图
【解析】从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常了解”的人数为30人，占调查人数的，可求出接受问卷调查的学生数，进而求出“了解”所占比例，即可得出“了解”的扇形圆心角的度数；
样本中“非常了解”、“了解”的占调查人数的，进而估计总体中“非常了解”和“了解”的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
19.【答案】解：，
设函数的表达式为，
将、代入上式得，解得，
故函数表达式为；
由题意得：，
解得，
故无人机上升12min，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
【知识点】一次函数的应用
【解析】由题意得：；再用待定系数法求出函数表达式即可；
由题意得：，即可求解．
本题考查的是一次函数的应用，根据题意确定y和x的表达式是本题解题的关键．
20.【答案】解：过点C作于点P，过点B作于点Q，如图：
，
，
在中，，
，
．
当B，C，D共线时，如图：
，，
在中，，
．
手臂端点D能碰到点M．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】过点C作于点P，过点B作于点Q，在中，，再根据可得答案；
当B，C，D共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断．
本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
21.【答案】解：，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
与之间的关系：，
理由：设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角定理得到，推出是等边三角形，得到，于是得到结论
设，，由于，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，于是得到结论。
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键。
22.【答案】解：，
顶点，
设抛物线的函数表达式为，
，
，
，
，，
将代入，
得：，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
由题意得：，，
，
，
，
又杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，
设，，
当时，，
解得：，，
，
杯口直径的长为．
【知识点】二次函数综合
【解析】运用待定系数法，由题意设顶点式，进而求得答案；
由题意知：，进而求得，再由题意得抛物线过，，从而列方程求出 和，进而求得的长．
本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．
23.【答案】解：如图1所示：
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理：，
点E与点F重合，
；
如图2所示：
点E与点C重合，
，
，
点F与点D重合，
；
分三种情况：
如图3所示：
同得：，
点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
，
；
如图4所示：
同得：，
，
；
如图5所示：
同得：，
，
；
综上所述，的值为或或2．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】证，得，同理，即可求解；
由题意得，再由，即可求解；
分三种情况，由的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
24.【答案】解：点D、点P关于直线EF的对称，，
点P在BD上，
四边形ABCD是矩形，
，
，．
，
点E是边AD的中点，
，
，
；
如图2，
，．
，
由对称可得，EF平分，
，
是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
；
如图3，
，．
，
由对称可得，，，EF平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
；
的长为2或6；
由得，当时，如图或如图，
当时，
第一种情况，如图4，
平分，
，
过点F作于点M，设，则，，
，
，，
；
第二种情况，如图5，
平分，
，
过点F作于点M，设，则，，
，
，，
，
最大值为8，
。
综上，DF长的取值范围为或．
【知识点】四边形综合
【解析】由题意得点P在BD上，根据含直角三角形的性质即可求解；
由对称可得是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含直角三角形的性质即可求解；
分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，结合中求得的DF的值即可得出答案。
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．下载本文
