一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
2．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算不正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a3÷a2＝a D．a3+a3＝a6
4．在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是（ ）
A．（0，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
5．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
6．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到6号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．小明、小亮参加学校运动会800米赛跑：小明前半程的速度为2x米/秒，后半程的速度为x米秒，小亮则用米/秒的速度跑完全程，结果是（ ）
A．小明先到终点 B．小亮先到终点
C．同时到达 D．不能确定
8．如图，M是一个加油站，A，B是两个村庄，现要建一条直线型公路，使加油站M到公路的距离为1km，且A，B两村到公路的距离相等，那么这条公路的设计方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．已知某手机当前电量为20%，正常使用时耗电量为每小时10%，经测试，用快速充电器和普通充电器对其充电时，其电量y（%）关于充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．现在用快速充电器将其充满电后，正常使用a小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6小时，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，若AF＝2FG，∠ABC＝60°，则的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．请写出一个比小的整数 ．
12．如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角α为°，则第二次转过的角β为 °．
13．某在线教育集团2﹣6月份在线教育的收入情况如图所示，则这几个月收入的平均数是 万元．
14．如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝ ．
15．如图，正方形OABC中，A，C分别在x，y轴正半轴上，反比例函数y＝的图象与边BC，BA分别交于点D，E，且BD＝BE＝，对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，则k＝ ．
16．如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 分米．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．计算：+3tan30°．
18．先化简，再求值：（2x﹣y）2+y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．
19．我校师生组成200个小组参加植树活动，每个小组的植树量为2至5棵．现随机抽查其中50个小组，制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题．
（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中植树量为“5棵树”的圆心角的度数．
（2）请你估算此次活动共种多少棵树．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，A，B，C都是格点．请根据要求，找出相应的格点P，并画出符合要求的图形．
21．如图，二次函数y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴；
（2）若P，Q在抛物线上且P（m，yP）（n，yQ）．当n﹣m＝5时，yP＞yQ．求m的取值范围．
22．点O为▱ABCD的两对角线的交点，△ABO的外接圆交AD于点F，且圆心E在AD边上．已知BC为⊙E的切线．
（1）求∠BCD的度数；
（2）已知BC＝2+2，求弧OF的长．
23．如图，直线y＝x﹣4与坐标轴交于点A，B，该直线上的点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2．
（1）若点P为AB的中点，求d1+d2的值；
（2）点P在射线AB上，若＜d1+d2＜5，求点P横坐标x的范围．
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+md2为常数，求m的值．
24．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P，Q是分别在射线CA，CB上，AP＝BQ．将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到PE．
（1）如图1，点P在线段AC上，若点E在BC上，P，Q在直线AB异侧，求EC的长．
（2）如图2，点Q在线段BC上，若tan∠PQB＝，求ED的长．
（3）以D，P，E为顶点的三角形能否是直角三角形？若能，求出线段BQ的长；若不能，请说明理由．
参
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．
解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
2．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：D．
3．下列计算不正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a3÷a2＝a D．a3+a3＝a6
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
解：A、a2•a3＝a5，正确，故此选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，正确，故此选项不合题意；
C、a3÷a2＝a，正确，故此选项不合题意；
D、a3+a3＝2a3，原题错误，故此选项符合题意；
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是（ ）
A．（0，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．
解：∵第三象限点的坐标特点是横纵坐标均为负数，∴只有选项C符合条件，故选C．
5．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
6．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到6号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
解：∵共有6张卡片，其中写有6号的有3张，
∴从中任意摸出一张，摸到6号卡片的概率是＝．
故选：A．
7．小明、小亮参加学校运动会800米赛跑：小明前半程的速度为2x米/秒，后半程的速度为x米秒，小亮则用米/秒的速度跑完全程，结果是（ ）
A．小明先到终点 B．小亮先到终点
C．同时到达 D．不能确定
【分析】根据时间＝路程÷速度，列出代数式求出小明、小亮跑完全程的时间，比较大小即可求解．
解：小明跑完全程的时间：+＝（秒），
小亮跑完全程的时间：＝（秒），
∵x＞0，
∴＞，
∴小亮先到终点．
故选：B．
8．如图，M是一个加油站，A，B是两个村庄，现要建一条直线型公路，使加油站M到公路的距离为1km，且A，B两村到公路的距离相等，那么这条公路的设计方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据切线的性质，取AB的中点O，过中点与圆相切的直线符合题意，根据平行线间的距离处处相等，作出圆的切线并且与AB平行即可．
解：如图，这条公路的设计方案有4种，分别是图中的l1，l2，l3，l4．
取AB的中点O，作AB的垂直平分线，以点M为圆心，1km为半径作圆，
此时过点O的直线l1 和l2 符合题意；
另外，与直线AB平行且与圆相切的两条直线l3和l4也符合题意．
故符合题意的公路的设计方案有4种，分别是图中的l1，l2，l3，l4．
故选：D．
9．已知某手机当前电量为20%，正常使用时耗电量为每小时10%，经测试，用快速充电器和普通充电器对其充电时，其电量y（%）关于充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．现在用快速充电器将其充满电后，正常使用a小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6小时，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出快速充电器和普通充电器每小时充电的百分比，再根据用快速充电器将其充满电后，正常使用a小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6小时，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：由图象可得，
快速充电器每小时充电：（100%﹣20%）÷2＝40%，
普通充电器每小时充电：（100%﹣20%）÷6＝%，
由题意可得，2+a+＝6，
解得a＝，
故选：A．
10．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，若AF＝2FG，∠ABC＝60°，则的值（ ）
A． B． C． D．
【分析】证四边形EFGH是矩形，得EF＝GH，FG＝EH，设FG＝EH＝a，则AF＝2FG＝2a，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AF＝4a，CD＝2CH，则CH＝AF＝2a，得CE＝3a，然后求出EF＝a，得S矩形EFGH＝a2，过A作AM⊥BC于M，求出AM的长，得S平行四边形ABCD＝12a2，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵AF平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝30°，∠BAF＝∠BAD＝60°，
∴∠AFB＝90°＝∠EFG，
同理：∠E＝∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴EF＝GH，FG＝EH，
设FG＝EH＝a，则AF＝2FG＝2a，
∵∠AFB＝90°，∠ABF＝30°，
∴AB＝2AF＝4a，
∴BF＝＝＝2a，
在Rt△CDH中，∠CDH＝30°，
∴CD＝2CH，
∴CH＝AF＝2a，
∴CE＝EH+CH＝3a，
在Rt△BEC中，∠EBC＝30°，
∴BC＝2CE，
∴BC＝6a，
∴BE＝＝＝3a，
∴EF＝BE﹣BF＝3a﹣2a＝a，
∴S矩形EFGH＝FG•EF＝a•a＝a2，
过A作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝2a，
∴AM＝＝＝2a，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝6aa＝12a2，
∴＝＝，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．请写出一个比小的整数 2 ．
【分析】首先2可以写成，由于，由此可求得答案．
解：∵5＞4，
∴，即＞2，
∴比小的整数有2、1、0、﹣1、﹣2…（答案不唯一）．
12．如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角α为°，则第二次转过的角β为 116 °．
【分析】由已知条件可先求得∠BAC，再利用平行线的性质可得到β的度数．
解：∵∠α＝°，
∴∠BAC＝180°﹣∠α＝116°，
∵AB∥CD，
∴∠β＝∠BAC＝116°，
故答案为：116．
13．某在线教育集团2﹣6月份在线教育的收入情况如图所示，则这几个月收入的平均数是 124 万元．
【分析】根据算术平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
解：这几个月收入的平均数是：＝124（万元）．
故答案为：．
14．如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝ 30° ．
【分析】连接CD，证明△BCD≌△BED和△ACD≌△DCB，然后由∠ACB＝60°，可得∠BED＝∠DCB＝30°．
解：连接CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CBA＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
又∵∠CBD＝∠DBE，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠BED＝∠DCB，
∵BD＝AD，BC＝AC，DC＝DC，
∴△ACD≌△DCB（SSS），
∴∠ACD＝∠DCB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BED＝∠DCB＝30°．
故答案为：30°．
15．如图，正方形OABC中，A，C分别在x，y轴正半轴上，反比例函数y＝的图象与边BC，BA分别交于点D，E，且BD＝BE＝，对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，则k＝ +1 ．
【分析】先根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得＝，再根据CD∥AO，推△CDF∽△AOF，推比例线段求出＝＝，设OA＝a，根据同一条线段的长列等式求出a也就求出k．
解：∵四边形OABC是正方形，
∴∠B＝90°，∠BCA＝45°，
∵BD＝BE＝，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，DE＝2，
∴∠BDE＝∠BCA，
∴DE∥CA，
∴△OFG∽△ODE，
∴＝，
∵对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，
∴＝，
∴＝，
∵CD∥AO，
∴△CDF∽△AOF，
∴＝＝，
设OA＝a，CD＝（﹣1）a，
∵CD＝a﹣，
∴a﹣＝（﹣1）a，
∴a＝+1，
即OA＝BC＝+1，
∴CD＝1，
∴D（1，+1），
∵点D在反比例函数上，
∴k＝+1，
故答案为：+1．
16．如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 18 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 40 分米．
【分析】（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．解直角三角形求出EH即可．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．解直角三角形求出AF′，F′T，E′F′，再利用平行线分线段成比例定理求出G′F′即可．
解：（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．
∵AF∥BC，
∴∠AFJ＝∠FJC，
∵DC＝4AD，EF＝4DF，AB＝AC＝DE＝50分米，
∴AD＝DF＝10（分米），EF＝40（分米），
∴∠DFA＝∠DAF，∠ABC＝∠ACD，
∵∠FAD＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FJC，
∴AB∥FJ，
∴四边形ABJF是平行四边形，
∴AB＝FJ＝50（分米），
∴EJ＝EF+FJ＝90（分米），
∵tan∠EJH＝tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴可以假设JH＝m，EH＝2m，
∴4m2+m2＝902，
解得m＝18（负根已经舍弃），
∴EH＝36分米，
∴点E离水平地面BC的高度为36分米．
故答案为：36．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．
∵E′D⊥AC，
∴∠ADT＝90°，
∵tan∠TAD＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴DT＝20（分米），
∴TE′＝50﹣20＝30（分米），
∵DF′＝10（分米），
∴TF′＝DF′＝10（分米），
∴AF′＝＝10，
∵AT∥G′E′，
∴＝，
∴＝，
∴F′G′＝40（分米），
∴GF＝G′F′＝40（分米）．
故答案为：40．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．计算：+3tan30°．
【分析】先化简负整数指数幂，零指数幂，绝对值，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
解：原式＝3﹣1+2﹣+3×
＝3﹣1+2﹣+
＝4．
18．先化简，再求值：（2x﹣y）2+y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（2x﹣y）2+y（3x﹣2y）
＝4x2﹣4xy+y2+1.5xy﹣y2
＝4x2﹣2.5xy，
当x＝1，y＝2时，原式＝4×12﹣2.5×1×2＝﹣1．
19．我校师生组成200个小组参加植树活动，每个小组的植树量为2至5棵．现随机抽查其中50个小组，制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题．
（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中植树量为“5棵树”的圆心角的度数．
（2）请你估算此次活动共种多少棵树．
【分析】（1）用总组数减去其他组数，求出植2棵树的组数，再补全统计图，最后利用360°乘以对应的比例即可求解；
（2）先求出抽查的50个组植树的平均数，然后乘以200即可求解．
解：（1）植2棵树的组数有：50﹣15﹣17﹣10＝8（个），
植树量为“5棵树”的圆心角是：360°×＝72°，
补全统计图如下：
故答案是：72；
（2）每个小组的植树棵树：（2×8+3×15+4×17+5×10）＝（棵），
则此次活动植树的总棵树是：×200＝716（棵）．
答：估算此次活动共种716棵树．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，A，B，C都是格点．请根据要求，找出相应的格点P，并画出符合要求的图形．
【分析】根据要求作出符合题意的图形即可．
解：如图，点P即为所求；
图3中，S△ABC＝＝8，S△CBF＝3×4﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3＝4.5，
∴S四边形ABPC＝12.5，
21．如图，二次函数y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴；
（2）若P，Q在抛物线上且P（m，yP）（n，yQ）．当n﹣m＝5时，yP＞yQ．求m的取值范围．
【分析】（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；
（2）把P（m，yP）（n，yQ）分别代入二次函数y＝ax2﹣4ax中，由yP＞yQ得am2﹣4am＞an2﹣4an，再结合图象知a＜0，整理得（n﹣m）（4﹣m﹣n）＜0，结合已知条件n﹣m＝5，代入解题即可．
解：（1）二次函数图象的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
二次函数y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O，A两点，
由对称性可知A（4，0）；
（2）把P（m，yP）（n，yQ）分别代入二次函数y＝ax2﹣4ax得，
yP＝am2﹣4am，yQ＝an2﹣4an，
∵yP＞yQ，
∴am2﹣4am＞an2﹣4an，
整理得，a（m2﹣4m）＞a（n2﹣4n），
由抛物线开口向下得，a＜0，
∴m2﹣4m＜n2﹣4n，
∴m2﹣4m﹣n2+4n＜0，
∴（m+n）（m﹣n）+4（n﹣m）＜0，
∴（n﹣m）（4﹣m﹣n）＜0，
∵n﹣m＝5，
∴4﹣m﹣n＜0，
∵n＝5+m，
∴4﹣m﹣5﹣m＜0，
∴﹣2m＜1，
∴m＞﹣．
22．点O为▱ABCD的两对角线的交点，△ABO的外接圆交AD于点F，且圆心E在AD边上．已知BC为⊙E的切线．
（1）求∠BCD的度数；
（2）已知BC＝2+2，求弧OF的长．
【分析】（1）根据切线的性质得∠CBE＝90°，根据平行四边形的性质可得∠AEB＝EBC＝90°，结合圆的半径相等可得∠BAD＝45°，最后由平行四边形的对角相等可得结论；
（2）延长AD，作CG⊥AD于点G，连接OE，证明四边形BCGE是矩形得CG＝BE，证明△CDG是等腰三角形，证明△COB∽△CBA得CB2＝CA•CO＝CA2，在Rt△ACG中，根据勾股定理求出半径，证明△BEO是等边三角形得∠OEF＝30°，再根据弧长公式求解即可．
解：（1）如图，连接EB，
∵BC为⊙E的切线，
∴EB⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠EBC＝90°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠EBA＝45°，
∴∠BCD＝45°；
（2）如图，作CG⊥AD交AD的延长线于点G，连接OE，
∵AD∥BC，
∴∠GDC＝∠BCD＝45°，
∴∠DCG＝90°﹣45°＝45°，
∴GD＝GC，∠BCG＝45°，
∵EB⊥BC，
∴四边形EBCG是矩形，
∴GC＝BE＝r，
∴DG＝r，
∴AG＝AD+DG＝BC+DG＝2+2+r，
∵BC为⊙E的切线，
∴∠CBO＝∠CAB，
∵∠OCB＝∠BCA，
∴△COB∽△CBA，
∴，
∴CB2＝CA•CO＝CA2，
∴CA2＝2CB2＝2（2+2）2＝32+16，
在Rt△ACG中，AC2＝CG2+AG2，
∴32+16＝2r2+（4+4）r+16+8，
解得：r＝2或r＝﹣2（2+）（舍去），
∴DG＝r＝2，
∴ED＝（2+2）﹣2＝2，
∴tan∠EBD＝＝＝，
∴∠EBD＝60°，
∵EB＝EO，
∴△BEO是等边三角形，
∴∠BEO＝60°，
∴∠OEF＝90°﹣60°＝30°，
∴弧OF的长为：＝．
23．如图，直线y＝x﹣4与坐标轴交于点A，B，该直线上的点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2．
（1）若点P为AB的中点，求d1+d2的值；
（2）点P在射线AB上，若＜d1+d2＜5，求点P横坐标x的范围．
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+md2为常数，求m的值．
【分析】（1 ）分别求出点A和点B的坐标，再根据点P是AB的中点，求出点P的纵、横坐标即可得到结论；
（2）设点P的坐标为（a，a﹣4 ），再分0≤a＜3和a＜0两种情况表示出d1，d2，再代入＜d1+d2＜5，求出a的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为（b，b﹣4 ），方法同（2）求出d1+md2，进﹣步求出m的值即可．
解：（1）∵直线y＝x﹣4与坐标轴交于点A，B，
∴把x＝0、y＝0分别代入y＝x﹣4得，
y＝4，x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣4），
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，如图，
∵P是AB的中点，
∴PC＝OB＝2，PD＝OA＝，
∴d1+d2＝2+＝；
（2）设点P的坐标为（a，a﹣4 ），点P在射线AB上，
∴a﹣4＜0，
∴d1+d2＝|a﹣4|+|a|＝4﹣a+|a|，
当0≤a＜3时，d1+d2＝4﹣a+a＝4﹣a，
∴＜4﹣a＜5，
解得，﹣3＜a＜2，
∴0≤a＜2，
当a＜0时，d1+d2＝4﹣a﹣a＝4﹣a，
∴＜4﹣a＜5，
解得，﹣＜a＜，
∴﹣＜a＜2，
∴点P的横坐标x的取值范围是：﹣＜x＜2；
（3）若P在线段AB上，则设点P的坐标为（b，b﹣4 ），
∴0≤b≤3，d1＝|b﹣4|，d2＝|b|，
∴d1+md2＝|b﹣4|+m|b|＝4﹣b+mb，
若d1+md2为常数时，
则m＝时，d1+md2＝4﹣b+mb＝4﹣b+b＝4，
∴m＝．
24．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P，Q是分别在射线CA，CB上，AP＝BQ．将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到PE．
（1）如图1，点P在线段AC上，若点E在BC上，P，Q在直线AB异侧，求EC的长．
（2）如图2，点Q在线段BC上，若tan∠PQB＝，求ED的长．
（3）以D，P，E为顶点的三角形能否是直角三角形？若能，求出线段BQ的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，利用三角函数以及直角三角形的性质进行求解即可；
（2）过点E和点P分别作BC与DC的平行线，构造矩形KICJ，根据等腰直角三角形的性质以及矩形的性质，结合三角函数即可求解；
（3）当∠DPE＝90°时，此时Q，P，D三点共线，然后根据△PAD∽△PCQ，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
解：（1）如图所示，作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，
∴四边形BFPG是矩形，∠APG＝∠ACB，
由题意得，tan∠ACB＝，
∴tan，
∵AC＝＝10，
∴sin，cos，
∴cos，
∵PQ绕点P逆时针旋转90°得到PE，
∴△PQE为等腰直角三角形，
∴PF＝QF＝EF，
设AP＝BQ＝α，则PC＝10﹣α，
∵BF＝PG＝AP，
∴QF＝BQ+BF＝，
在Rt△PFC中，PF＝PC•sin，
∴，
解得：α＝，
∴BF＝＝2，EF＝QF＝＝，
∴BE＝BF+EF＝，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣＝；
（2）如图所示，过点E和点P分别作BC与DC的平行线，构造矩形KICJ，
设AP＝BQ＝5x，
则由（1）得：PH＝3x，AH＝4x，
∴PI＝3x+6，IQ＝IB+BQ＝9x，
根据tan得：，
解得：x＝，
∴AH＝IB＝，PI＝8，PH＝2，IQ＝6，
∴KJ＝IC＝IB+BC＝，
∵△PEQ为等腰直角三角形，
∴∠EPQ＝90°，∠EPK+∠IPQ＝90°，
∵∠IPQ+∠PQB＝90°，
∴∠EPK＝∠PQB，
∵∠K＝∠I＝90°，∠EPK＝∠PQI，PE＝PQ，
∴△KEP≌△IPQ（AAS），
∴KE＝PI＝8，KP＝IQ＝6，
∴EJ＝KJ﹣KE＝，JD＝KH＝KP+PH＝8，
在Rt△EJD中，ED＝＝，
∴ED＝；
（3）如图所示，
当∠DPE＝90°时，
∵∠QPE＝90°，
∴此时Q，P，D三点共线，
设AP＝BQ＝y，
则QC＝y+8，PC＝10﹣y，
由题意得：△PAD∽△PCQ，
∴，
∴，
解得：y＝4或y＝﹣20（舍去），
∴BQ＝4．下载本文
