一．选择题（共31小题）
1．已知集合A={x|x≥0，x∈R}，B={x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（?RA）∩B=（ ）
A．（﹣∞，0）∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1，+∞） D．[﹣3，0）
2．函数f（x）=+的定义域是（ ）
A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]
3．已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．6
4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣），c=f（），则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
5．已知硒数f（x）=则函数y=f（x）+3x的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若a=，b=，c=，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
7．已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1）
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．1+π D．2+π
9．直线（m+2）x+3my+7=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣5=0相互垂直，则m的值（ ）
A． B．﹣2 C．﹣2或2 D．或﹣2
10．直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（ ）
A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3） C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3）
11．某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（ ）
A．0 B．520 C．280 D．240
13．已知函数，以下命题中假命题是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．是函数f（x）的一个零点
C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到
D．函数f（x）在上是增函数
14．已知，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为2
C．f（x）在（，）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线对称
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（ ）
A． B． C． D．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ）
A．20 B．35 C．45 D．90
18．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a4+a5＞0，a4?a5＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
19．在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（ ）
A． B． C． D．2
20．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
21．在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22．已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（ ）
A．8 B．16 C．25 D．32
23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或2
24．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（2，m）满足|MF|=6，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=16x
25．设函数f（x）=ex+a?e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣ C． D．﹣1
26．设函数f（x）=xex+1，则（ ）
A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点
27．复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（ ）
A． B． C． D．
28．若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
29．展开式中的常数项为（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
30．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
31．如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
| 月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 用水量y | 4 | 5 | a | 7 |
A．6 B． C． D．
二．解答题（共8小题）
32．已知．求：
（1）函数的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证f（x）＞0．
33．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．
34．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．
35．已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．
36．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．
37．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
（Ⅰ）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求?的取值范围．
38．已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
39．某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀．
| 区间 | [75，80） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100] |
| 人数 | 36 | 114 | 244 | 156 | 50 |
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．
2018年单招考试复习资料
参与试题解析
一．选择题（共31小题）
1．已知集合A={x|x≥0，x∈R}，B={x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（?RA）∩B=（ ）
A．（﹣∞，0）∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1，+∞） D．[﹣3，0）
【分析】化简集合B，根据交集与补集的定义计算即可．
【解答】解：集合A={x|x≥0，x∈R}，
B={x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣3或x≥1，x∈R}=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），
∴?RA={x|x＜0，x＜R}=（﹣∞，0），
∴（?RA）∩B=（﹣∞，﹣3]．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．函数f（x）=+的定义域是（ ）
A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]
【分析】f（x）=+有意义，可得，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：f（x）=+有意义，
可得，
即为，
解得﹣1＜x＜0或0＜x≤2，
则定义域为（﹣1，0）∪（0，2]．
故选D．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方式非负，对数真数大于0，以及分式分母不为0，考查运算能力，属于基础题．
3．已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．6
【分析】根据条件得到函数f（x）是奇函数，结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）是奇函数，
∵当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，
∴f（﹣1）=2﹣2=0，f（f（﹣1））=f（0）=0，
f（﹣2）=2（﹣2）2﹣2=2×4﹣2=8﹣2=6=﹣f（2），
则f（2）=﹣6，
则f（f（﹣1））+f（2）=0﹣6=﹣6，
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．
4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣），c=f（），则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【分析】由条件可得函数的周期为2，再根据a=f（﹣）=f（﹣），b=f（﹣）=f（）=f（﹣），c=f（）=f（﹣），﹣＜﹣＜﹣，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，可得a，b，c大小关系
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2．
由于a=f（﹣）=f（﹣），
b=f（﹣）=f（）=f（﹣），
c=f（）=f（﹣），
﹣＜﹣＜﹣，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，
∴a＞c＞b，
故选：D
【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5．已知硒数f（x）=则函数y=f（x）+3x的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】画出函数y=f（x）与y=﹣3x的图象，判断函数的零点个数即可．
【解答】解：函数f（x）=，
函数y=f（x）+3x的零点个数，
就是函数y=f（x）与y=﹣3x
两个函数的图象的交点个数：
如图：
由函数的图象可知，零点个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的画法，零点个数的求法，考查计算能力．
6．若a=，b=，c=，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：a=＞1，b=∈（0，1），c=＜0，
则c＜b＜a．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1）
【分析】根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可．
【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，
解得：﹣3＜x＜1，
而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，
故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，
由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，
得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，
故选：B．
【点评】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．1+π D．2+π
【分析】由根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，由此求出几何体的体积，
【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，
所以体积V=1×1×2+×π×12×2=2+π，
故选：D
【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
9．直线（m+2）x+3my+7=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣5=0相互垂直，则m的值（ ）
A． B．﹣2 C．﹣2或2 D．或﹣2
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵直线（m+2）x+3my+7=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣5=0相互垂直，
∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，
解得m=或m=﹣2．
∴m的值为或2．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．
10．直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（ ）
A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3） C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3）
【分析】显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为k，利用点到直线的距离公式，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由k的值及已知点的坐标写出切线方程即可．
【解答】解：显然点（﹣3，4）在圆x2+y2=25上，
设切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣4=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣4=0，
∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=，
则切线方程为y﹣4=（x+3）．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线的点斜式方程，点到直线的距离公式以及直线的一般式方程，若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
11．某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据这组数据的平均数得出a+b=8，再利用基本不等式求出+的最小值．
【解答】解：根据茎叶图知，这组数据的平均数是
[12+13+15+19+17+23+（20+a）+25+28+（20+b）]=20，
∴a+b=8，
∴+=（+）（a+b）
=（1+9++）≥（10+2）=2，
当且仅当b=3a=6时取“=”，
∴+的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数与基本不等式的应用问题，是基础题．
12．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（ ）
A．0 B．520 C．280 D．240
【分析】由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．
【解答】解：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，
所有学生的成绩均在区间（30，150]内，
由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（++）×20=．
∴获得复赛资格的人数为：×800=520．
故选：B．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13．已知函数，以下命题中假命题是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．是函数f（x）的一个零点
C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到
D．函数f（x）在上是增函数
【分析】根据正弦函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断真假性即可．
【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=1为最大值，
∴f（x）的图象关于直线对称，A正确；
对于B，当x=﹣时，函数f（x）=sin（﹣2×+）=0，
∴x=﹣是函数f（x）的一个零点，B正确；
对于C，函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），
其图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到，∴C错误；
对于D，x∈[0，]时，2x+∈[，]，
∴函数f（x）=sin（2x+）在上是增函数，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
14．已知，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由，且，知==1﹣1×=0，由此能求出向量与向量的夹角．
【解答】解：∵，
∴==0，
∵，
∴，
==1×=，
∴1﹣=0，
∴cos＜＞=，
∴．
故选A．
【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
15．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为2
C．f（x）在（，）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线对称
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式f（x）=sin（2x﹣）+，根据正弦函数的性质分别判断，即可求得答案．
【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，
由T==π，故A错误，
f（x）的最大值为1+=，故B错误；
令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，解得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，
当k=0时，则f（x）在（，）上单调递减，故C正确，
令2x﹣=kπ+，解得：x=+，故D错误，
故选C．
【点评】本题考查三角恒等变换，正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得tanA=﹣1，进而可求A，由正弦定理可得sinC的值，进而可求C的值．
【解答】解：∵b=a（cosC﹣sinC），
∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，
可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC，
∴cosAsinC=﹣sinAsinC，由sinC≠0，可得：sinA+cosA=0，
∴tanA=﹣1，由A为三角形内角，可得A=，
∵a=2，c=，
∴由正弦定理可得：sinC===，
∴由c＜a，可得C=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ）
A．20 B．35 C．45 D．90
【分析】由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．
【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a4+a5＞0，a4?a5＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【分析】由已知结合等差数列的单调性可得a4+a5＞0，a5＜0，由求和公式可得S9＜0，S8＞0，可得结论．
【解答】解：∵{an}是等差数列，首项a1＞0，a4+a5＞0，a4?a5＜0，
∴a4，a5必定一正一负，结合等差数列的单调性可得a4＞0，a5＜0，
∴S9===9a5＜0，S8==＞0，
∴使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值为8
故选D
【点评】本题考查等差数列的前n项的最值，理清数列项的正负变化是解决问题的关键，属基础题．
19．在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】利用等比数列通项公式先求出公比q===，再由==，能求出结果．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，若a2=，a3=，
∴公比q===，
∴=，
∴===．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．
对于B：因为x=﹣1?x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．
对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为?x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．
【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．
对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1?x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．
对于C：命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”．
因为命题的否定应为?x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．
由排除法得到D正确．
故答案选择D．
【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．
21．在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论．
【解答】解：“C=”?“A+B=”?“A=﹣B”?sinA=cosB，
反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，
∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．
22．已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（ ）
A．8 B．16 C．25 D．32
【分析】利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．
【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=8，|F1N|+|F2N|=2a=8
∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=8+8=16
故选B
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的第一定义．
23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或2
【分析】求出双曲线的渐近线方程，推出ab关系，然后求解离心率．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），
可得，即，可得，解得e=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
24．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（2，m）满足|MF|=6，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=16x
【分析】求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出2+=6，解得p，由此能求出抛物线的方程．
【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0），
在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是6，
∴抛物线准线方程是x=﹣，
由抛物线的定义可得2+=6，
解得p=8，
∴抛物线的方程是y2=16x．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用．
25．设函数f（x）=ex+a?e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣ C． D．﹣1
【分析】求导数，由f′（x）是奇函数可得f′（0）=0，解方程可得a值．
【解答】解：求导数可得f′（x）=（ex+ae﹣x）′=（ex）′+a（e﹣x）′=ex﹣ae﹣x，
∵f′（x）是奇函数，
∴f′（0）=1﹣a=0，
解得a=1
故选：A
【点评】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题．
26．设函数f（x）=xex+1，则（ ）
A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点
【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点．
【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，
令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1，
令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题．
27．复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（ ）
A． B． C． D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1﹣2i）=3+2i，
得，
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
28．若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、5本不同的书分成3组，②、将分好的三组全排列，对应三人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将5本不同的书分成3组，
若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；
若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；
则有15+10=25种分组方法；
②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，
则有25×6=150种不同的分法；
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及分步计数原理，注意先依据题意分组，进而全排列，对应三人．
29．展开式中的常数项为（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：通项公式Tr+1=x6﹣r=（﹣1）r，
令6﹣=0，解得r=4．
∴常数项=T5==15．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
30．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，这两种情况是互斥的，进而根据相互事件的概率公式计算可得其概率．
【解答】解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，
则所求概率是（1﹣）+（1﹣）=，
故选D．
【点评】本题考查了相互事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，本题是一个基础题．
31．如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
| 月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 用水量y | 4 | 5 | a | 7 |
A．6 B． C． D．
【分析】求出，，代入回归方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵=（1+2+3+4）=，=（4+5+a+7）=4+
∴4+=+，解得：a=，
故选：C．
【点评】本题考查了回归方程的应用，考查方程过样本点的中心，是一道基础题．
二．解答题（共8小题）
32．已知．求：
（1）函数的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证f（x）＞0．
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得2x﹣1≠0，解可得x的范围，即可得答案；
（2）由（1）的结论，进而分析f（﹣x）=f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；
（3）根据题意，当x＞0时，分析易得＞0，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，，
则有2x﹣1≠0，
解可得x≠0，
则函数的定义域为{x|x≠0}，
（2）设任意x≠0，
∵=．
∴f（x）为偶函数；
（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（﹣x）=f（x），
当x＞0时，2x﹣1＞0，则＞0，
又由f（x）为偶函数，
则当x＜0时，f（x）＞0，
综合可得：f（x）＞0．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，判定函数的奇偶性时要先分析函数的定义域．
33．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．
【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；
（Ⅱ）可得线段DA、DB、DC在平面ABC的摄影EA，EB，EC满足EA=EB=EC，△ABC为直角三角形，即AB⊥BC，由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，可得S△FBC==2，
即可计算四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC=．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AB⊥DE，
又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF?平面DEF，DE∩DF=D，
∴AB⊥平面DEF，
又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，
∴线段DA、DB、DC在平面ABC的摄影EA，EB，EC满足EA=EB=EC
∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC
由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，
∴AB=BC=2，DE=2，
∴S△FBC==2，
∴四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC==．
【点评】本题考查了了面面垂直的判定，三棱锥体积的计算，属于中档题．
34．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦变形，结合x的范围即可求得f（x）的值域；
（2）由f（）=求得A，结合余弦定理及已知求得bc，代入面积公式求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=
==．
∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣]，则f（x）∈[0，]；
（2）由f（）=，得sin（A﹣）+，
∴sin（A﹣）=0，
∵A﹣∈（﹣，），则A﹣=0，即A=．
由a=4，b+c=5，a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bc?cosA，
得16=25﹣2bc﹣2bc×，即bc=3．
∴．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．
35．已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．
【分析】利用向量的数量积求出函数的解析式并化简三角函数式，利用三角函数的性质解得本题．
【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1
=cos2x+sin2x
=2cos（2x﹣）；
所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，所以A=，又B=，边AB=3，
所以由正弦定理得，即，解得BC=．
【点评】本题考查了向量的数量积公式、三角函数式的化简以及三角函数性质和解三角形，属于中档题．
36．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2①．
则：Sn+1=2an+1﹣2②，
②﹣①得：an+1=2an，
即：（常数），
当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，
解得：a1=2，
所以数列的通项公式为：，
（Ⅱ）由于：，
则：，
=，
=2n+1﹣2．
﹣2﹣2﹣…﹣2，
=2n+2﹣4﹣2n．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．
37．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
（Ⅰ）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求?的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=，求出几何量，即可求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）利用数量积公式求出?，结合﹣2≤x≤2，即可求?的取值范围．
【解答】解：（I）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
∴c=1，a=2，
∴b=，
∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分）
（II）设P（x0，y0），则
∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），
∴?=（﹣1﹣x0）（﹣2﹣x0）+y02=x2+3x+5，
由椭圆方程得﹣2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2
当x=﹣2时，取最小值0，
当x=2时，取最大值12．
∴?的取值范围是[0，12]…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
38．已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
【分析】（1）根据函数f（x）在x=﹣2处有极值，且在x=﹣1处切线斜率为﹣3，列出方程组；
（2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值；
【解答】（1）f'（x）=3x2+2bx+c
依题意得 解得：
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3+3x2﹣1．
（2）由（1）知f'（x）=3x2+6x．令f'（x）=0，
解得x1=﹣2，x2=0
列表：
| x | ﹣1 | （﹣1，0） | 0 | （0，2） | 2 |
| f'（x） | ﹣ | + | |||
| f（x） | 1 | ﹣1 | 19 |
【点评】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，切线斜率以及函数的最值问题，属基础题．
39．某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀．
| 区间 | [75，80） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100] |
| 人数 | 36 | 114 | 244 | 156 | 50 |
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．
【分析】（I）根据频数=频率×样本容量，通过抽样比，可求出优秀的学生人数；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得x=15．
所以其中成绩为优秀的学生人数为15．…（5分）
（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有取值为0，1，2．
P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．…（11分）
所以X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 |
| P |
所以随机变量X的数学期望E（X）==…（13分）
【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力，属于基础题．
