一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，指出Venn 图中阴影部分表示的集合是（）
A．{3}B．{1，4，5，6}C．{2，3，7，8}D．{2，7，8}
2．已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）
A．﹣4B．4C．3D．3i
3．在1和2两数之间插入n（n∈N+）个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当n＝10时，该数列的所有项和为（）
A．15B．16C．17D．18
4．很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及2这个数．请你估算这个数2大致所在的范围是（）（参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48）
A．（1012，1013）B．（1019，1020）
C．（1020，1021）D．（1030，1031）
5．为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是（）
A．3%，0.010B．3%，0.012C．6%，0.010D．6%，0.0126．执行如图的程序框图（“amodb”是a除以b的余数），如果输入a＝18，b＝12，则输出M的值等于（）
A．12B．18C．36D．72
7．从直线l：3x+4y＝15上的动点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为C，D，则四边形OCPD（O为坐标原点）面积的最小值是（）
A．B．C．D．2
8．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
9．若sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）
A．B．C．﹣D．
10．若x，y满足约束条件，且z＝3x﹣y的最大值为12，则a的取值范围为（）
A．a≥4B．a≥16C．a＝12D．a＝16
11．已知直线y＝kx（k＞0）和曲线f（x）＝x﹣alnx（a≠0）相切，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，e）B．（0，e）
C．（0，1）∪（1，e）D．（﹣∞，0）∪（1，e）
12．直线y＝ax+c与曲线y＝e x切于点，且x0∈[0，1]，设，则a与b的大小关系是（）
A．a＝b B．a＞b
C．a＜b D．以上均有可能
二、填空题（共4小题）.
13．已知向量＝（2，﹣1），＝（3，﹣2），若，则||＝．14．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为．
15．记S n为等比数列{a n}的前n项和．设S3＝6，S4＝a1﹣3，则公比q＝，S4＝．16．沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体ABCD外接球表面积为．
三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．设函数f（x）＝12cos2x﹣4sin x cos x﹣5．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在△ABC，角A、B、C的对边长分别为a、b，c．若f（A）＝﹣5，a＝，b＝2，求△ABC的面积．
18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长2为等边三角形，E，F分别为AB，AA1的中点，CE⊥FB1，AB＝．
（1）证明：EF⊥平面CEB1；
（2）求三棱锥F﹣B1CE的体积．
19．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日﹣12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数（万）．
4/095/045/296/237/188/139/0610/0110/2611/1912/14日期
（月/
日）
12345671011统计
时间
顺序x
43.3118.8179.4238.8377.0536.06.0744.7888.91187.41673.7
累计
确诊
人数y
（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，得到函数关系y＝ae bx（a、b＞0）．对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值＝6，＝603.09，＝5.98，（x i）（y i）＝15835.70，（x i）（lny i ﹣）＝35.10，（x i）2＝110，
＝11.90，e4.06≈57.97，e4.07≈58.56，e4.08≈59.15．根据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到0.01）．
（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝2x+a与抛物线C交于A，B两点．（1）若a＝﹣1，求△FAB的面积；
（2）若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围．21．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx，（b，c∈R）．
（1）当c＝1时，讨论函数f（x）单调性；
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＝2时，求f（1）的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为
，0≤θ≤，曲线C2的参数方程为（t为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程．
（2）设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．参
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，指出Venn 图中阴影部分表示的集合是（）
A．{3}B．{1，4，5，6}C．{2，3，7，8}D．{2，7，8}
解：由图象可知阴影部分对应的集合为（M∩P）∪（∁U（M∪P）），
∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，
∴M∩P＝{3}，M∪P＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∪P）＝{2，7，8}，
∴（M∩P）∪（∁U（M∪P））＝{2，3，7，8}．
故选：C．
2．已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）
A．﹣4B．4C．3D．3i
解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，
所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，
由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．
故选：C．
3．在1和2两数之间插入n（n∈N+）个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当n＝10时，该数列的所有项和为（）
A．15B．16C．17D．18
解：由题意得，该等差数列有12项，首项，a1＝1，a12＝2，
故S12＝＝18．
故选：D．
4．很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及2这个数．请你估算这个数2大致所在的范围是（）（参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48）
A．（1012，1013）B．（1019，1020）
C．（1020，1021）D．（1030，1031）
解：设2＝N，
两边同时取常用对数得：lg2＝lgN，
∴lg2＝lgN，
∴lgN≈×0.30＝19.2，
∴N＝1019.2，
故选：B．
5．为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是（）
A．3%，0.010B．3%，0.012C．6%，0.010D．6%，0.012
解：由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：0.003×20＝0.06，
由于（0.003+0.014+0.02+a+0.03）×20＝1，解得a＝0.010，
故选：C．
6．执行如图的程序框图（“amodb”是a除以b的余数），如果输入a＝18，b＝12，则输出M的值等于（）
A．12B．18C．36D．72
解：模拟执行程序框图，可得
a＝18，b＝12
m＝18×12，
r＝6，
不满足条件r＝0，a＝12，b＝6，r＝0
满足条件r＝0，退出循环，输出M的值为＝36．
故选：C．
7．从直线l：3x+4y＝15上的动点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为C，D，则四边形OCPD（O为坐标原点）面积的最小值是（）
A．B．C．D．2
解：由已知得S四边形OCPD＝2S△OPD，l：3x+4y﹣1＝0．
因为△OPD是直角三角形，所以•|OD|＝．|OP|min＝，故，即（S四边形OCPD）min＝2．
故选：B．
8．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
解：如图，连接PF2，QF2，
因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，故F1Q⊥F2Q．
设|PF1|＝m，则|PQ|＝2m，|QF1|＝3m，|QF2|＝3m﹣2a，|PF2|＝m+2a，
由△PQF2为直角三角形，
可得（m+2a）2＝（2m）2+（3m﹣2a）2，
解得m＝，
所以|QF1|＝4a，|QF2|＝2a，
由F1QF2为直角三角形，
可得16a2+4a2＝4c2，
∴e＝＝．
故选：D．
9．若sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）
A．B．C．﹣D．
解：∵＝cos（﹣α），
则＝2﹣1＝2×﹣1＝﹣，
故选：C．
10．若x，y满足约束条件，且z＝3x﹣y的最大值为12，则a的取值范围为
（）
A．a≥4B．a≥16C．a＝12D．a＝16
解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；
目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，平移目标函数知，y＝3x﹣z过点C时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值；
由，求得C（，），
所以z的最大值为z max＝3×﹣＝a﹣4＝12，
解得a＝16．
故选：D．
11．已知直线y＝kx（k＞0）和曲线f（x）＝x﹣alnx（a≠0）相切，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，e）B．（0，e）
C．（0，1）∪（1，e）D．（﹣∞，0）∪（1，e）
解：函数f（x）＝x﹣alnx（a≠0）的定义域为（0，+∞），
设直线y＝kx（k＞0）和曲线f（x）＝x﹣alnx（a≠0）相切于（x0，kx0）（x0＞0），∵f′（x）＝1﹣，∴切线斜率k＝，
又切点在曲线f（x）上，∴，
整理得，解得，
∵k＞0，∴a＝﹣e（k﹣1）＜e，且a≠0．
∴a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，e）．
故选：A．
12．直线y＝ax+c与曲线y＝e x切于点，且x0∈[0，1]，设，则a与b的大小关系是（）
A．a＝b B．a＞b
C．a＜b D．以上均有可能
解：由题意可得，
∵x0∈[0，1]，∴a∈[1，e]，
由，得5b＝3a+4a，
a与b的大小关系即5a与5b的大小关系，当a＝1时，b＝log5（3+4）＝log57＞1，此时a＜b；
当a＝2时，b＝log5（32+42）＝log525＝2，此时a＝b；
当a＝2.5时，，
平方作差可得，＞，即a＞b，
∴a与b的大小关系不确定，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（注：15题第一空3分，第二空2分）
13．已知向量＝（2，﹣1），＝（3，﹣2），若，则||＝．解：根据题意，向量＝（2，﹣1），＝（3，﹣2），
则﹣＝（﹣1，1），
若，则（﹣）•＝﹣1+m＝0，解可得m＝1，
则＝（1，1），
则||＝，
故答案为：．
14．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为．
解：三角形ABC的面积为24，
时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2为如图三角形的阴影部分，
它的面积为半径为2的半圆面积S＝π×22＝2π
所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的离大于2的概率
P＝1﹣＝1﹣＝．
故答案为：．
15．记S n为等比数列{a n}的前n项和．设S3＝6，S4＝a1﹣3，则公比q＝，S4＝5．解：因为等比数列{a n}，S3＝6，S4＝a1﹣3，
所以，
故q＝﹣，a1＝8，
则S4＝a1﹣3＝8﹣3＝5．
故答案为：﹣，5．
16．沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体ABCD外接球表面积为5π．
解：根据题意可知，四面体ABCD的三条棱满足BD⊥AD、DC⊥DA，
把四面体扩展为三棱柱，则三棱柱的底面边长分别为1，1，
∵BD2+DC2＝BC2，∴BD⊥DC，可得三棱锥底面三角形BDC为等腰直角三角形，
若把三棱柱补形为正四棱柱，则正四棱柱的对角线长为四面体ABCD外接球的直径，长度为，
∴外接球的半径为，则外接球的表面积为：4πr2＝．
故答案为：5π．
三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．设函数f（x）＝12cos2x﹣4sin x cos x﹣5．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在△ABC，角A、B、C的对边长分别为a、b，c．若f（A）＝﹣5，a＝，b＝2，求△ABC的面积．解：（1）f（x）＝12cos2x﹣4sin x cos x﹣5，
＝12×﹣2sin2x﹣5，
＝6cos2x﹣2sin2x+1＝4cos（2x+）+1，
故T＝π，
函数的值域[1﹣4，1+4]，
（2）因为f（A）＝4cos（2A+）+1＝﹣5，
所以cos（2A+）＝，
因为a＜b，所以A＜B，即A为锐角，则＜2A+＜，
所以2A+＝，即A＝，
因为a＝，b＝2，
由正弦定理得，
所以b＝2sin B＝2，
故sin B＝1，即B＝，
由勾股定理得，c＝1，
△ABC的面积S＝＝．
18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长2为等边三角形，E，F分别为AB，AA1的中点，CE⊥FB1，AB＝．
（1）证明：EF⊥平面CEB1；
（2）求三棱锥F﹣B1CE的体积．
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，E、F分别为AB、AA1的中点，∴CE⊥AB，
又∵CE⊥FB1，且FB1与AB相交，
∴CE⊥平面FB1E，
∴CE⊥EF且CE⊥BB1，
又∵AB ＝，AB＝2，
∴，
∴，
∴EB⊥BB1，
∴BB1⊥平面ABC，
∴，
又，故，
∴EF⊥EB1，
又EC∩EB1＝E，
∴EF⊥平面CEB1；
（2）由（1）可知CE⊥平面ABB1A1，
∴CE⊥BB1，
∴BB1⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
又，
∴．
19．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日﹣12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数（万）．
4/095/045/296/237/188/139/0610/0110/2611/1912/14日期
（月/
日）
12345671011统计
时间顺序x
43.3118.8179.4238.8377.0536.06.0744.7888.91187.41673.7
累计
确诊
人数y
（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，得到函数关系y＝ae bx（a、b＞0）．对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值＝6，＝603.09，＝5.98，（x i）（y i）＝15835.70，（x i）（lny i ﹣）＝35.10，（x i）2＝110，
＝11.90，e4.06≈57.97，e4.07≈58.56，e4.08≈59.15．根据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到0.01）．
（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率．
解：（1）因为y＝ae bx（a、b＞0），所以lny＝bx+lna，由已知可得
＝，lna ＝
，
则a＝e4.06≈57.97，所以所求该函数关系式为y＝57.97e0.32x；
（2）6人中老人有人，故2人中没有老人的概率为，
所以这2人中至少一人是老年人的概率为．
20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝2x+a与抛物线C交于A，B两点．（1）若a＝﹣1，求△FAB的面积；
（2）若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围．
解：（1）抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），a＝﹣1时，直线l：y＝2x﹣1，
联立，可得＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝2，x1x2＝．
|AB|＝＝＝，
点F到直线l的距离距离d＝＝，
∴△FAB的面积S＝|AB|•d＝×＝．
（2）因为点M，N关于直线l对称，所以直线MN的斜率为﹣，
所以可设直线MN的方程为y＝﹣，
联立，整理可得x2﹣（4m+16）x+4m2＝0，
由△＝（4m+16）2﹣16m2＞0，可得m＞﹣2，
设M（x3，y3），N（x4，y4），则x3+x4＝4m+16，y3+y4＝﹣（x3+x4）+2m＝﹣8故MN的中点为（4m+8，﹣4），
因为点M，N关于直线l对称，所以MN的中点（4m+8，﹣4），在直线y＝2x+a上，所以﹣4＝2（4m+8）+a，得a＝﹣4m﹣20，因为m＞﹣2，所以a＜﹣12．．
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）．
21．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx，（b，c∈R）．
（1）当c＝1时，讨论函数f（x）单调性；
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＝2时，求f（1）的最小值．解：（1）c＝1时，f（x）＝x3+bx2+x，
f′（x）＝3x2+2bx+1，且△＝4b2﹣12，
当﹣≤b≤时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增；
当b＜﹣或b＞时，由f′（x）＝0，得x1＝，x2＝，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：
x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+
f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当|b|≤时，f（x）R上单调递增；
当|b|＞时，f（x）在（﹣∞，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．
（2）f′（x）＝3x2+2bx+c，由x1，x2是函数f（x）的两个极值点，可得x1，x2是方程3x2+2bx+c ＝0的两个根，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，又|x1﹣x2|＝2，
所以（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝﹣＝4，即c＝﹣3，
所以f（1）＝b+c+1＝+b﹣2＝（b+）2﹣≥﹣，
所以当b＝﹣时，c＝﹣，△＝4b2﹣12c＝4（b2﹣3c）＞0，f（1）＝﹣，
故当b＝﹣，c＝﹣时，f（1）的最小值为﹣．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为
，0≤θ≤，曲线C2的参数方程为（t为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程．
（2）设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．解：（1）已知曲线C1的极坐标方程为，0≤θ≤，根据
转换为直角坐标方程为x+y﹣4＝0，（0≤x≤4），
曲线C2的参数方程为（t为参数），整理得，
，转换为直角坐标方程为（x+1）2﹣（y﹣1）2＝8．（2）由，解得，故P（2，2）．
设所求的圆心坐标（x0，0），
所以，解得x0＝2．
设所求的圆的方程为（x﹣2）2+y2＝r2，由于圆经过极点，
所以r＝2，
故圆的方程为（x﹣2）2+y2＝4．
根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|＝，
当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣3x+3≥f（﹣1）＝6，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣x+5＞f（2）＝3，
当x≥2时，f（x）＝3x﹣3≥f（2）＝3，
综上所述函数f（x）的最小值为3；
（2）当a＜﹣1时，x≥﹣1时，f（x）＝x+1+2（x﹣a）＝3x+1﹣2a，函数单调递增，与题意不符合，当a≥﹣1时，f（x）＝，
∵f（x）在[﹣1，1]上单调递减，
则a≥1，
综上所述a的取值范围为[1，+∞）．下载本文
