2010-2011学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)

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（1）（7分）求前一组到后一组的过渡矩阵；

（2）（3分）说明是否存在非零矩阵使得在这两组基下的坐标相同.

解：（1）设的一组基，，，，（2分）

它到第一组基的过渡矩阵为；它到第二组基的过渡矩阵为，（2分）所求过渡矩阵.

 （1+2分）

（2）存在.（1+2分）（ 理由2分）

二、（8分）设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的基下的矩阵是，求的全部特征值与特征向量.

解：的特征多项式为

所以的特征值是3（二重）与-6.  （3分） 

  对于特征值3，解齐次线性方程组

得到一个基础解系：

（2分）

从而的属于3的极大线性无关特征向量组是

（1分）

于是的属于3的全部特征向量是

这里为数域中不全为零的数对.

对于特征值-6，解齐次线性方程组

得到一个基础解系：

  （1分）

从而的属于-6的极大线性无关特征向量组是

于是的属于-6的全部特征向量

  （1分）

这里为数域中任意非零数

三、（14分）矩阵分解：

（1）（6分）求矩阵的满秩分解.

解：对矩阵只作初等行变换

  （4分） 

变换结果错，最多两分。

取，   （2分）

（2）（8分）求矩阵的正交三角分解，其中是酉矩阵，是正线上三角矩阵.

解：

U对了5分，后面3分

正交化错了4分，如果没给公式和下面的具体过程，最多3分。

四、（10分）设，求矩阵范数，，，.（这里）.

解：，（2分）

  ，（2分） 

   （2分）

     ，        （2分）

 （2分）

五、（15分）设中的线性变换满足

（1）（7分）求的值域的维数及一组基；

（2）（8分）求的核的维数及一组基.

解：（1）取R3的自然基

  （2分）

由题意知

A （ε1）=[1，0，1]T，A （ε2）=[1，1，2]T，A （ε3）=[-1，1，0]T

于是

A [ε1, ε2, ε3]= 

故A 在ε1, ε2, ε3下的矩阵表示为

    （2分）

矩阵A的列空间为

线性变换A 的值域为

A（V）= 

所以A （V）的维数为2，（1分） 基为。（2分）

（2）矩阵A的核实AX=0的解空间。不难求得AX=0的基础解系是[2, -1, 1]T,（5分）

因此A  -1（0）的维数为1， （1分）

基为. （2分）

注意：  如果A写错，把x,y,z当成基，最多给3分。

六、（共23分，前三小题每题5分，第四小题每题8分）证明题：

1.证明：两矩阵和相似.

2.设是阶Hermite矩阵，证明：对于任意， 是实数. 

3．设是阶可逆正规矩阵，且，证明：存在酉矩阵，使得.（为单位矩阵）.

4.设，，若对某矩阵范数有，证明：可逆.

七、（共20分每小题5分）设，

（1）求的Smith标准形（写出具体步骤）；

（2）写出的初等因子和的Jordan标准形J；

（3）是否存在一个次数低于3次的多项式满足，为什么？

（4）求矩阵函数，并计算矩阵函数的行列式.

解：

（1）

(2) 初等因子  ， 

       (3)不存在，因为

(4) 

；    =

第一问错了，按错误都给对了最多给4分

第3问单独考虑。如果第一问错了，第3问最多4分。下载本文