一．选择题（共14小题）
1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
2．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
4．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
5．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．3
6．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm
7．下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，2，5 C．3，3，5 D．3，4，5
8．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（ ）
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都是正确的
10．以下各命题中，正确的命题是（ ）
（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm；
（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（4）等边三角形是轴对称图形；
（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（4）（5） D．（4）（5）
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
12．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
13．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共7小题）
15．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为 ．
16．等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为 ．
17．等腰三角形的对称轴是 ．
18．等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是 cm或 cm．
19．如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α= °（填一个即可）
20．已知实数a、b满足|a﹣3|+=0，则以a、b的值为边长的等腰三角形的周长为 ．
21．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= ．
三．解答题（共2小题）
22．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
23．作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
初中数学等腰三角形及路径最短问题
参与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
2．（2017•临沂模拟）如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2=4，
故选：D．
3．（2016•杭州二模）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
4．（2016•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
【解答】解：∵外角等于100°，
∴这个内角为80°，
当这个80°角为顶角时，则底角为=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；
当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；
故选D．
5．（2016•黄石二模）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：作CD⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，
∴AD=1，
∴在直角△ADC中，
CD===，
∴S△ABC=×2×=；
故选C．
6．（2016秋•大石桥市校级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm
【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选D．
7．（2016秋•新会区期末）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，2，5 C．3，3，5 D．3，4，5
【解答】解：A、∵1+1=2，无法构成三角形，故此选项错误；
B、∵2+2＜5，无法构成三角形，故此选项错误；
C、∵3+3＞5，3=3，故组成等腰三角形，此选项正确；
D、∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．
故选：C．
8．（2016秋•南阳期末）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，
∵DE=DO+OE，
∴DE=BD+CE=5．
故选A．
9．（2016春•白银校级期中）对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（ ）
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都是正确的
【解答】解：“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；
A、B可以举反例说明，如图：DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．
故选C．
10．（2016秋•和平区期中）以下各命题中，正确的命题是（ ）
（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm；
（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（4）等边三角形是轴对称图形；
（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（4）（5） D．（4）（5）
【解答】解：（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则三边长为：9cm.9cm，4cm，或4cm，4cm，9cm，因为：4+4＜9，则它的周长只能是为22cm，故此命题错误；
（2）三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和，故此命题错误；
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等错误，必须是夹角；
（4）等边三角形是轴对称图形，此命题正确；
（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，正确；
如图：
∵AD∥CB，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
即：△ABC是等腰三角形．
故选：D．
11．（2015秋•泸县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣108°）=36°，
∵BD=AB，
∴∠BAD=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°．
故选B．
12．（2015秋•南开区期末）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以都正确．
故选D．
13．（2015秋•无棣县期末）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选D．
14．（2015秋•滕州市校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵P与P1关于OA对称，
∴OA为PP1的垂直平分线，
∴MP=MP1，
P与P2关于OB对称，
∴OB为PP2的垂直平分线，
∴NP=NP2，
于是△PMN周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=6．
故选C．
二．填空题（共7小题）
15．（2015秋•潮南区期末）若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为 7.5cm或11cm ．
【解答】解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；
②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．
故答案为：7.5cm或11cm．
16．（2015秋•无锡期末）等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为 40°或70° ．
【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数==70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故答案为：40°或70°．
17．（2015春•普陀区期末）等腰三角形的对称轴是 底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线 ．
【解答】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．
18．（2015春•历下区期末）等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是 26 cm或 22 cm．
【解答】解：（1）当腰是6cm时，周长=6+6+10=22cm；
（2）当腰长为10cm时，周长=10+10+6=26cm，
所以其周长是22cm或26cm．
故填22，26．
19．（2014•曲靖）如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α= 130 °（填一个即可）
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=50°，
∴当AB=AC时，∠ACB=∠ABC=50°，
∵a∥b，
∴∠α=130°，
故答案为：130．
20．（2014春•曲靖期末）已知实数a、b满足|a﹣3|+=0，则以a、b的值为边长的等腰三角形的周长为 15 ．
【解答】解：根据题意得，a﹣3=0，b﹣6=0，
解得a=3，b=6．
①若a=3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，
②若a=6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3，
能组成三角形，
周长=6+6+3=15．
故答案为：15．
21．（2014秋•随州期末）如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= 75° ．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠MEF=∠EFD+∠A=60°+15°=75°．
故答案为：75°．
三．解答题（共2小题）
22．（2014•红塔区模拟）已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
【解答】解：（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
23．（2012秋•樟树市期末）作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
【解答】解：作图如右图：
牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．
