一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 计算： .
2. 方程的解 .
3. 函数的反函数 .
4. 不等式的解集是 .
5. 已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 点，则的取值范围是 .
6. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则 当时， .
7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
9. 在△中，已知，三角形面积为12，则 .
10. 若向量的夹角为，，则 .
11. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原 点，则三角形面积的最小值为 .
12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，则 （结论用数学式子表示）.
二．选择题（本大题满分16分）
13. 抛物线的焦点坐标为
（A）. （B）. （C）. （D）.
14. 若，则下列不等式成立的是
（A）. （B）. （C）.（D）.
15. 若，则“”是“方程表示双曲线”的
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
16. 若集合，则A∩B等于( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)
在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. (本题满分12分)
已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知函数.
（1）若，求函数的值；
（2）求函数的值域.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
参
一． 1.. 2. 2. 3..
4.. 5.. 6..
7. 48. 8.. 9..
10. 2. 11. 4.
12.和
二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
| 题 号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 代 号 | B | C | A | B |
17. [解法一] 连接，
为异面直线与所成的角. ……4分
连接，在△中，， ……6分
则
. ……10分
异面直线与所成角的大小为. ……12分
[解法二] 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ……2分
则，
得. …6分
设与的夹角为，
则， ……10分
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为. 12分
18. [解法一]， ……4分
. ……8分
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是. ……12分
[解法二] 设
，
得
， ……4分
以下解法同[解法一].
19. [解]（1）， ……2分
……4分
. ……8分
（2）， ……10分
， ， ，
函数的值域为. ……14分
20. [解]（1）设曲线方程为， 由题意可知，. . ……4分
曲线方程为. ……6分
（2）设变轨点为，根据题意可知
得，
或（不合题意，舍去）.
. ……9分
得或（不合题意，舍去）.
点的坐标为， ……11分
.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. ……14分
21. [解]（1）
……4分
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
. ……8分
由于. ……10分
（3）[解法一] 当时，.
， ……12分
. 又，
① 当，即时，取，
.
，
则. ……14分
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由得，
令，解得或， ……12分
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
22. [解]（1）. …… 4分
（2）， …… 8分
，
当时，. …… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等. …… 18分下载本文
