一、考试内容
导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 在区间上的最大值是 2
2．已知函数处有极大值.则常数c＝ 6 ；
3．函数有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线在点处的切线方程是
2．若曲线在P点处的切线平行于直线.则P点的坐标为 （1.0）
3．若曲线的一条切线与直线垂直.则的方程为
4．求下列直线的方程：
（1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线；
解：（1）
所以切线方程为
（2）显然点P（3.5）不在曲线上.所以可设切点为.则①又函数的导数为.
所以过点的切线的斜率为.又切线过、P(3,5)点.所以有②.由①②联立方程组得..即切点为（1.1）时.切线斜率为；当切点为（5.25）时.切线斜率为；所以所求的切线有两条.方程分别为
题型三：利用导数研究函数的单调性.极值、最值
1．已知函数的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数处有极值.求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下.求函数在[－3.1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间[－2.1]上单调递增.求实数b的取值范围
解：（1）由
过的切线方程为：
①
②
而过
故
∵ ③
由①②③得 a=2.b=－4.c=5 ∴
（2）
当
又在[－3.1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2.1]上单调递增.又由①知2a+b=0。
依题意在[－2.1]上恒有≥0.即
①当；
②当；
③当
综上所述.参数b的取值范围是
2．已知三次函数在和时取极值.且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；
(3) 若函数在区间上的值域为.试求、应满足的条件．
解：(1) .
由题意得.是的两个根.解得.．
再由可得．∴．
(2) .
当时.；当时.；
当时.；当时.；
当时.．∴函数在区间上是增函数；
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是.极小值是．
(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位.向上平移4个单位得到的.
所以.函数在区间上的值域为（）．
而.∴.即．
于是.函数在区间上的值域为．
令得或．由的单调性知..即．
综上所述.、应满足的条件是：.且．
3．设函数．
（1）若的图象与直线相切.切点横坐标为２.且在处取极值.求实数 的值；
（2）当b=1时.试证明：不论a取何实数.函数总有两个不同的极值点．
解：（1）
由题意.代入上式.解之得：a=1.b=1．
（2）当b=1时.
因故方程有两个不同实根．
不妨设.由可判断的符号如下：
当＞０；当＜０；当＞０
因此是极大值点.是极小值点．.当b=1时.不论a取何实数.函数总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是f（x）的导函数. 的图象如右图所示.则f（x）的图象只可能是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
2．函数( A )
3．方程 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况.求参数取值范围
1．设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时.恒有.试确定a的取值范围.
解：（1）=.令得
列表如下：
| x | （-∞.a） | a | （a.3a） | 3a | （3a.+∞） |
| - | 0 | + | 0 | - | |
| 极小 | 极大 |
∴在（a.3a）上单调递增.在（-∞.a）和（3a.+∞）上单调递减
时..时.
（2）∵.∴对称轴.
∴在[a+1.a+2]上单调递减
∴.
依题. 即
解得.又 ∴a的取值范围是
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x 〔－1.2〕.不等式f（x） c2恒成立.求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c.f （x）＝3x2＋2ax＋b
由f （）＝.f （1）＝3＋2a＋b＝0得a＝.b＝－2
f （x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）.函数f（x）的单调区间如下表：
| x | （－ .－） | － | （－.1） | 1 | （1.＋ ） |
| f （x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f（x） | 极大值 | 极小值 |
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c.x 〔－1.2〕.当x＝－时.f（x）＝＋c
为极大值.而f（2）＝2＋c.则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x） c2（x 〔－1.2〕）恒成立.只需c2 f（2）＝2＋c.解得c －1或c 2
题型六：利用导数研究方程的根
1．已知平面向量=(,－1). =(,).
（1）若存在不同时为零的实数k和t.使=+(t2－3).=-k+t.⊥.
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论.讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
解：(1)∵⊥.∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0
∵=0.=4.=1.∴上式化为-4k+t(t2-3)=0.即k=t(t2-3)
(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况.可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时.f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
| t | (-∞,-1) | -1 | (-1,1) | 1 | (1,+ ∞) |
| f′(t) | + | 0 | - | 0 | + |
| F(t) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
当t=1时.f(t)有极小值.f(t)极小值=－
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示.
可观察出：
(1)当k＞或k＜－时,方程f(t)－k=0有且只有一解；
(2)当k=或k=－时,方程f(t)－k=0有两解；
(3) 当－＜k＜时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
1．设在上是单调函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）设≥1.≥1.且.求证：.
解：（1） 若在上是单调递减函数.则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.
若在上是单调递增函数.则≤.
由于.从而0 方法2：设.两式相减得 ≥1,u≥1. . 2．已知为实数.函数 （1）若函数的图象上有与轴平行的切线.求的取值范围 （2）若.（Ⅰ）求函数的单调区间 （Ⅱ）证明对任意的.不等式恒成立 解：. 函数的图象有与轴平行的切线.有实数解 ..所以的取值范围是 ... 由或；由 的单调递增区间是；单调减区间为 易知的最大值为.的极小值为.又 在上的最大值.最小值 对任意.恒有 题型八：导数在实际中的应用 1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱.上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时.帐篷的体积最大？ 解：设OO1为.则 由题设可得正六棱锥底面边长为：.（单位：） 故底面正六边形的面积为：=.（单位：） 帐篷的体积为：（单位：） 求导得。 令.解得（不合题意.舍去）.. 当时..为增函数； 当时..为减函数。 ∴当时.最大。 答：当OO1为时.帐篷的体积最大.最大体积为。 2．统计表明.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I）当时.汽车从甲地到乙地行驶了小时. 要耗没（升）。 （II）当速度为千米/小时时.汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为升. 依题意得 令得 当时.是减函数； 当时.是增函数。 当时.取到极小值 因为在上只有一个极值.所以它是最小值。 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少.最少为11.25升。 题型九：导数与向量的结合 1．设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k.使 （1）求函数关系式； （2）若函数在上是单调函数.求k的取值范围。 解：（1） （2） 则在上有 由； 由。 因为在t∈上是增函数.所以不存在k.使在上恒成立。故k的取值范围是。 下载本文
