(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是( B )

A.－6  B.－3  C.3  D.6

2.下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )

3.方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( B )

A.有两个相等的实数根  B.有两个不相等的实数根

C.无实数根  D.两根异号

4.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( C )

A.30°  B.60°  C.90°  D.120°

5.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是( A )

A.  B.  C.  D.

6.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB，CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )

A.2米  B.2.5米  C.2.4米  D.2.1米

7.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( C )

A.20 %  B.25 %  C.50 %  D.62.5 %

8.若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( A )

A.b＜1且b≠0  B.b＞1  C.0＜b＜1  D.b＜1

9.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( C )

A.π  B.π  C.2π  D.3π

10.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象上，它的对称轴是x＝1.有下列四个结论：①abc＜0，②a＜－，③a＝－k，④当0＜x＜1时，ax＋b＞k，其中正确结论的个数是( A )

A.4  B.3  C.2  D.1

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.点A(2,1)与点B关于原点对称，则点B的坐标是　(－2，－1)　.

12.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B＝40°，则∠OAC＝　50　°.

13.经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是　　.

14.已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为　0　.

15.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　π－2　.

16.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1,0)，半径为1，点P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　2　.

【点拨】如图，作AP垂直直线y＝－x＋3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为(－1,0)，设直线与x轴，y轴分别交于B，C，∴B(0,3)，C(4,0)，∴OB＝3，AC＝5，∴BC＝＝5，∴AC＝BC，∴△APC≌△BOC，∴AP＝OB＝3，∴PQ＝＝2.

三、解答题(共66分)

17.(6分) 用适当的方法解下列方程.

(1)(2x＋3)2－16＝0；           (2)2x2＝3(2x＋1).        

解：x1＝，x2＝－；  解：x1＝，x2＝.

18.(6分)在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1,2,3,4的四个小球和标有数字1,2,3的三个小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去.

(1)用树状图或列表法求出小王去的概率；

(2)小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由.

解：(1)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，所以P(小王)＝ ；

(2)不公平，理由如下：∵P(小王)＝ ，P(小李)＝ ， ≠ ，∴规则不公平.

19.(6分)如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.

(1)求点P与点P′之间的距离；

(2)求∠APB的度数.

解：(1)连接PP′，由题意可知AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，PC＝P′B，又∵∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠PAP′＝60°.∴△APP′为等边三角形.∴PP′＝AP＝AP′＝6.

(2)∵PP′2＋BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°.∴∠APB＝90°＋60°＝150°.

20.(8分)已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长.

(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；

(2)解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由(1)知AC＝AB＝4，则AD＝4－a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2＝AB2－AD2＝42－(4－a)2，在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2＝BC2－CD2＝(2 )2－a2，∴42－(4－a)2＝(2 )2－a2，整理得：a＝，即：CD＝.

21.(8分)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元.

(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5 % 购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000(1＋x)2＝7200，解得：x1＝0.2＝20 % ，x2＝－2.2(舍去).答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20 % .

(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20 % )＝80(万元)，设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台，根据题意得：3500m＋2000(1500－m)≤800000×5 % ，解得：m≤880.答：2018年最多可购买电脑880台.

22.(10分)如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.

(1)求∠AFE的度数；

(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).

解：(1)连接OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°；

(2)由(1)知，∠AOD＝60°，∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－＝π－.

23.(10分)某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间为一次函数关系，如图所示.

(1)求y与x的函数表达式；

(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

解：(1)当0＜x＜20时，y＝60；当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，把(20,60)，(80,0)代入 可得 ，解得 ∴y＝－x＋80，∴y与x的函数表达式为y＝

(2)若销售利润达到800元，则(x－20)(－x＋80)＝800，解得x1＝40，x2＝60，∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元.

24.(12分) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.

(1)请直接写出点A，C，D的坐标；

(2)如图(1)，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

(3)如图(2)，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

解：(1)A(－3,0)，C(0,3)，D(－1,4).

(2)作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示.∵C(0,3)，∴C′(0，－3).设直线C′D的解析式为y＝kx＋b，则有解得：∴直线C′D的解析式为y＝－7x－3，y＝0时，x＝－，∴当△CDE的周长最小时，点E的坐标为(－，0).

(3)设直线AC的解析式为y＝ax＋c，则有解得：∴直线AC的解析式为y＝x＋3.假设存在，设点F(m，m＋3)，△AFP为等腰直角三角形分三种情况(如图2所示)：

①当∠PAF＝90°时，P(m，－m－3)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴－m－3＝－m2－2m＋3，解得：m1＝－3(舍去)，m2＝2，此时点P的坐标为(2，－5)；

②当∠AFP＝90°时，P(2m＋3,0)∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－(2m＋3)2－2×(2m＋3)＋3，解得：m3＝－3(舍去)，m4＝－1，此时点P的坐标为(1,0)；

③当∠APF＝90°时，P(m,0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－m2－2m＋3，解得：m5＝－3(舍去)，m6＝1，此时点P的坐标为(1,0).综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，－5)或(1,0).下载本文