参与试题解析

一、选择题

1．（2016秋•湖北期中）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（　　）

A．16    B．12    C．8    D．4

【考点】用辗转相除计算最大公约数．

【专题】转化思想；算法和程序框图．

【分析】利用“更相减损法”即可得出．

【解答】解：在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，

由此可以看出12与16的最大公约数是4．

故选：D．

【点评】本题考查了更相减损法求两数的最大公约数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．（2016秋•湖北期中）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（　　）

A．A∪B=R    B．A∪（∁∪B）=R    C．（∁∪A）∪B=R    D．A∩（∁∪B）=A

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】集合思想；定义法；集合．

【分析】化简集合A，B，求出它们的补集，再判断选项是否正确即可．

【解答】解：全集U为R，集合A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，

B=（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，

A∪B={x|x＞﹣2且x≠2}，A错误；

∁UB={x|x≤2}，A∪（∁UB）={x|x≤2}，B错误；

∁UA={x|x≤﹣2或x≥2}，∴（∁UA）∪B={x|x≤﹣2或x≥2}，C错误；

A∩（∁UB）={x|﹣2＜x＜2}=A，D正确．

故选：D．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

3．（2016秋•湖北期中）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（　　）

A．6    B．3    C．    D．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，可得ω的最小值．

【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后，

可得函数y=2sin[ω（x﹣）+]﹣1=sin（ωx+﹣）+1的图象．

再根据所得图象与原图象重合，可得﹣=2kπ，k∈z．即ω=﹣6k，k∈Z，ω＞0

则ω的最小值为，6

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+φ）的周期，属于中档题．

4．（2016秋•湖北期中）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β    B．若l∥α，α∥β，则l∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β    D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β

【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】转化法；空间位置关系与距离．

【分析】由线面平行的性质判断A；由线面平行和面面平行的性质判断B；由线面垂直和线面平行的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断C；由垂直于同一条直线的两平面平行，判断D．

【解答】解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；

对于B，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错；

对于C，若l⊥α，l∥β，可过l作一个平面与β相交于m，则m∥l，且m⊥α，则α⊥β，故C正确；

对于D，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故D错．

故选：C．

【点评】本题考查空间线面位置关系的判断，注意运用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，考查推理和空间想象能力，属于基础题．

5．（2011•嘉定区一模）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（　　）

A．相交    B．相切    C．相离    D．无法确定

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】计算题．

【分析】求出圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于 ，再由θ≠kπ，k∈Z，可得 cosθ≠±1，故 ＞，即 圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，从而得出结论．

【解答】解：圆2x2+2y2=1 即 x2+y2=，圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于 ，

由于θ≠kπ，k∈Z，∴cosθ≠±1，∴＞，即 圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，

故直线和圆相离，

故选C．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．

6．（2016秋•湖北期中）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（　　）

A．    B．    C．    D．1

【考点】向量在几何中的应用．

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用．

【分析】由已知可得=3λ+3μ，由C为边AB上任意一点，根据三点共线的充要条件，可得：3λ+3μ=1，进而得到答案．

【解答】解：∵D为OC上靠近O的一个三等分点，

∴3=，

又∵=λ+μ，

∴=3λ+3μ，

∵C为边AB上任意一点，

∴3λ+3μ=1，

故λ+μ=，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，难度中档．

7．（2016秋•湖北期中）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（　　）

A．y=f（x）的图象关于对称    B．y=f（x）的图象关于对称

C．y=f（x）的图象关于y轴对称    D．y=f（x）不是周期函数

【考点】正弦函数的对称性．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．

【分析】根据题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：对于函数f（x）=sinxcos2x，

∵f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x），

∴f（x）关于直线x=对称，故A正确，B不正确．

根据f（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），故函数为奇函数，它的图象关于x轴对称，故排除C．

∵f（x+2π）=sin（2π+x）cos2（2π+x）=sinxcos2x=f（x），

∴2π是函数y=f（x）的周期，故D错误．

故选：A．

【点评】本题考查三角函数的对称性，考查了三角函数值域的解法，考查排除法在选择题中的应用，属于中档题．

8．（2016秋•湖北期中）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（　　）

A．该几何体的表面积为4+2π    B．该几何体的体积为π

C．该几何体的表面积为4+4π    D．该几何体的体积为π

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，利用相关的面积公式求解即可解答．

【解答】解：由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，

球的表面积：4π×（）2=π，半圆柱的底面面积为2××π=π，

半圆柱的侧面积为2×（2+π）=4+2π．

几何体的表面积为：4+4π．

故选：C．

【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．

9．（2016秋•湖北期中）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

A．8    B．    C．    D．10

【考点】简单线性规划．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．

【分析】不等式对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4），利用直线与圆的位置关系，确定点P的位置，进行即可即可．

【解答】解：不等式对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4）

过点P的直线l与圆x2+y2=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心到过P的直线的距离最大，

当点P在E处时，满足条件，此时OE⊥AB，

此时|OE|==2，

∴|AB|=2|BE|=2=8，

故选A．

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用直线和圆相交，根据弦长公式确定点P的位置是解决本题的关键，综合性较强．

10．（2016秋•湖北期中）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（　　）

A．    B．2    C．    D．

【考点】极差、方差与标准差．

【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．

【分析】由已知得a=4，b=4，m=4，由此能求出3，4，5，a，b这组数据的方差．

【解答】解：∵一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，

从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，

∴，

解得a=4，b=4，m=4，

∴3，4，5，a，b这组数据的方差为：

S2=[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=．

故选：D．

【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、中位数、概率、方差的性质的合理运用．

11．（2016秋•湖北期中）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（　　）

A．n＜10    B．n≤10    C．n≤1024    D．n＜1024

【考点】程序框图．

【专题】计算题；转化思想；定义法；算法和程序框图．

【分析】分析程序框图的运行过程，得出程序输出的算式S的表达式，列出方程求出n的值，即可得出结论．

【解答】解：本程序的功能是计算S=+++…+==1﹣，

∵S+=，

∴S=，

∴1﹣=，

∴=，

∴k=10，即运行了10次，

故可判断框内可填入的条件n≤210=1024，

故选：C

【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，等比数列的求和公式，属于基础题．

12．（2016秋•湖北期中）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A（2，2）、B（a，a），则a的值为（　　）

A．2    B．    C．2或    D．+

【考点】余弦定理．

【专题】综合题；分类讨论；综合法；解三角形．

【分析】由题意画出图象，由图和题意分两种情况，分别根据余弦定理求出内角的余弦值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角的大小，由正弦定理求出边OA的值，由点A的坐标求出a的值．

【解答】解：由题意画出图象：

（1）当OA：0B：AB=2：2：（﹣）时，

则cos∠OBA=

==，

因为∠OBA是内角，则∠OBA=120°，

cos∠OAB=

===，

因为∠OAB是内角，则∠OAB=45°，

在△OAB中，由正弦定理得，

则OB===，

因B（a，a），则a=，解得a=，

（2）当OB：0A：AB=2：2：（﹣）时，

则cos∠OAB=

==，

因为∠OAB是内角，则∠OAB=120°，

cos∠OBA=

===，

因为∠OBA是内角，则∠OBA=45°，

在△OAB中，由正弦定理得，

则OB===2，

因B（a，a），则a=2，解得a=2，

综上可得，a的值是或2

故选C．

【点评】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，注意内角的范围，考查分类讨论思想，化简、计算能力．

二、填空题

13．（2016秋•湖北期中）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为　　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．

【分析】求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．

【解答】解：由题意，弦心距为：=；半径为：，半弦长为：，弦长=．

故答案为：．

【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力．

14．（2016秋•湖北期中）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为　　．

【考点】几何概型．

【专题】计算题；转化思想；数学模型法；概率与统计．

【分析】由θ服从上的均匀分布，在此范围下满足2|sinθ|＜的θ∈[]，利用几何概型能求出概率．

【解答】解：θ服从上的均匀分布，区间长度为π，

在此范围下满足2|sinθ|＜的θ∈[]，区间长度为，

由几何概型得到所求概率为；

故答案为：．

【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确利用区间长度的比求概率．

15．（2016秋•湖北期中）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为　12π　．

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．

【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．

【分析】根据已知可得三棱锥的外接球的直径为2，进而求出球半径，代入球的表面积公式，可得答案．

【解答】解：若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，

将此三棱锥的外接球的直径为2，

故此三棱锥的外接球的半径为，

故此三棱锥的外接球的表面积S=4π•3=12π，

故答案为：12π．

【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知得到球的半径，是解答的关键．

16．（2016秋•湖北期中）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令t=Min{4x+y，}，则t的最大值为　2　．

【考点】函数的最值及其几何意义；不等式比较大小．

【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】利用重要不等式进行放缩，再分类讨论．

【解答】解：∵，

∴当时有4x+y≤2；

当时，有，

∴t≤2，

故答案：2．

【点评】本题考查了简单的放缩法，分类讨论法，一种常见的不等关系处理方法，属于中档题．

三、解答题

17．（12分）（2016秋•湖北期中）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．

（1）求男生跳远成绩的中位数．

（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．

（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．

【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．

【分析】（1）男生跳远成绩数据为偶数个，能求出中位数．

（2）女生总人数为18人，所占比例为，由此能求出女生应抽取的人数．

（3）由茎叶图求出样本的合格率，由此能求出该校五年级学生体质的合格率．

【解答】解：（1）男生跳远成绩数据为偶数个，

∴中位数为（cm）．…（4分）

（2）女生总人数为18人，所占比例为，

∴女生应抽取的人数为人．…（8分）

（3）由茎叶图可知，

样本中男生有8人合格，女生有10人合格．

样本的合格率为=60%．

∴该校五年级学生体质的合格率估计为60%．…（12分）

【点评】本题考查中位数、频数、合格率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．

18．（12分）（2016秋•湖北期中）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．

（1）当b=1时，求a的取值范围．

（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系．

【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．

【分析】（1）利用分离常数法，通过函数的单调性求解即可．

（2）求出函数的对称点的坐标，推出关系式，然后求解a，利用f（x）+f（﹣2﹣x）=2a求解即可．

【解答】解：（1）b=1时    …（3分）

∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，

∴1﹣a＜0即a＞1．

所求a的范围为（1，+∞）．…（6分）

（2），∴f（x）关于点（﹣1，a）对称．

即f（x）+f（﹣2﹣x）=2a…（8分）

∵g（x）=f（x）﹣1008没有零点，

∴a=1008…（10分）

∵f（1）=0又f（1）+f（﹣3）=2×1008=2016

∴f（﹣3）=2016…（12分）

【点评】本题考查函数的零点个数，函数的单调性，对称性的应用，考查计算能力．另：本题也可以先求a、b再求f（﹣3）．

19．（12分）（2016秋•湖北期中）在数列{an}中，a1=1an+1=，n∈N*．

（1）求证数列为等比数列．

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

【考点】数列递推式．

【专题】综合题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．

【分析】（1）直接把已知数列递推式变形可得，即是首项为1，公比为2的等比数列；

（2）由（1）求出数列{an}的通项公式，再由错位相减法求数列{an}的前n项和Sn．

【解答】（1）证明：由，得，

又，

∴是首项为1，公比为2的等比数列；

（2）解：由（1）知，是首项为1，公比为2的等比数列，

∴，则，

则，

…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，

两式作差得：﹣Sn=1+2+22+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，

∴．

【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．

20．（12分）（2016秋•湖北期中）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．

（1）求证：PB⊥AC．

（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．

【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（1）设AD中点为F，连接BF、PF，推导出△ABC∽△FAB，从而AC⊥BF，推导出PF⊥AC，由此能证明AC⊥PB．

（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO，则∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角E﹣AC﹣D的正切值．

【解答】证明：（1）设AD中点为F连接BF、PF．

∵PA=PD=AB=a，∴，

∴．

∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（4分）

又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，

∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．…（6分）

解：（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，

过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO．

由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，

∴∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角…（8分）

．

．

∴．

∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．…（12分）

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

21．（12分）（2016秋•湖北期中）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．

（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．

（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．

（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．

【分析】（1）经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆；

（2）证明l2与圆C2相交，利用两圆的半径相等，而两弦心距相等，可得所截得的弦长相等；

（3）由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）（1）或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）（2），（1）（2）对于无数多个m的值都成立．（3）或（4），（3）（4）都无解，即可得出结论．

【解答】解：（1）当k=2时，l1的方程为y=2x+7

联立方程组，整理得5x2+28x+36=0

设A、B为A（x1，y1），B（x2，y2）∴，，，，

经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆，

圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0．

即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0

所求圆的方程：…（4分）

（2）设圆C1的圆心到l1的距离为d1，圆C2的圆心到l2的距离为d2，则，

∴l2与圆C2相交，

∵两圆的半径相等，而两弦心距相等，

∴所截得的弦长相等．

（3）设Q（a，b）ℓ3的方程为y=m（x﹣a）+b．l4的方程为，

依题意圆C1的圆心到l3的距离为，

由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）（1）

或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）（2）

（1）（2）对于无数多个m的值都成立∴（3）或（4）

（3）（4）都无解∴Q不存在…（12分）

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，难度大．

22．（10分）（2016秋•湖北期中）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．

（1）求b．

（2）若a=，求角C．

【考点】正弦定理．

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．

【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=，由题意可得

，结合B范围可求B，求得解析式，即可得解b=f（）的值．

（2）由已知及正弦定理得，结合大边对大角及A的范围可求A，利用三角形内角和定理即可得解C的值．

【解答】（本题满分为10分）

解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=，

∵f（x）是偶函数，

∴…（2分）

∵B∈（0，π），

∴…（4分）

∴，

∴．…（6分）

（2）∵，由正弦定理得：，…（8分）

∵a＜b，

∴，

∴从而．…（10分）

【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．下载本文