1.函数 在 上的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知方程 的实数解为 ，且 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（ ）
A. 2x＜3y＜5z B. 5z＜2x＜3y C. 3y＜5z＜2x D. 3y＜2x＜5z
5.己知a=log20.2，b= ，c= ,则（ ）
A. a A. （﹣∞，4] B. （﹣∞，2] C. （﹣4，4] D. （﹣4，2] 7.已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知 ， ， ，则a ， b ， c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增. 若实数满足, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（ ） A. [3，+∞） B. （3，+∞） C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 11.已知 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12.若a>0，且a≠1，则函数y=ax-1+1的图像一定过定点（ ） A. （0，1） B. （1，1） C. （1，2） D. （0，-1） 13.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间 单调递增 ③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 14.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 15.设函数 ,则满足f(x+1) 16.已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. c＜a＜b 17.已知a=In 0.5，b=50.1 ， c=0.60.2 ， 则a，b，c的大小关系是 A. b>c>>a B. a>b>c C. b>a>c D. c>b>a 18.已知函数 （ ），对 ，均 ，使得 成立，则a的最小值为（ ） A.2 B. C. D.4 19.已知 ，方程 有三个实根 ，若 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 20.函数 在区间（0,1）内的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 21.关于函数 ， ，下列说法错误的是（ ） A.在 处的切线方程为 B.有两个零点 C.存在唯一极小值点 ，且 D.有两个极值点 22.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 23.已知函数 记关于a的方程 的解的个数为 ，以下判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 或 ，则 24.关于函数 （ ），下列说法正确的有（ ） A.， 至少有两个零点 B.， 只有两个零点 C.， 只有一个零点 D.， 有三个零点 25.设 ， ， ， ，则在a ， b ， c ， d这4个数中（ ） A.最大数为a B.最小数为b C.最大数为c D.最小数为d 三、填空题 26.若 ，则 ________． 27.已知 在 上是减函数，且 对任意的 ， 都成立，写出一个满足以上特征的函数 28.若 .则 29.已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________. 30.已知函数 ， ，则 ________。 31.若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________． ①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2． 32.函数 的定义域为 33.定义在 上的函数 单调递增，且对 ，有 ，则 34.已知 ，则 ________；若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为________． 35.设函数 存在反函数 ，且函数 的图象过点 ，则函数 的图象一定过点 36.设函数 ，则 四、解答题 37.已知函数 ，关于x的方程 恰有两个不相同的实根 ， ． （1）求a的取值范围； （2）是否存在a使得 成立，若存在，求a的值；若不存在，请说明理由． 38.为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系： ，单株发酵有机肥及其它成本总投入为 元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）． （1）求函数 的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 39.已知定义域为 的函数 是奇函数 （1）求 的解析式； （2）若 恒成立，求实数 的取值范围 40.已知函数 （1）求函数 在点 处的切线方程 （2）证明:当 时， 41.已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 42.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数 （1）求a值； （2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围； （4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围． 43.某企业自主开发出一款新产品A ， 计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x（千件）A产品，需另投入生产成本 （千元），且 （1）求该企业生产一件A产品的平均成本p（元）关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；（总成本=研发成本+生产成本） （2）该企业欲使生产一件A产品的平均成本 元，求其年生产址x（千件）的取值区间？ 44.已知函数 （ ）有两个极值点 ， ，且 （1）求a的取值范围； （2）若 ，求a的取值范围 45.已知函数 ， （1）讨论 的单调性； （2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线 相切，求a的取值范围 46.已知函数 ，其中 （1）判断函数 的奇偶性； （2）解关于x的不等式： ； （3）若函数 有三个不等实根，求实数a的取值范围 47.已知函数 （1）若 是定义在 上的偶函数，求实数 的值； （2）在（1）的条件下，若 ，求函数 的零点 48.已知函数 的最小正周期为 （1）求函数 的单调递增区间； （2）若先将函数 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，求方程 在 上根的个数 49.已知函数 （1）求过点 与曲线 相切的切线方程 （2）若 ，函数 有且只有一个零点 ，证明： 50.已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集 （2）当 时，若关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 【解析】【解答】 ， 是奇函数，排除AB， 在 时，由复合函数单调性知 是增函数，且 ，又 增函数，且 ， 所以 是增函数，而 是增函数，所以 是增函数，排除D． 故答案为：C． 【分析】 利用函数奇偶性排除选项A，B，然后利用符合函数的单调性结合对数函数和二次函数的单调性即可判断选项C正确，选项D错误.，由此得出答案。 2.【答案】 【解析】【解答】解： ，令 ， 在同一坐标系画出图象可得 由图可知 ，令 ， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】 先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可. 3.【答案】 【解析】【解答】正数 满足 ，即 ， ， 所以 ， ，即 ，所以 ， 故 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为2. 故答案为：A. 【分析】 先利用对数运算得到x=4y , 再利用基本不等式求最值即可. 4.【答案】 【解析】【解答】解：x、y、z为正数， 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则x= ，y= ，z= ． ∴3y= ，2x= ，5z= ． ∵ = = ， ＞ = ． ∴ ＞lg ＞ ＞0． ∴3y＜2x＜5z． 故选：D． 【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系． 5.【答案】 【解析】【解答】因为函数 中底数为2，又 利用增函数的性质， 因为函数 中底数为2，又 利用增函数的性质， 因为函数 中底数为0.2，又 利用减函数的性质， 故答案为：B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a,b,c与特殊值的大小关系式，判断出a,b,c的大小关系。 6.【答案】 【解析】【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数， 则当x∈[2，+∞）时， x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数 即， f（2）=4+a＞0 解得﹣4＜a≤4 故选C 【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 7.【答案】 【解析】【解答】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图： 当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点， 故实数a的取值范围是[-1，+∞）， 故答案为：C 【分析】作出分段函数的图象,函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形得到a的范围. 8.【答案】 【解析】【解答】解： 则a ， b ， c的大小关系为：c>a>b 故答案为：D 【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a,c化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c的大小. 9.【答案】 【解析】【解答】因为函数是定义在R上的偶函数，又因为.所以由可得.区间单调递增且为偶函数.所以.故选D. 10.【答案】 【解析】【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}， B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}， CBA=[3，+∞）． 故选A． 【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA． 11.【答案】 【解析】【解答】 ， ， 且 故 故答案为：A 【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。 12.【答案】 【解析】【解答】解： ∵x=1时，y=a0+1=2， ∴函数 y=ax-1+1 （a＞0且a≠1）的图象经过点（1，2）. 故选C. 【分析】根据指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象与性质，即可得出结论． 13.【答案】 【解析】【解答】 函数f(x)=sin|x|+|sinx|， 所以函数 为偶函数，①对， 根据分段函数 的图象可知 ②③错，④对。 【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项。 14.【答案】 【解析】 【解答】由函数的表达式可知，函数的定义或应满足条件：， 解之得≠,JI既函数的定义或为， 故应选C. 【分析】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性. 15.【答案】 【解析】【解答】函数 图象如图： 满足f（x+1）﹤f（2x） 可得： 或 解得：(-∞,0) 故答案为：D 【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f(),得到关于x的不等式,解不等式求出x的范围. 16.【答案】 【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数， ∴a=﹣f（ ）=f（log25）， b=f（log24.1）， c=f（20.8）， 又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25， ∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25）， 即c＜b＜a． 故选：C． 【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小． 17.【答案】 【解析】【解答】a=ln0.5<0，b=50.1> 1，0<0.60.2<1，0 18.【答案】 【解析】【解答】令 ，显然函数 是 上的偶函数， ， 则 ，而 ，有 ，即 ， 在 单调递增， 显然函数 图象是函数 图象右移一个单位而得，于是得 图象关于直线 对称，且在 单调递增，如图， “ ，使得 成立”等价于 ， ， 当 时， ，而 在 单调递增， 时， 取最小值 ， 当 时， ，显然有 ， ， 而 在 上递增，则 时， 取最小值 ， 因 ，因此，当 ， 变化时， 的最小值是 ， 当 时，由 图象及对称性同理可得 变化时， 的最小值是 ， 从而得 ， 变化时， 的最小值是 ， 又“对 ，均 ，使得 成立”，即长度为2的任意区间上都存在两个自变量值 ， 使得 成立，等价于当 变化时， 的最小值不小于1， 于是得 ，而 ，解得 ， 所以a的最小值为 . 故答案为：C 【分析】 首先由函数的奇偶性判断出函数为偶函数，结合偶函数的性质找出函数的图象，然后由结合指数函数的单调性求出函数的最值， 要使函数f(x)在任意长度为2的闭区间上总存在两点X1 ， X2 ， 使成立，只需要， 的最小值不小于1，由此得出关于a的不等式求解出a的取值范围 ，从而可求出a的最小值 。 19.【答案】 【解析】【解答】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1， ， 当x＜0时，由f（x）＝2 ，即﹣2x＝2 ． 得x2＝1﹣x2 ， 即2x2＝1，x2 ，则x ， ①当﹣1≤x 时，有f（x）≥2 ， 原方程可化为f（x）+2 f（x）﹣2 2ax﹣4＝0， 即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x ，由﹣1 解得：0≤a≤2 2． ②当 x≤1时，f（x）＜2 ，原方程可化为4 2ax﹣4＝0， 化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x ， 又0≤a≤2 2，∴ 0． ∴x1 ，x2 ，x3＝0． 由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得 2（ ）， 解得a （舍）或a ． 因此，所求实数a ． 故答案为：B． 【分析】根据题意即可判断出f（x）≥2 ，由此化简方程求出x1 ，x2 ，x3＝0，从而整理即可得到a的值。 20.【答案】 【解析】【解答】 ,在 范围内 ，函数为单调递增函数．又 ， ， ，故 在区间 存在零点，又因为函数为单调函数，故零点只有一个。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而结合函数的单调性，进而求出函数 在区间（0,1）内的零点个数 。 21.【答案】 【解析】【解答】对A，对函数 求导，得 ，则 ， ，所以在 处的切线方程为 ，A正确，不符合题意； ，当 时， ， 当 时， ， ，∴ ， ∴ 时， ，∴ 单调递增， ， ， 在 内， 存在唯一的零点 ,且 ， 且在 内， ， 单调递减； ， ， 单调递增，∴ 为极值点，且为极小值点；由 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ 有唯一的极值点，且为极小值点 ，且 ，D错误，符合题意，C正确，不符合题意； 又∵ , 结合函数 的单调性可知，∴ 有两个零点，B正确，不符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线方程；利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，从而推出函数有两个零点；利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用函数有唯一的极值点，且为极小值点 ，且 ，进而找出说法错误的选项。 22.【答案】 【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的知识与对数大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。 二、多选题 23.【答案】 【解析】【解答】解：由 如图所示，画出该函数的图像， 对于A，若 ，即 ， 此时， 或 ， 当 时， ，或 ， 当 时， 或 或 ， 所以 ，A符合题意； 对于B，当 时，即 ， 则 或 ，或 ， ①当 时，有一解， ②当 时，有三个解， ③当 时，分 两种情况讨论， （Ⅰ）当 ，有三个解， （Ⅱ）当 时，有两个解， 所以 或6，B不符合题意； 对于C，当 时，即 ， 则 或 或 ， 当 时， ， 当 时， 或 或 ， 当 时， 或 ， 所以 ，C符合题意； 对于D，当 或 时，即 或 ， 则 或 或 ， 当 时，有三个解， 当 时，有一个解， 当 时，有两个解， 所以 ，D不符合题意. 故答案为：AC. 【分析】 根据题意作出函数的图像，若t=-1，即f(f(a))=-1，则f(a)=-1或f(a)=1，求出a，即可判断A；当时，即， 则 或 ，或 ， 分别家出解的个数，由此即可判断判断B；当时，即f(f(a))=1，则f(a)=-2或f(a)=0或f(a)=2，求出a，即可判断C；当或 ：时，即f(f(a))<-1或f(f(a))>1，则0 24.【答案】 【解析】【解答】 函数 （ ）有零点 有解， 有解， 令 ， 方程 有解， 对C，当 ，即 时， 与 没有交点， 根据绝对值函数的图象可得：方程 有1个解，C符合题意； 对D， 当 ，即 时， 与 有两个交点， ， 根据绝对值函数的图象可得：方程 有3个解，D符合题意； 根据简易逻辑知识可知A,B不符合题意； 故答案为：CD 【分析】根据题意即可得出函数 （ ）有零点 有解，由特殊值代入法，结合指、对数函数的图象和性质由零点的定义，对选项逐一判断即可得出答案。 25.【答案】 【解析】【解答】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 故答案为：AD 【分析】由指数函数的单调性即可求出a的范围；再由对数函数的单调性即可求出b和c的取值范围，从而比较出结果即可。 三、填空题 26.【答案】 【解析】【解答】若 ，则 . 故答案为：2. 【分析】由指数幂以及对数的运算公式整理化简计算出结果即可。 27.【答案】 （答案不唯一） 【解析】【解答】 ，满足在 上是减函数， 且 . 故答案为： 【分析】结合对数函数的单调性及对数的运算性质可求。 28.【答案】 【解析】【解答】由题意， 故答案为：-1 【分析】根据， 即可求出， 然后得到a的值. 29.【答案】 【解析】【解答】解：∵ ，又 。 【分析】由f(3)=1得到关于a的方程,求出a的值. 30.【答案】 【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（ -x） 满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x） 所以g（x）是奇函数 函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4 可得：f（a）=4=+1,可得：ln（）=3 f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2 故答案为：-2 【分析】利用ln（ -x）与ln（ +x）是相反的 31.【答案】 【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的增函数； 对于②，f（x）=3﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数； 对于③，f（x）=x3 ， 则g（x）=exf（x）=ex•x3 ， g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0， ∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增； 对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2）， g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立， ∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数． ∴具有M性质的函数的序号为①④． 故答案为：①④． 【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断． 32.【答案】 或 【解析】【解答】解：∵ 方程的解为： ∴一元二次不等式的解为：x<1或x>3 ∴函数的定义域为： 故答案为： 【分析】根据对数函数的定义可知， 然后解一元二次不等式即可求出函数的定义域。 33.【答案】 【解析】【解答】根据题意，对 ，有 又 是定义在R上的单调增函数R上存在常数a使得 ， ，解得 故答案为： . 【分析】首先由函数的单调性结合已知条件即可得出函数的解析式，再由对数的运算性质代入数值计算出结果即可。 34.【答案】 18； 【解析】【解答】因为 ，所以 ， 所以 ， 若函数 在 上单调递增， 则 解得： ， 所以 的取值范围为 ， 故答案为：18； . 【分析】根据题意选择合适的函数解析式，代入数值计算出函数的值；然后由一次函数和指数函数的单调性求出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。 35.【答案】 【解析】【解答】解： 函数 存在反函数 ，且函数 的图象过点 ，，，当 时， 函数 的图象一定过点 故答案为： ． 【分析】 根据函数y=f(x)存在反函数， 且函数y=2x-f(x)的图象过点(2，3)可得f(2)=1，再根据反函数与原函数的关系可求出f1(1)=2，从而求出函数的图象一定经过的定点. 36.【答案】 【解析】【解答】由题意得， . 故答案为： . 【分析】利用分段函数的解析式结合代入法，从而求出函数值，进而求出函数值的和。 四、解答题 37.【答案】 （1）恰有两个不相同的实根 ， 恰有两个不相同的实根， ①当 即 时， ， 则 有两个不相同的实根，故 解得 ； ②当 即 时，当 时原方程等价 ， 恒成立， 故在 有一根， 当 时，原方程等价于 ， 恒成立，故在 上有一根，故 满足题意； 综上所述， ． （2）当 时， ， ，此时 ，不合题意； 当 时， ， ， ，符合题意； 当 时，由（1）可知 ， ，故 ， ， 所以不存在a使得 成立. 当 时，由（1）可知 ， 故 ， ， 故 ，则 成立， 故 ∵ ，∴ ，∴ ， 因为 ，所以舍去. 综上所述，当 时， 成立． 【解析】【分析】 (1)根据题意将问题转化为方程有两个不同的实数根，分， 两种情况，去掉绝对值，然后转化为一元二次方程根的问题进行分析求解，即可得到答案； (Ⅱ)先判断a=0不符合题意，当时符合题意，再求解以及V2一时，使得成立的关系，由此即可得到答案. 38.【答案】 （1）， 即 ，化简 ． （2）当 时， 为对称轴 开口向上的抛物线，在 单调递增，所以 ， 当 时， ，当且仅当 即 取等号， 综上所述，当 时，单株利润最大，为380元． 【解析】【分析】 (1)用销售额减去成本，即可得出利润f(x)的解析式. (2)根据(1)的解析式，再结合二次函数的单调性，以及基本不等式的公式，即可求解. 39.【答案】 （1）因为函数 为奇函数， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 可得 ，函数 . （2）由（1）知 所以 在 上单调递减. 由 ，得 ， 因为函数 是奇函数， 所以 ， 所以 ，整理得 ， 设 ， ， 则 ， 当 时， 有最大值，最大值为 . 所以 ，即 . 【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的定义整理化简计算出n的值，由此得出函数的解析式。 (2)由(1)的结论整理化简，然后由指数函数的单调性即可得出函数的单调性，再由对数的运算性质以及奇函数的性质即可得出不等式， 构造函数， 由一元二次方程的性质即可得出函数的最大值，由此即可得出a的取值范围。 40.【答案】 （1）解：因为f（x）= 所以 即切线方程为；y+1=2x 2x-y-1=0为所求 （2）解：欲证： 只需证： 即证 又a≥1，则证： 令h（x）= 所以 又 所以 在 即 所以 0恒成立 即原命题成立. 【解析】【分析】（1）切线定义：求导;（2）导数的应用，将不等式变形，再构建函数. 41.【答案】 （1）解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，当a=0时，f′（x）=2ex﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ），令f′（x）=0，解得：x=ln ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln ，∴x∈（﹣∞，ln ）时，f（x）单调递减，x∈（ln ，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， ②a＞0时，由（1）可知，当x=-lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（-lna）=1--ln， 当a=1时，f（-lna）=0，故f（x）只有一个零点， 当a∈（1，+∞）时，有1--ln＞0，即f（-lna）＞0 故f（x）没有零点 当a∈（0，1）时,1--ln＜0，f（-lna）＜0 有f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2＞-2e-2+2＞0 故f（x）在（-∞，-lna）有一个零点 假设存在正整数n0 ， 满足n0＞ln（），则f（n0）=＞＞0 有ln（）＞-lna 因此在（-lna，+∞）有一个零点 ∴a的取值范围是（0,1）. 【解析】【分析】（1.）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； （2.）由（1）可知：当a＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围． 42.【答案】 解：（1）由题设，需f(0)==0，∴a=1， ∴f(x)=， 经验证，f（x） 为奇函数，∴a=1． （2）减函数 证明：任取x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， △x=x2﹣x1＞0， f（x2）﹣f（x1）=﹣=， ∵x1＜x2 ∴0＜＜； ∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0 ∴f（x2）﹣f（x1）＜0 ∴该函数在定义域R 上是减函数． （3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）， ∵f（x） 是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）， 由（2）知，f（x） 是减函数 ∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2 ， 即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立， ∴△=4+12k＜0，得k<即为所求． （4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0 由（3）知，4x﹣b=2x+1 ， 即方程b=4x﹣2x+1 有解 ∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞） 时函数存在零点． 【解析】【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值； （2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论； （3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解； （4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围． 43.【答案】 （1）由题知生产x千件的总成本为 千元，故一件的平均成本为 元， ∴ 当 时， 单调递减，故最小值为 ， 当 时， ，故最小值为 ， 所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元. （2）由（1）知，要使 只需考虑 ，即 ， 整理得 ，解得 ， 所以，当 时，生产一件A产品的平均成本不超过66元. 【解析】【分析】（1）根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，再由一次函数和二次函数的图象和性质即可求出函数的值域，从而得出答案。 (2)由（1)结论结合一元二次不等式的解法求接触不等式的解集即可。 44.【答案】 （1）， ， 由题知 有两个零点 ， ，设 ，则 ， 若 则 恒成立，∴ 在 上单增， 有唯一零点，不合题意，舍去； 若 则 在 上单减，在 上单增，又 时 且 ， 故当且仅当 即 时， 有两个零点 ， ，此时 在 和 上单增，在 上单减， 为极大值点， 为极小值点，符合题意； 综上， 或 ； （2）由（1）知，当 即 时， ， ，故 ，符合题意； 当 即 时， ， 且 ，∴ ， 即 ，化简得 ，∴ ， 令 ，则 ，令 ，当 时， ， ∴ 单增，故 即 ，∴ 在 上单增， 又 ， ，∴ ， 综上， 或 . 【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导令， 构造函数结合导函数的性质即可得出a在不同范围内，函数零点的个数由此得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值，从而得出a的取值范围。 (2)由(1)的结论结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由已知条件得出构造函数， 结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由已知条件即可得出a的取值范围。 45.【答案】 （1）， ， 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单减，在 上单增； （2）设切点横坐标为 ，则切线方程为 ，代入 得 ，即 ，由题知此关于 的方程 在 内恰有两个解， 令 ，则 ，∴ 在 上单增，在 上单减， 又 ，当 时， ，且 ，故当 时，方程 有两个解，所以 ，A的取值范围为 . 【解析】【分析】(1)首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性。 (2)由(1)的导函数把点的坐标代入计算出切线的线路，结合点斜式求出直线的方程，构造函数 ， 结合导函数的性质得出函数的单调性，由已知条件当 时，方程 有两个解 ，从而得出a的取值范围。 46.【答案】 （1）当 时， ，所以 ，所以函数 是奇函数； 当 时， ， ，因此 ，且 ， 所以函数 是非奇非偶函数； （2）①当 时， 可化为 ，即 ； ②当 时，（i）若 ，则 ，解得 或 （舍）； （ii）若 ，则 ，无解；故不等式的解集为 ； ③当 时，（i）若 ，则 ，解得 （舍）或 ； （ii）若 ，则 ，无解；故不等式的解集为 ； 综上所述：当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ； （3）， ①当 时， 在定义域内单调递增，故 只有一个实数根，故不合题意舍去， ②当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增；且 ，故只需满足 ，解得 或 ；故 . ③当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增；且 ，故不可能有三个实数根； 综上所述：实数a的取值范围为 . 【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的定义，对a分情况讨论即可得出不同情况下函数的奇偶性。 (2)由已知条件对a分情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解出a的取值范围，从而得出函数的定义域。 (3)根据题意由a的不同取值范围，结合二次函数的图象和性质即可得出a的取值范围。 47.【答案】 （1）∵ 是定义在 上的偶函数. ∴ ，即 ， 故 . 函数 ， 因为 . 所以 满足题意. （2）依题意，令 ， 则有 ，得 ， 令 ，则 ， 解得 ， . 即 ， . ∴函数 有两个零点，分别为 和 . 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出a的值。 （2） 在（1）的条件下，若 ，从而求出函数g(x)的解析式，再利用换元法结合函数零点的求解方法，从而求出函数g(x)的零点。 48.【答案】 （1）解： ; 因为 的最小正周期 ，所以 ， 故 . 令 ， ， 得 ， ， 所以 的单调递增区间为 ， . （2）由题意可得 . 方程 在 上根的个数，即方程 的根的个数. 结合 和 的图像，如图所示： 因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， 所以结合图像可知函数 在 上有4个零点， 即方程 在 上根的个数为4. 【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而求出正弦型函数的解析式，再结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递增区间。 （2） 由题意结合正弦型函数f(x)的图象变换，可得函数g(x)的图象，进而求出函数g(x)的解析式，再利用方程 在 上根的个数得出方程 的根的个数，再结合 和 的图像，再利用函数 的单调性且 ， ，再结合图像可知函数 在 上有4个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，从而求出方程 在 上根的个数。 49.【答案】 （1）设切点 ，则 . 因为 ，所以 ， 所以切线方程为 ， 将点 代入，得 . 令 ，则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ，所以 ，所以切点为 ，k=0，故所求切线方程为 . （2）因为 ，所以 . 设 ， . 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 所以 ，即 ……（※）， 所以 . 因为 在 上单调递增，且 ， 所以存在唯一的 ，使得 ，即 . 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. 所以当 时， 取得最小值，且 . 由（※）可知， ，x=1时取“=”，则 ，所以 ，由（※）可知， ， 所以 ，则 ， 于是要使 有唯一的零点，则 ，即 ， 所以 . 设 ，则 在 上单调递减. 因为 ， ， 所以 ，即 . 【解析】【分析】(1) 设切点 ， 利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式设出曲线在切点处的切线方程，再结合代入法求出切点的横坐标，进而求出过点 与曲线 相切的切线方程 。 （2） 利用 结合求导的方法求出其导函数，所以 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即 ， 进而判断出函数h(x)的单调性，从而得出当 时， 取得最小值，且 ，再利用零点存在性定理得出，要使 有唯一的零点，则 ，即 ，所以 ，设 ，再利用减函数的定义得出函数 在 上单调递减，再利用 ， ，所以 ，从而证出 。 50.【答案】 （1）解：当 时， ， 不等式 ，即 ， 所以 ， 解得 ， 即所求不等式的解集为 . （2）当 时， ， 因为 在 上有解，所以 在 上有解， 令 ， 因为 ， 在 上均为增函数，所以 在 上是增函数， 因为 在 上的值域为 ， 所以 的取值范围是 . 【解析】【分析】（1）利用t的值求出函数的解析式，再利用对数型函数的定义域结合对数型函数的单调性，从而结合交集的运算法则，进而求出不等式 的解集。 （2） 当 时，从而求出函数的解析式，即 ，再利用 在 上有解，所以 在 上有解，令 ，再利用单调函数的定义，得出 ， 在 上均为增函数，所以 在 上是增函数，从而结合函数的单调性，进而求出函数 在 上的值域 ，从而求出实数 的取值范围。
