陕西省渭南市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x+1＞0}，那么A∩B=( )
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．（﹣1，+∞） D． C．（3，+∞） D．时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，则a的取值范围是( )
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．已知x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为__________．
14．已知函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2015=__________．
15．观察下列不等式：
①＜1；②；③；…则第5个不等式为__________．
16．下列命题中：
①“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件；
②已知命题P：存在x∈R，lgx=0；命题Q：对任意x∈R，2x＞0，则P且Q为真命题；
③平行于同一直线的两个平面平行；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本中心点为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08
其中正确命题的序号为__________．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）﹣1
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=，f（c）=0，且满足sinB=3sinA，
求a，b的值．
18．在四棱锥PABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点且满足=2，试求平面EBD与平面PBD夹角θ的余弦值．
19．已知椭圆C：，（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
（Ⅰ）求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在曲线x2+2y=2上，求m的值．
20．如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售请客的某项指标统计：
（1）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了3次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的分布列及数学期望．
21．已知函数．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．
四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且++=m，求Z=a+2b+3c的最小值．
陕西省渭南市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x+1＞0}，那么A∩B=( )
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．（﹣1，+∞） D．
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的含x7的项的系数．
解答： 解：二项式（x2﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，
令10﹣3r=7，求得r=1，故含x7的项的系数为﹣5，
故选：C．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
8．某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )
A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．性检验 D．概率
考点：性检验的应用．
专题：应用题；概率与统计．
分析：这是一个性检验应用题，处理本题时要注意根据在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案
解答： 解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，
可得：K2==83.88＞10.828，
故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系，
故利用性检验的方法最有说服力．
故选：C．
点评：本题考查性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是
( )
A．（1，3） B．（1，3] C．（3，+∞） D．时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，则a的取值范围是( )
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，）
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：由题意可求得f（1）=0，从而函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点可化为函数y=f（x）与y=loga（x+1）在（0，+∞）上有三个不同的交点，从而由图象解出a的取值范围．
解答： 解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
∴f（1）=f（﹣1）﹣f（1），
又∵f（x）是偶函数，
∴f（1）=0，
函数f（x）是以2为周期的偶函数，
函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点可化为
函数y=f（x）与y=loga（x+1）在（0，+∞）上有三个不同的交点，
作函数y=f（x）与y=loga（x+1）的图象如下，
结合函数图象知，
，
解得，＜a＜；
故选D．
点评：本题考查了函数的图象的作法与函数的零点的求法，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．已知x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣4．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
解答： 解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点A（0，2）时，直线y=的截距最大，此时z最小，
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
14．已知函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2015=．
考点：数列的求和．
分析：由于函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点为（2，3），可得a2=2，a3=3，利用等差数列的通项公式可得：an=n，bn==，
再利用“裂项求和”即可得出．
解答： 解：函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点为（2，3），
∴a2=2，a3=3，
∴等差数列{an}的公差d=3﹣2=1，
∴an=a2+（n﹣2）d=2+n﹣2=n，
∴bn==，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=+…+=．
∴T2015=．
故答案为：．
点评：本题考查了对数函数的性质、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．观察下列不等式：
①＜1；②；③；…则第5个不等式为．
考点：归纳推理；进行简单的合情推理．
专题：压轴题；规律型．
分析：前3个不等式有这样的特点，第一个不等式含1项，第二个不等式含2项，第三个不等式含3项，且每一项的分子都是1，分母都含有根式，根号内数字的规律是2；2，6；2，12；由此可知，第n个不等式左边应含有n项，每一项分子都是1，分母中根号内的数的差构成等差数列，不等式的右边应是根号内的序号数．
解答： 解：由①＜1；
②+；
③；
归纳可知第四个不等式应为；
第五个不等式应为．
故答案为．
点评：本题考查了合情推理中的归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理．是基础题．
16．下列命题中：
①“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件；
②已知命题P：存在x∈R，lgx=0；命题Q：对任意x∈R，2x＞0，则P且Q为真命题；
③平行于同一直线的两个平面平行；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本中心点为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08
其中正确命题的序号为①②④．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：直接由充分必要条件的判断方法判断①；先判断命题P、q的真假，再由复合命题的真值表判断②；由线面平行的关系判断③，由回归直线的斜率的估计值和样本中心点的坐标求出回归直线方程判断④．
解答： 解：对于①，由α=2kπ+（k∈Z），得tanα=，反之，由tanα=，得α=kπ+（k∈Z），
∴“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件，①正确；
对于②，∵lg1=0，∴命题P：存在x∈R，lgx=0为真命题，由指数函数的值域为（0，+∞），得命题Q：对任意x∈R，2x＞0为真命题．
则P且Q为真命题，②正确；
对于③，平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交，③错误；
对于④，已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本中心点为（4，5），∴a=5﹣1.23×4=0.08，
则回归直线方程为=1.23x+0.08，④正确．
∴正确命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了空间中的线面关系，明确回归直线必过样本中心点是判断④的关键，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）﹣1
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=，f（c）=0，且满足sinB=3sinA，
求a，b的值．
考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）函数f（x）=sin（2x﹣）﹣1，利用三角函数的图象与性质即可得出；
（II）由f（C）=0，可得﹣1=0，解得C=，再利用余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，由sinB=3sinA，利用正弦定理可得．
解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x﹣）﹣1，
当=（k∈Z）时，
即x=kπ﹣时，f（x）取最小值﹣2，
最小正周期T==π；
（II）由f（C）=0，可得﹣1=0，解得C=，
由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴7=a2+b2﹣ab，
∵sinB=3sinA，b=3a，
联立，解得．
点评：本题考查了三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．在四棱锥PABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点且满足=2，试求平面EBD与平面PBD夹角θ的余弦值．
考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）根据题意PD⊥AD，由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PDB．
（2）=2，设平面的EBD法向量=（x，y，z），由•=0，由•=0，求解得出=（1，﹣1，2），运用向量数量积cos=|．
解答： （1）证明：平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，如图，以D为原点距离坐标系Dxyz，
设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
=（2，2，0），=（﹣2，2，0），
所以=0，BC⊥DB，
由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
所以BC⊥平面PDB．
（2）平面PBD的法向量为=（﹣2，2，0），=（0，4，﹣2），
∴=2，
所以E（0，2，1），
设平面的EBD法向量=（x，y，z）
=（2，2，0），=（0，2，1），
由•=0，由•=0，得，
可取=（1，﹣1，2），
∴cos=|=．
点评：本题考查了空间向量在判断垂直问题中的应用，转化好直线与直线，平面与平面的垂直问题，利用向量求夹角问题，难度不大，属于中档题．
19．已知椭圆C：，（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
（Ⅰ）求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在曲线x2+2y=2上，求m的值．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）首先，根据椭圆的离心率和左焦点坐标，可以确定a=2，b=2，从而确定其椭圆的标准方程；
（Ⅱ）首先，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），然后，联立方程组，利用韦达定理，建立等式，求解即可．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得，=，c=2，解得：a=2，b=2，
所以椭圆C的方程为：+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由△=96﹣8m2＞0，解得﹣2＜m＜2，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
因为点M（x0，y0）在曲线x2+2y=2上，
所以，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．
20．如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售请客的某项指标统计：
（1）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了3次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）先根据茎叶图写出甲乙连锁店各自的数据，容易求得这两组数据的平均数都为8，从而可带入求方差的公式求出甲乙连锁店这项指标的方差，方差小的便稳定性好；
（2）先求出从甲乙两种数据中各随机选一个，甲的数据大于乙的数据的概率为，这种选取方式是有放回的选取，从而便知道X服从二项分布B（3，），X可取0，1，2，3，求出每个数对应的概率从而列出X的分布列，根据二项分布的数学期望公式即可求出E（X）．
解答： 解：（1）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6，7，9，10；
乙连锁店的数据是5，7，10，10；
∴甲乙数据的平均值为8，设甲的方差为，乙的方差为，则：
，；
∵；
∴甲连锁店该项指标稳定；
（2）从甲乙两种数据中各随机选一个，甲的数据大于乙的数据的概率为；
由已知X服从B（3，）；
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望E（X）=3×．
点评：考查方差的概念及计算公式，方差的大小和稳定性的关系，古典概型的求解方法，二项分布的概念及它的数学期望的求解公式，以及离散型随机变量X的分布列的概念．
21．已知函数．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f（0），求出f′（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．
解答： 解：当a=1时，，则．
又f（0）=，，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣2（x﹣0），即y=﹣2x﹣1；
（2）由函数，得：．
当a=0时，，
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f′（x）=0，即ax﹣（a+1）=0，解得，
当a＞0时，，
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
x （﹣∞，1） 1
f′（x） ﹣ 无定义 ﹣ 0 +
f（x） 减函数 减函数 极小值 增函数
所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，），
单调递增区间为，
当a＜0时，，
所以所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
x 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 无定义 ﹣
f（x） 增函数 极大值 减函数 减函数
所以f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为，（1，+∞）．
点评：本题考查了利用导数求曲线上的某点的切线方程，考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，解答此题时，最后下结论的时候学生容易出错，误把函数的减区间取并集．此题是中档题．
四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：直线与圆．
分析：（1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．
（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=．
解答： （1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，
∴AE∥BC，
∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．
（2）解：∵AE与圆相切于点A，
∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），
解得EB=4，
根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，
设CF=x，由BD∥AC，得，
∴，解得x=，
∴CF=．
点评：本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：直线与圆；坐标系和参数方程．
分析：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到圆的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t的几何意义，即可求得|PA|+|PB|．
解答： 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
圆C的极坐标方程为ρ=2，即为
x2+y2=2y，即为x2+（y﹣）2=5；
（2）将l的参数方程代入圆的方程可得，
（3﹣t）2+（t）2=5，
即有t2﹣3t+4=0，
判别式为18﹣16=2＞0，设t1，t2为方程的两实根，
即有t1+t2=3，t1t2=4，
则t1，t2均为正数，
又直线l经过点（3，），
由t的几何意义可得，
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．
点评：本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题．
四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且++=m，求Z=a+2b+3c的最小值．
考点：柯西不等式；绝对值不等式的解法．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：（1）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，即可求m的值；
（2）通过a，b，c∈R+，且++=m，直接利用柯西不等式，求出Z=a+2b+3c的最小值．
解答： 解：（1）因为f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|﹣m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为，故m=1．…
（2）由（1）知++=1，又a，b，c∈R+，由柯西不等式得
Z=a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）≥（++）2=9．
∴Z=a+2b+3c 的最小值为9 …．
点评：本题考查绝对值不等式的解法解法，柯西不等式求解表达式的最值，考查转化思想与计算能力．下载本文
