一．选择题（共2小题）
1．（2003•黑龙江）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ ）
| A． | 2个 | B． | 3个 | C． | 4个 | D． | 5个 |
2．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
| A． | SAS | B． | ASA | C． | AAS | D． | SSS |
二．填空题（共4小题）
3．（2005•黑龙江）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC等于 _________ 度．
4．（2011•黑龙江）已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 _________ ．
5．（2011•黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 _________ ．
6．如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 _________ ，四边形AnBnCnDn的面积 _________ ．
三．解答题（共3小题）
7．（2008•齐齐哈尔）一底角为60°的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
8．（2007•牡丹江）九年级一班的两位学生对本班的一次数学成绩（分数取整数，满分为100分）进行了一次初步统计，看到80分以上（含80分）有17人，但没有满分，也没有低于30分的．为更清楚了解本班的考试情况，他们分别用两种方式进行了统计分析，如图1和图2所示．请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）班级共有多少名学生参加了考试；
（2）填上两个图中三个空缺的部分；
（3）问85分到分的学生有多少人？
9．（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG= _________ （AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）
（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 _________ ．
参与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2003•黑龙江）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ ）
| A． | 2个 | B． | 3个 | C． | 4个 | D． | 5个 |
| 分析： | 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，当OP⊥AB时OP有最小值，连接OA，过O作OD⊥AB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OD为3， 所以得到当OP⊥AB时P的最小值为3，当OP与OA重合时P最大为5，这样就可以判定P在AD之间和在BD之间的整数点，然后即可得到结论． |
| 解答： | 解：如图，连接OA，过O作OD⊥AB于D， ∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm， 当OP⊥AB时OP有最小值， 则AD=AB=4cm， 由勾股定理得OD===3cm， ∴当OP⊥AB时OP的最小值为3， 当OP与OA重合时P最大为5， ∴P在AD中间有3，4，5三个整数点， 在BD之间有4，5，两个整数点， 故P在AB上有5个整数点． 故选D． |
| 点评： | 此题属简单题目，涉及到垂径定理及勾股定理的运用，要求学生仔细阅读题目，充分理解题意，细心解答． |
2．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
| A． | SAS | B． | ASA | C． | AAS | D． | SSS |
| 分析： | 认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得． |
| 解答： | 解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD； 以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP； OP公共． 故得△OCP≌△ODP的根据是SSS． 故选D． |
| 点评： | 考查了三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．做题时从作法中找有用的已知条件是正确解答本题的关键． |
二．填空题（共4小题）
3．（2005•黑龙江）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC等于 50或130 度．
| 考点： | 三角形内角和定理；多边形内角与外角．2611678 |
| 专题： | 分类讨论． |
| 分析： | 根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理．分∠BAC与这个50°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个50°的角不在一个四边形内两种情况讨论． |
| 解答： | 解：若∠BAC与这个50°的角在一个四边形BCDE内， 因为BD、CE是△ABC的高， ∴∠AEB=∠ADC=90°， ∴∠BAE=50°， ∴∠BAC=130°； 若∠BAC与这个50°的角不在一个四边形BCDE内， 因为BD、CE是△ABC的高， 如图：∠BAC=180°﹣（180°﹣50°）=50°， 所以∠BAC等于50度． |
| 点评： | 本题考查四边形内角和定理及三角形的内角和定理．解答的关键是考虑高在三角形内和三角形外两种情况． |
4．（2011•黑龙江）已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 或 ．
| 分析： | 先确定等腰三角形的腰长，分两种情况讨论，当边长为5和边长为8时，作底边的高，构成直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解． |
| 解答： | 解：（1）当等腰三角形ABC的腰长为5，底边长8时， 作底边BC的高AD，则BD=CD=4， 在Rt△ADB中， ∴cos∠B==； （2）当等腰三角形ABC的腰长为8，底边长5时， 作底边BC的高AD，则BD=CD=， 在Rt△ADB中， ∴cos∠B==． 故答案为或． |
| 点评： | 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义，此题综合性较强，难度适中，易于掌握． |
5．（2011•黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 （或或，只要答案正确即可） ．
| 分析： | 根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的 ，即a2；推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=． |
| 解答： | 解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴A1B1∥AC，A1B1=AC． ∴△BA1B1∽△BAC． ∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ． 又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积是16． 推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=． 故答案为（或或，只要答案正确即可）． |
| 点评： | 此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． |
6．如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积 ．
| 分析： | 由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，故矩形A1B1C1D1的面积为6，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，以此类推可得四边形A3B3C3D3的面积； 由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为 12×． |
| 解答： | 解：点A1，D1分别是AB、AD的中点， ∴A1D1是△ABD的中位线 ∴A1D1∥BD，A1D1=BD， 同理：B1C1∥BD，B1C1=BD ∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形． ∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1， ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90° ∴四边形A1B1C1D1是矩形； 由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2， 得：四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3； ∴四边形A3B3C3D3的面积=． 由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 故四边形AnBnCnDn的面积为：12×． |
| 点评： | 本题考查了矩形的性质和判定，以及三角形的中位线的性质，处理此类问题，要灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决有关线段和面积等有关的问题． |
三．解答题（共3小题）
7．（2008•齐齐哈尔）一底角为60°的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
| 分析： | 如图，当以AB为一边时，所作三角形是△ABE；当以BC为边时有两种情况，分别是CF=15，BE=15．它们所组成的三角形都是直角三角形，面积容易求出． |
| 解答： | 解：①以AB为一边，当BE=15cm时，AB=10，AB边上的高是BC=10 ∴S△ABE=×10×10=50cm2； ②当CF=15cm时， ∵∠D=60°， ∴梯形的高BC=， ∴CD=10+． ∵＞1.7， ∴CD＞15.61＞15， ∴F点可以落在下底CD上． ∴S△BCF=1/2×15×10=75cm2．BC=10，S△BCF=×15×10=75cm2； ③当BE=15cm时，CE===5， ∴S△BCE=25cm2．（每种情况，图给（1分），计算结果正确（1分），共6分） |
（1）班级共有多少名学生参加了考试；
（2）填上两个图中三个空缺的部分；
（3）问85分到分的学生有多少人？
| 分析： | 解决本题需要从由统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比． |
| 解答： | 解：（1）（2+3+5）÷20%=50（人）； （2）如图所示． （3）85～100分：1﹣20%﹣62%=18%， 所以，含有18%×50=9（人）， 又90～100有17﹣11=6（人）， 则85分至分的有9﹣6=3（人）． |
即：FG= （AB+BC+AC）（直接写出结果即可）
（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 GF=（AC+BC﹣AB） ．
| 分析： | （1）延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，根据AF⊥BD，AG⊥CE，求证△AGC≌Rt△CGN，可得AC=CN，AG=NG，同理可证：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位线即可． （2）根据GF是△AMN的中位线，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代换即可． （3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，即可求得GF=（AC+BC﹣AB） |
| 解答： | （1）FG=（AB+BC+AC）； （2）答：FG=（AB+AC﹣BC）； 证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M ∵AF⊥BD，AG⊥CE， ∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90° 在Rt△AGC和Rt△CGN中 ∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG ∴Rt△AGC≌Rt△CGN ∴AC=CN，AG=NG 同理可证：AF=FM，AB=BM． ∴GF是△AMN的中位线 ∴GF=MN． ∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM ∴AB+AC﹣BC=MN ∴GF=MN=（AB+AC﹣BC）； （3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC﹣AB）． |
| 点评： | 此题主要考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质等知识点，有一定的拔高难度，是一道典型的题目 |
