解答立体几何问题的五大数学思想方法

学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考．

１　割补思想

分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题．

例１　如图１，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）．

解析 　本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公式，故需要考虑割补．

解　如图１，作垂直于，垂足分别为，连结，由，则有垂直于．由图形的对称性，，知，由，，，得．故所求体积为，选．

例２　表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（　　）．

解析　将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱长为１，则正方体底面对角线长为２，正方体棱长为，即为正八面体外接球的直径，故球的体积为，选．

２　分类讨论思想

若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答．

例３　如图２，在直三棱柱中，，，，分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为              ．

解析　分别将沿折到平面上；将沿折到平面上；将沿折到平面上；将沿折到平面上，比较其中长即可．结果为．

３　等价转化思想

一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答．

３．１　求距离的转化

点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化．

例４　如图３，正方体的棱长为１，是底面的中心，则到平面的距离为（　　）．

解析　若直接过点作平面的垂线求距离，则难以操作．但若借助“过与平面平行的直线上每个点到平面的距离相等”，如图４，点分别是棱的中点，易知过点且与平面平行，于是，只需求点到平面的距离，又可得所求为的，即．

３．２　求角的转化

求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答．

例５ 如图５，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．求直线与平面所成角的大小．

   解析　若直接求直线与平面所成的角，不易操作，但若根据，则可转化为求与平面所成的角． ，，取的中点，连结，则，作于，连结，则平面，所以是与平面所成的角．又，所以与平面所成的角的大小等于，在中，，所以与平面所成角的大小为．

例６　（１）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则．

（２）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则　　　　．

解析　对（１），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为，求．如图６，设两两垂直且相等，作平面，则与三个侧面成角相等，连结并延长交于，连结，则，于是，设，则，，即．

对（２），类似可知，一组平行直线与同一平面所成的角相等，则问题可转化为如图６所示的与平面所成角的正弦，易知为．

３．３　求最值的转化

一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化．

例７　如图７，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为                ．

解析　问题转化为将三棱柱的侧面沿剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图８所示，易得所求为．    

３．４求体积的转化

一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解．

例８　如图９，在体积为1的三棱锥侧棱上分别取点， 使，记为三平面的交点，则三棱锥的体积等于（    ）．

解析 　如图１０，设，，则连结的交点为，设到平面的距离为，则由，可知点到平面的距离为；又由，故到平面的距离为；又由，故到平面的距离为．三棱锥的体积为１，故三棱锥的体积等于．选．

评注　本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化．

４　向量法

借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目．

例９　已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点．

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小．

解析　根据题目特征，注意到两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答．

解　因为，，，以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，．

（Ⅰ）证明：因，，故，所以．由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面．又在面上，故面⊥面．

（Ⅱ）解：因故，所以，即与所成的角为．

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使．要使，只需，即，解得．可知当时，点坐标为，能使．此时，，有．由，得，所以为所求二面角的平面角．

．，故所求的二面角为．

５　极端化方法

一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决．

例１０　若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（　　）．

三棱锥　　四棱锥　　五棱锥　　六棱锥

解析　对于正六棱锥，当其高趋近于０时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选．

借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围．下载本文