一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}
2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（ ）
A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i
3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）若数列{an}满足{a1}=2，{an+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．
7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为 （ ）
A．4 B． C．2 D．
8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．（﹣∞，1]
9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．
12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为，则n= ；展开式中的常数项为 ．
13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是 ．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 ．
14．（6分）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．（4分）设数列{an}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017= ．
17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程
18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．
19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E
（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
20．已知函数．
（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．
21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．
22．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*）
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；
（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）
参与试题解析
一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}
【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，
={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，
则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，
C={x|x=2n，n∈N}，
可得（A∪B）∩C={0，2，4}，
故选C．
2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（ ）
A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i
【解答】解：由，
得x+yi==2+i，
∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．
故选：A．
3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，
其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，
则其焦点到渐近线的距离d==1；
故选：A．
4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设f（x）=x|x|=，
由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，
则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，
即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，
故选：C．
5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，
∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
6．（4分）若数列{an}满足{a1}=2，{an+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．
【解答】解：∵数列，
∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．
∴an+4=an，a1a2a3a4=1．
∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．
故选：C．
7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为 （ ）
A．4 B． C．2 D．
【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．
又B（2，2，0），G（0，2，a），
∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），
∴=（x﹣2）x+4+=0，
显然x≠0且x≠2，
∴a2=，
∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，
∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，
∴a的最小值为2．
故选D．
8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．（﹣∞，1]
【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，
∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，
∴（﹣∞，0]⊆A，
∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，
又h（0）=1，
∴实数a需要满足a≤0或，
解得a≤1．
∴实数a的范围是（﹣∞，1]，
故选：D．
9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ξ服从二项分布，
∴E（ξ）=5×=，
∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．
故选D．
10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：；
∵f（x）在R上存在极值；
∴f′（x）=0有两个不同实数根；
∴；
即，；
∴；
∴；
∴与夹角的取值范围为．
故选B．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 7+ ．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，
则该几何体的体积为；
表面积为=．
故答案为：；．
12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为，则n= 6 ；展开式中的常数项为 15 ．
【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=，
解得n=6，
则其通项公式为C6rx，
令6﹣3r=0，解得r=2，
则展开式中的常数项为C62=15
故答案为：6，15
13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是 ．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 ．
【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为 ×=．
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为 ×=，
故答案为：；．
14．（6分）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ﹣1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ≤a＜1或a≥2 ．
【解答】解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，] ．
【解答】解：由约束条件作可行域如图
联立 ，解得C（1， ）．
联立 ，解得B（2，1）．
在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．
由ax+y≤4得y≤﹣ax+4
要使ax+y≤4恒成立，
则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，
若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，
若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，
若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，
则只要B在直线的下方即可，
即2a+1≤4，得0＜a≤．
综上a≤
∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
16．（4分）设数列{an}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017= ．
【解答】解：对任意的n∈N*，满足an+2﹣an≤2n，an+4﹣an≥5×2n，
∴an+4﹣an+2≤2n+2，
∴5×2n≤an+4﹣an+2+an+2﹣an≤2n+2+2n=5×2n，
∴an+4﹣an=5×2n，
∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+…+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+…+2）+=5×+=，
故答案为：
17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是 a≥ ．
【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，
不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，
当a＞0时，f（x）≥=1﹣，
f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，
解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，
故a≥，
当a＜0时，f（x）≤=1﹣，
不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，
综上可得：a≥
故答案为：a≥
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程
18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．
【解答】解：由，…（2分）
（1）周期为T=π，…（3分）
因为，…（4分）
所以，
∴函数的单减区间为；…（6分）
（2）因为，所以；…（7分）
所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）
又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）
解得：a=1，b=2，
∴a，b的值1，2．…（12分）
19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E
（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】（I）证明：连接AE，
∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，
又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，
∴BD⊥平面ACE，
又AC⊂平面ACE，
∴BD⊥AC．
（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，
∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，
∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，
∴CE⊥AD，又AD⊥EF，
∴AD⊥平面CEF，
∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，
∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，
∴BE=1，AE=CE=，DE=，
∴AD==，EF==，CF==，
∴cos∠CFE==．
∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．
20．已知函数．
（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，
∴，∴，f'（1）=0；
∴函教 f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．
（Ⅱ）由题知，函数 f（x）的定义域为（0，+∞），，
令 f（x）=0，解得 x1=1，x2=a﹣1，
①当 a＞2时，所以 a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上 f（x）＞0；
在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，
故函数 f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．
②当 a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数 f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；
在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，
故函数 f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）
④当 a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，
函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）
⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
单调递减区间是（0，1），
综上，①a＞2时函数 f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；
②a=2时，函数 f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
③当0＜a＜2时，函数 f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；
④当0＜a≤1时，函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）
由得：y2﹣4my﹣4n=0，
∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．
∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，
∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．
解得：n=2．
∴l：x=my+2，
∴直线l恒过定点（2，0）．
（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，
∴=2，
整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①
由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n
∴•≤﹣8，
即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．
22．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*）
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；
（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）
【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，
a3=++=3+6+6=15，
a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=，
a5=++++=5+20+60+120+120=325；
（2）an=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!
=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]
=n+nan﹣1；
（3）证明：由（2）可知=，
所以（1+）（1+）…（1+）=•…
==+++…+=+++…+
=+++…+≤1+1+++…+
=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．
所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．
