数学

（清华附中初11级） 2013．7

一、选择题：（每题3分，共24分）

1．与是同类二次根式的是（    ）

A．     B．     C．    D．  

2．下面计算正确的是（    ） 

A．    B．    C．   D． 

3．一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且对角线的长度为8cm，则较短边的长度为（    ）

    A．8cm     B． 6cm     C．4cm      D． 2cm

4．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ）

         A．          B．          C．          D．

5．下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　）

A．         B．

C．    D．

6．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是（    ）

A．梯形    B．矩形    C．菱形    D．正方形

7．关于x的方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．       C．          D．

8．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，

DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列结论 ：

①；② ；

③S四边形AEDF=AD·EF；④ AD≥EF；

⑤ AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个     

数是   （     )                                                                           

A．1个      B．2个       C．3个       D．4个     

二、填空题：（每题3分，共24分）

9．中x的取值范围是            ．

10．化简：＝            ．

11．关于x的方程的一个根为1，则m的值为        ．

12．若关于x的方程有两个相等的实数根，则 __________．

13．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是        。

14．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为                ．

15．如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的F点，则F、C两点间的距离为           ．

第13题图            第14题图              第15题图

16．如图，在直角坐标系中，正方形A1B1C1O、 A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn-1的顶点A1、A2、A3、…、An均在直线y＝kx＋b上，顶点C1、C2、C3、…、Cn在x轴上，若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），那么点A4的坐标为         ，点An的坐标为         ．

三、解答题：（17～20，23题每题5分，21，22每题6分，24题7分，25题8分，共52分，如无特别说明，解答题中的填空均直接写答案）

17．解方程： 

18．计算：

19．已知：a = ，求的值．

20．求证：a取任何实数时，关于x的方程总有实数根．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，

且AC︰BD=2︰3．(1) 求AC的长；  (2) 求△AOD的面积．

22．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园的面积为300m2．

23．5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此种做法解决下列问题：

（1）5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图3，在面积为1的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．则平行四边形MNPQ的面积为__________（在图3中画图说明）．

24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）证明：△ABM≌△EBN

（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，则正方形的边长为        ．

25．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分EF线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t＝         ．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为       ．

附加题(每题4分，共20分)

26．若2，m，4为三角形三边，化简：＝          ．

27．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是         ．

28．设，若 ，则＝            ．

29．关于x的方程有两个整数根，则整数k＝           ．

30．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝2，连接EP，当θ=       °时，EP长度最大，最大值为      ．

初二第二学期期末试卷数学答题纸

一、选择题：（每题3分，共24分）

17．

18．

19．

20．

21．

22．

23．

（1）

（2）平行四边形MNPQ的面积为         

24．

（1）

（2）

（3）正方形的边长为        ．

25．

（1）

（2）

①t＝             ．②a与b满足的数量关系式为               ．

附加题(每题4分，共20分)

二、选择题：（每题3分，共24分）

17．解：                                 ……3分

                                 ……5分

18．解：原式＝                      ……4分

＝                   ……5分

19．∵a = ，∴ ，∴ ，           ……2分

∴   ∴，                          ……4分

∴                           ……5分

20．当a＝0时，原方程为－x－1＝0，x＝－1，此时方程有实根； ……1分

当a≠0时，原方程为一元二次方程，

 ，原方程有实根，               ……4分

综上所述，a取任何实数时，原方程总有实数根.             ……5分

21．解：（1）如图

∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

       ∴OA=AC，OB=BD …………… 1分

       ∵AC︰BD=2︰3，∴OA︰OB=2︰3 .

设OA=2x (x >0)，则OB=3x. 

       ∵AC⊥AB， ∴∠BAC =90°.

在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2.…… 2分

∵AB=2，∴(2x)2+22=(3x)2 .

解得x=±(舍负).

∴AC=2OA=. ………………………………… 4分

（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴OB=OD.

∴S△AOD= S△AOB=  AO·AB =××2=.  ………… 6分

22．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．        ………… 1分

根据题意可得，x（50﹣2x）=300，                ………… 3分

解得：x1=10，x2=15，                            ………… 4分

当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，

故x1=10（不合题意舍去），                       ………… 5分

答： AB的长为15米．                          ………… 6分

23．（1）如图2所示：拼接成的四边形是平行四边形；

；            …………………… 2分

（2）正确画出图形（如图3）

      …………………… 4分

故平行四边形MNPQ的面积为： …………5分

24．解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN，即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分

（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小. ………………4分

理由如下：连接MN，由（1）知，

△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，

即等于EC的长   ……………….……6分

（3）正方形的边长为     ……………….……7分

过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴ 

解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为 

25．(1)证明：∵四边形是矩形

∴∥  ∴，

∵垂直平分，垂足为  ∴≌

∴    ∴ 

∴四边形为平行四边形

又∵  ∴四边形为菱形….……4分

(2)①秒               ……….……6分

显然当点在上时，点在上，

此时、、、四点不可能构成平行四边形；

同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形.

因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，

∵点的速度为每秒5，点的速度为每秒4，运动时间为秒

∴，    ∴，解得

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒.

②与满足的数量关系式是……….……8分

由题意得，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，

点、在互相平行的对应边上，分三种情况：

i)如图1，当点在上、点在上时，，即，得

ii)如图2，当点在上、点在上时，， 即，得

iii)如图3，当点在上、点在上时，，即，得

综上所述，与满足的数量关系式是    

附加题(每题4分，共20分)