一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（ ）
A．（1，0，﹣3） ．（﹣1，0，3） ．（3，4，3） ．（1，0，3）
2．抛物线y2=4x的准线方程为（ ）
A．x=2 ．x=﹣2 ．x=1 ．x=﹣1
3．椭圆+=1的离心率是（ ）
A． ． ． ．
4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（ ）
A．不存在x0∈R，2＞0 ．存在x0∈R，2≥0
C．对任意的x∈R，2x≤0 ．对任意的x∈R，2x＞0
5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣ ++ ． ． ．﹣﹣+
6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（ ）
A．p真q假 ．p假q真
C．命题“p且q”为真 ．命题“p或q”为假
7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
A．圆 ．椭圆 ．双曲线 ．抛物线
8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 ．必要非充分条件
C．充分必要条件 ．既非充分又非必要条件
9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（ ）
A．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣y2=1 ．x2﹣=1
10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）
A． ． ． ．
11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）
A． ． ． ．5
12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（ ）
A． ． ． ．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于 ．
14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为 ．
15．给出下列命题：
①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．
18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．
判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．
20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，
（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（ ）
A．（1，0，﹣3） ．（﹣1，0，3） ．（3，4，3） ．（1，0，3）
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．
【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可．
【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），
∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．
2．抛物线y2=4x的准线方程为（ ）
A．x=2 ．x=﹣2 ．x=1 ．x=﹣1
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，
∴抛物线的准线方程是x=﹣1．
故选D．
【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
3．椭圆+=1的离心率是（ ）
A． ． ． ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率．
【解答】解：∵椭圆+=1中a=3，b=2，
∴c==，
∴e==，
故选：C．
【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．
4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（ ）
A．不存在x0∈R，2＞0 ．存在x0∈R，2≥0
C．对任意的x∈R，2x≤0 ．对任意的x∈R，2x＞0
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；
命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是
“对任意的x∈R，都有2x＞0”．
故选：D．
【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．
5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣ ++ ． ． ．﹣﹣+
【考点】相等向量与相反向量．
【分析】由题意可得=+=+=+ [﹣]，化简得到结果．
【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）
=+（﹣）=﹣++，
故选A．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（ ）
A．p真q假 ．p假q真
C．命题“p且q”为真 ．命题“p或q”为假
【考点】复合命题的真假．
【专题】计算题．
【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．
【解答】解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x＞2或x＜﹣2}”，故命题q错误．
∴A，B，C不对，D正确
应选D．
【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假．
7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
A．圆 ．椭圆 ．双曲线 ．抛物线
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，
设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；
因为=λ•，
所以y2=λ（x+a）（a﹣x），
即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．
当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；
当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．
当λ=0时，是直线的轨迹方程；
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选D．
【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．
8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 ．必要非充分条件
C．充分必要条件 ．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义．
【分析】要判断：“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc≠0的情况下，先判断，“ac＞0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac＞0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结．
【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc≠0，ac＞0；
反之，当abc≠0，ac＞0时，可能有a=b，方程表示圆，
故“abc≠0，ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件．
故选B
【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（ ）
A．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣y2=1 ．x2﹣=1
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a，进而求得b，则问题解决．
【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1．
由题意得||PF1|﹣|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20．
又∵|PF1|•|PF2|=2，
∴4a2=20﹣2×2=16
∴a2=4，b2=5﹣4=1．
所以双曲线的方程为﹣y2=1．
故选C．
【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力．
10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）
A． ． ． ．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．
【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===
故选C
【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．
11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）
A． ． ． ．5
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．
【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，
故满足条件的点在双曲线右支上，
则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．
12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（ ）
A． ． ． ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．
【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：
∵椭圆的焦距为2c，
∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，
∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，
∴∠MF2F1=30°，
∴∠F1MF2=90°．
设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．
∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，
又|MF1|+|MF2|=2a，
∴2a=（+1）c，
∴该椭圆的离心率e===﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0）是关键，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于 5 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．
根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．
14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为 ．
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长．
【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，
∴=，
∴2=（）2
=+2||•||cos60°+2•||cos60°+2•cos60°
=1+1+1+++
=6，
∴AC1的长为||=．
故答案为：．
【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
15．给出下列命题：
①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是 ①④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【考点】平面的法向量．
【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．
【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；
②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；
③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；
④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．
【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），
∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，
∴⊥，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，
∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；
对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），
∴与不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），
向量=（1，u，t）是平面α的法向量，
∴，
即；
则u+t=1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．
16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则= 3 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB=﹣（）2，整理后两边同除以xA2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．
【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．
则AA1∥OF∥BB1，
∴==，
又已知xA＜0，xB＞0，
∴=﹣，
∵直线AB方程为y=xtan30°+
即y=x+，
与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0
∴xA+xB=p，xA•xB=﹣p2，
∴xAxB=﹣p2=﹣（）2
=﹣（xA2+xB2+2xAxB）
∴3xA2+3xB2+10xAxB=0
两边同除以xA2（xA2≠0）得
3（）2+10+3=0
∴=﹣3或﹣．
又∵xA+xB=p＞0，
∴xA＞﹣xB，
∴＜﹣1，
∴=﹣=3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．
【专题】计算题；综合题．
【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．
【解答】解：∵方程表示双曲线，
∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，
即命题P：a＞1或a＜﹣3；
∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，
∴4+（a﹣1）2＜8的内部，
解得：﹣1＜a＜3，
即命题q：﹣1＜a＜3，
由pΛq为假命题，¬q也为假命题，
∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．
18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．
判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明•的取值范围为[3+2，+∞）．
【解答】解：此命题为真命题．
证明如下：
∵F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3，
∴双曲线方程为，
设点P（x0，y0），则有=1，（），
解得，（x0），
∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），
∴==x0（x0+2）+=，
这个二次函数的对称轴为，
∵，∴当时，取得最小值=3+2，
∴•的取值范围为[3+2，+∞）．
【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．
【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】计算题；向量法．
【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，
设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），
设AC的中点为M，
∵BM⊥AC，BM⊥CC1．
∴BM⊥平面A1C1C，
即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），
=（﹣2，0，0），
∴
令z=1，解得x=0，y=1．
∴n=（0，1，1），
设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．
∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．
∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．
【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ 相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．
20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
【考点】轨迹方程；抛物线的应用．
【专题】计算题．
【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．
【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，
设，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB．
∴
由OA⊥AB，得①
依点A在AB上，得直线AB方程
②
由OM⊥AB，得直线OM方程③
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，
并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+，
整理得④
由③、④两式得
由①式知，yAyB=﹣16p2
∴x2+y2﹣4px=0
因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．
21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，
（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ 的值，
可得的坐标以及||的值，从而得出结论．
【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，
建立空间坐标系．
则有题意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、
N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），
cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵ =（0，1，1），
可设=λ•=（0，λ，λ）．
又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），
由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．
此时， =（0，，），||=，故当||= 时，ES⊥平面AMN．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．
22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为，
解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，
代入得
设E（xE，yE），F（xF，yF），
因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以﹣K代K，可得，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为．
【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．
