一、知识梳理
1、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.
注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
2、提取公因式法
把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：
注： 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.
3、运用公式法
把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
ⅰ）平方差公式
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么.
ⅱ）完全平方公式
注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清、分别表示的量.
补充：常见的两个二项式幂的变号规律：
①； ②．（为正整数）
4、十字相乘法
借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足的，则有
5、分组分解法
定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
=，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.
原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.
6、求根公式法：如果有两个根，那么
二、典型例题及针对练习
考点1 因式分解的概念
例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？
⑴ ； ⑵；
⑶ ； ⑷.
注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..
考点2 提取公因式法
例2 ⑴； ⑵
解：
注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.
[补例练习]1、⑴； ⑵
考点3、运用公式法
例3 把下列式子分解因式：
⑴； ⑵.
解：
注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.
例4把下列式子分解因式：
⑴； ⑵.
解：
注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.
[补例练习]2、⑴； ⑵；
⑶； ⑷.
注：整体代换思想：比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
考点4、十字相乘法
例5 ⑴； ⑵.
[补例练习]3、⑴ ⑵
考点5、分组分解法
例6分解因式：
（1）； （2）
（3）
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。
答案：（1）（三、一分组后再用平方差）
（2）（三、二分组后再提取公因式）
（3）（三、二、一分组后再用十字相乘法）
★综合探究创新
例7 若是完全平方式，求的值.
说明 根据完全平方公式特点求待定系数，熟练公式中的“、”便可自如求解.
例8 已知，求的值.
说明 将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值.
例9 已知，，求的值.
说明 这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值.
三、巩固练习
课外练
一、填空题
1. 分解因式： .
2. 分解因式： .
3. 当时，的值是 .
4. .
5. 分解因式： .
6. 分解因式： .
二、解答题
7.分解因式：.
8．运有简便的方法计算：.
9.分解因式：.
参
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
二、解答题
7. 8. 9. 下载本文
