一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值等于( )
A. B. C. D.
2. 党的以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．据了解，河南省“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”年项目规划总投资亿元，将数据亿用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，直线，的顶点在上，若，则( )
5. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7. 我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
8. 为了响应国家“双减”，某校在课后延时服务时段开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．现学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，正方形的中心的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 如图，绕点逆时针旋转，在此过程中、、的对应点依次为、、，连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图象如图，当时，的值为( )
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写出一个对称轴是轴的二次函数的解析式______ ．
12. 不等式组的解集是______．
13. 甲、乙两位同学在次定点投篮训练中每次训练投个各次训练成绩投中个数的折线统计图如图所示，则甲、乙两位同学成绩更稳定的是______选填甲或乙
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
化简：．
某工厂甲、乙两个部门各有员工人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下：
收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取名员工，进行了生产技能测试，测试成绩百分制如下：
甲
乙
整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩
人数
| 部门 | ||||||
| 甲 | ||||||
| 乙 |
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
| 部门 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 甲 | |||
| 乙 |
表中______，______；
估计乙部门生产技能优秀的员工人数为______；
请你利用上面数据推断出哪个部门员工的生产技能水平较高，并说明理由至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
18. 本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点．
求的值及点的坐标；
请直接写出不等式的解集；
已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积．
随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小明利用无人机来测量广场，两点之间的距离．如图所示，小明站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，若小明的身高，点，，，在同一平面内求，两点之间的距离结果精确到，，
已知点是的边上一点，且，为的直径，切于点，连接并延长交于点，连接交于点．
求证：；
若的半径为，求线段的长．
某学习小组在数学活动课上设计了一个问题情境．
已知林茂的家、体育场、文具店在同一条直线上，林茂从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了一阵后又匀速走到文具店买笔，然后再匀速走回家．给出的图象反映了这个过程中林茂离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
填空：
体育场到文具店的距离为______；
林茂从文具店到家的行进速度为______；
当林茂离家的距离为时，他离开家的时间为______；
当时，请求出关于的函数解析式．
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向左平移个单位长度，得到点，点在抛物线上．
抛物线的对称轴是：直线______；
若，为抛物线上两点，满足，，当时，判定与的大小关系，请直接写出结果；
已知点的横坐标为，且点在直线上．点的坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
23. 本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形的一条对称轴分别交边、于点、，如图，奋进小组进行了如下的操作：以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，已知点在弧上运动含、两点，连接，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．
提出问题：
如图，当点运动到上时，求的度数；
拓展应用：
如图，勤奋小组在图的基础上进行如下操作：连接并延长交于点，请判断的形状，并说明理由；
解决问题：
创新小组在图的基础上进行如下操作：延长交边于点，当是直角三角形时，请直接写出矩形的边和之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质直接计算即可．
【解答】
解：根据负数的绝对值等于它的相反数可知：的绝对值等于，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：．
根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据角的和差得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算正确，故此选项符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及积的乘方，熟记相关运算法则和公式是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：方程整理得：，
，
此方程没有实数根．
故选：．
方程整理为一般形式，求出根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
设共有人，辆车，根据“如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【解答】
解：设共有人，辆车，
依题意得：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽到“器乐”和“戏曲”类的结果数为，
所以恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽到“器乐”和“戏曲”类的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
9.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，，，
中心坐标为，
先沿轴翻折，再向下平移个单位为一次变换，
进行一次变换后，中心坐标为，
第二次变换后中心坐标为，
第次变换后，中心坐标为，
当时，
中心坐标为，
故选：．
由正方形的性质得出中心坐标为，通过先沿轴翻折，再向下平移个单位进行一次变换后，中心坐标为，第二次变换后中心坐标为，则可得规律为：第次变换后，中心坐标为，将代入即可求解．
本题考查翻折变换，对称与平移，正方形的性质等知识点，解题的关键是先求出中心坐标，再得出变换规律．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
由题意，，
设，则，
，
，
或舍弃，
，，
当时，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
过点作于，由题意，，设，则，根据勾股定理得到，，当时，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题考查矩形的性质，旋转变换，勾股定理，函数图象等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：抛物线的对称轴为轴，即直线，所以，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．如，故答案为：答案不唯一．
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标及对称轴的方法．通常有两种方法：
公式法：的顶点坐标为，对称轴是直线；
配方法：将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
12.【答案】
【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】甲
【解析】解：由图表明乙这次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，
则，即两人的成绩更加稳定的是甲．
故答案为：甲．
根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】
【解析】解：设阴影部分所在的圆心为，与半圆弧交于点，如图，连接，过点作交于点，
，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
，
．
故答案为：．
根据折叠和直角三角形的边角关系可求出，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为，再根据锐角三角函数求出的底和高，最后根据进行计算即可．
本题考查折叠，轴对称，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
15.【答案】
【解析】解：在上取点，使，作射线交于点，过点作于，如图：
，，
是等边三角形，
，，
线段逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点在射线上运动，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
在上取点，使，作射线交于点，过点作于，证明≌，得，，可得是等边三角形，即得，，由，，可得，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为．
本题考查平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】解：
；
．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；
根据分式的减法和乘法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：乙部门员工成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数，
乙部门员工成绩出现次数最多的是分，共有人，因此众数是分，即，
故答案为：，；
人，
即乙部门生产技能优秀的员工大约有人；
故答案为：；
乙部门员工的成绩较好，理由为：乙部门员工成绩的中位数比甲部门员工成绩的中位数高；乙部门员工成绩的众数比甲部门员工出的众数高．
根据中位数的定义可求出的值，根据众数的定义可得的值；
求出样本中乙部门员工成绩优秀所占的百分比，即可估计总体人中优秀所占的百分比即可；
根据中位数、众数两个方面进行判断即可．
本题考查平均数、中位数、众数，频数分布表以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法以及频数的统计方法是正确解答的关键．
18.【答案】解：反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，
，，
，，
反比例函数图象是中心对称图形，
点与关于原点对称，
，
由图象知，不等式的解集为或；
如图，作于，
，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为．
【解析】将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得和的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点的坐标；
根据图象直接可得答案；
作于，则得出和的长，再利用勾股定理求得的长，从而得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
19.【答案】解：过点作于点，过点作于点，
根据题意可得，，，，，，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
．
答：，两点之间的距离为．
【解析】过点作于点，过点作于点，根据题意可得，，，，，，在中，利用勾股定理可得，在中，，可求得，再根据即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数和勾股定理是解答本题的关键．
20.【答案】证明：如图，连接，
，为的直径，
，
切于点，
，
是斜边上的中线，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
解：如图，连接，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
．
线段的长为．
【解析】根据已知条件证明是斜边上的中线，可得是等边三角形，进而可以解决问题；
连接，证明∽，可得，进而可以解决问题．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理、角所对的直角边等于斜边的一半及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21.【答案】 或
【解析】解：由图象可得，
体育场到文具店的距离为：，
故答案为：；
林茂从文具店到家的行进速度为：，
故答案为：；
当时，林茂的速度为：，
；
当时，林茂的速度为：，
；
由上可得：当林茂离家的距离为时，他离开家的时间为或，
故答案为：或；
由图象可得，
当时，；
当时，设关于的函数解析式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，关于的函数解析式是；
由上可得，当时，关于的函数解析式是．
根据图象中的数据，可以计算出体育场到文具店的距离；
根据图象中的数据，可以计算出林茂从文具店到家的行进速度；
根据图象中的数据，可以计算出当林茂离家的距离为时，他离开家的时间；
根据图象中的数据，可以计算出当时，关于的函数解析式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】
【解析】解：由题意可得点横坐标为，点横坐标为，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：．
当时，抛物线开口向上，
，
，
点到直线的距离小于点到直线的距离，
．
，
，
，
将代入得，
抛物线经过，
将代入得，
点坐标为，
当时，抛物线开口向上，，
点在抛物线上方，
将代入得，
抛物线经过，
点在抛物线上方，不满足题意．
当时，抛物线开口向下，，
所以点在抛物线下方，
当点在抛物线上或抛物线上方时，满足题意，
，
解得，
．
由点，的横坐标及抛物线的对称性求解．
根据抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上且，可判断点，与对称轴的距离大小，进而判断与的大小．
分别求出点，坐标及，时抛物线上的点的坐标，分类讨论，，结合图象求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质，通过分类讨论求解．
23.【答案】解：连接，，如图，
由题意：，，
在和中，
，
≌．
．
为矩形的对称轴，
，，
，
，
，
．
；
是等边三角形，理由：
由知：，
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
是等边三角形；
当时，点与点重合，如图，
由知：，
；
，
；
当时，如图，
过点作于点，
由知：，
由知：是等边三角形，
，
，
，
．
，
，
在和中，
，
≌．
，
四边形为菱形．
，
．
，
，
．
．
，
．
，
综上，当是直角三角形时，矩形的边和之间的数量关系或．
【解析】连接，，通过证明≌，可得为交点平分线，利用对称性和直角三角形的边角关系即可求得，则结论可求；
利用中的方法解答即可；
利用分类讨论的方法分两种情况推论解答：当时，点与点重合，利用的结论和直角三角形的边角关系即可求解；当时，过点作于点，证明四边形为菱形，则可得，同的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，本题是操作型题目，理解题干中的每一步骤产生的结论，同时注意结论的延续性是解题的关键．下载本文
