1、已知，则_______.
解：0或
已知两式平方相加，得或
0或
2、不等式的解集为_________.
解：
原不等式等价于
设，则在R上单调增.
所以，原不等式等价于
3、已知(表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________.
解：.
由于，所以
当时，原方程即；
当时，原方程即.
4、在平面直角坐标系中，设点，一只虫子从原点O出发，沿轴正方向或轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A的不同路线数目记为. 则_______.
解：
猜测，可归纳证明.
5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.
解：3或11.
分别以三个面两两的交线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
设点P坐标为，小球圆心O坐标为
所以，
6、将表示成两个型分数的乘积的不同方法数是________.（其中与是同一种表示方法）
解：24.
设是正整数，满足
的正因数的个数为.
注意到与是相同的表示方法，故所求的方法数为.
7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，则∠PEQ为锐角的概率为__________.
解：
设正方形边长为1，.
则
从而，. 又.
故所求概率为两直线及曲线所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即
8、已知实系数一元二次方程有实根，则使得
成立的正实数的最大值为____________.
解：
不妨设，方程的两实根为.
由韦达定理，
从而，，当时等号成立.
二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）
9、已知数列的各项均为正数，，且对任意，都有．问：是否存在常数，使得对任意都成立？
解：在中，令，得
若存在常数使得，则
∵，∴.
∴.
由于，上式两边同除以，得
所以，
即存在常数，使得对任意都成立.
10、已知两点，设A，B，M是椭圆上三点，满足，点N为线段AB的中点，求的值.
解：设，则 ①
由，得.
∵M在椭圆上， ②
综合①②得，
又线段的中点为，
∴
上式表明，点N在椭圆上，且该椭圆两焦点恰为两点.
所以，由椭圆定义有
11、已知，两个有限正整数集合满足：（这里用表示集合的元素个数）.平面向量集满足. 证明：
证明：不妨设
令
由柯西不等式，
注意到
从而， 下载本文
