阅读与思考

平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．

运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．

（上海市竞赛试题）

解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．

【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（　　）

A．3︰2︰1   ．4︰2︰1   ．5︰4︰3   ．5︰3︰2

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．

【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．

求证：PQ•PT＝PR•PS．

（吉林省中考试题）

解题思路：要证PQ•PT＝PR•PS，需证＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．

【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．

（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；

（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

（上海市闵行区中考试题）

解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明＋＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．

【例5】如图，已知AB∥CD，AD∥CE，F，G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB，AD，CD，CE于点M，N，P，Q．

求证：MN＋PQ＝2PN．

解题思路：考虑延长BA，EC构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．

（浙江省竞赛试题）

【例6】已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；

（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且＝，＝，点P1，P2是

边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；

（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．

（济南市中考试题）

解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．

能力训练

A级

1．设K＝＝＝，则K＝＿＿＿＿．

（镇江市中考试题）

2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．

3．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，则BD︰DN＝＿＿＿＿．

（杭州市中考试题）

4．如图，ABCD是正方形，E，F是AB，BC的中点，连结EC交DB，交DF于G，H，则EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．

（重庆市中考试题）

5．如图，在正△ABC的边BC，CA上分别有点E，F，且满足BE＝CF＝，EC＝FA＝（＞），当BF平分AE时，则的值为（　　）

A．   ．   ．   ． 

6．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF︰FD＝1︰5，连结CF并延长交AB于E，则AE︰EB等于（　　）

A．1︰10   ．1︰9    ．1︰8    ．1︰7

7．如图，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于（　　）

A．4    ．8    ．12    ．16

8．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝BC，则BE︰EA等于（　　）

A．3︰5    ．2︰5    ．2︰3    ．3︰2

9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．

已知，如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．

（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）

（山西中考试题）

10．如图，已知在□ABCD中，E为AB边的中点，AF＝FD，FE与AC相交于G．

求证：AG＝AC．

11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．

（1）求证：OE＝OF；

（2）求＋的值；

（3）求证：＋＝．

（宿迁市中考试题）

12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．

求证：∠AFN＝∠DME．

（全国初中数赛试题）

B级

1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．

（全国初中数赛试题）

2．如图，□ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD，BC的延长线分别交于F，E点．设BC＝，CD＝，CF＝，则CE＝＿＿＿＿．

（黑龙江省中考试题）

3．如图，D，F分别是△ABC边AB，AC上的点，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，连结DF交BC边的延长线于点E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

4．如图，设AF＝10，FB＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN∥ED，则EF︰FD＝＿＿＿＿．

（江苏省竞赛试题）

5．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（　　）

A．10    ．12    ．16    ．18

（全国初中数赛试题）

6．如图，CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直线EF分别交AB，AC于点M，N．若BC＝，AC＝，AB＝，且＞＞，则EM的长为（　　）

A．   ．   ．   ． 

（山东省竞赛试题）

7．如图，在□ABCD的边AD延长线上取一点F，BF分别交AC与CD于E，G．若EF＝32，GF＝24，则BE等于（　　）

A．4   ．8   ．10   ．12   ．16

（美国初中数赛试题）

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF︰FD的值是（　　）

A．2    ．    ．    ．1

（黄冈市竞赛试题）

9．如图，P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点，直线AP，BP分别交直线CD于E，F．

求证：＝．

（宁波市竞赛试题）

10．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O，直线平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别交于点M，N，R，S和P．

求证：PM·PN＝PR·PS．

（山东省竞赛试题）

11．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我们可以证明：＝成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB∥CD∥EF，那么，

（1）＝还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC的关系式，并给出证明．

（黄冈市竞赛试题）

12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB的延长线于点Q．

（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：＝；

（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；

（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且＝，则＝＿＿＿＿（直接写出结果）下载本文