3-2．假设温度计可用1/（Ts+1）传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1min后才能指示出实际水温的96%，问：    

（1）.该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？

（2）.如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s的速度均匀上升，当定义误差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？

解：

（1）.设实际水温为Tr，温度计原来处于T0=0度，当温度计放入水中时，相当于输入一阶跃值为Tr -T0=Tr的阶跃函数，温度计的时间响应函数为：

根据题意可得： 

即可得：T=18.(s)， 

10%所需的时间为，。

90%所需的时间为，。

所以可得该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间（上升时间）是

（2）.由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当r(t)=0.1t时的稳态误差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T，所以稳态指示误差： 

（将1/（Ts+1）转化为开环传递函数为1/（Ts）时的单位反馈系统，则可见此时系统的误差为e(t)=r(t)-c(t)。根据系统为I型，可得稳态速度误差系数为Kv=K=1/T，得当输入信号为r(t)=0.1t时的稳态误差为

）

3-5．某控制系统如图3-24所示，已知K=125，试求：

（1）.系统阶次，类型。

（2）.开环传递函数，开环放大倍数。

（3）.闭环传递函数，闭环零点、极点。

（4）.自然振荡频率ωn，阻尼比ζ，阻尼振荡频率ωd。

（5）.调整时间ts(△=2%)，最大超调量σp%。

（6）.输入信号r(t)=5时，系统的输出终值c(∞)、输出最大值cmax。

（7）.系统的单位脉冲响应。【系统的单位阶跃响应】

（8）.系统的单位斜坡响应。【讨论系统单位阶跃响应出现超调、衰减振荡、无超调三种情况下的K值】

（9）.静态误差系数Kp、Kv、Ka。

（10）.系统对输入为r(t)=5+2t+t2时的稳态误差。

解：

（1）.系统的开环传递函数：，可见系统阶次为二阶，类型为I型。

（2）.开环传递函数，开环放大倍数为1.5625

（3）.闭环传递函数为：

，闭环没有闭环零点，闭环极点为： 

（4）.，， 

（5）.， 

（6）.因为标准型二阶系统单位阶跃信号的稳态输出为1，最大值为1+Mp=1+σp%=1.015，由于线性系统符合叠加原理，所以可得： *5=25，cmax=5*5*1.015=25.375

（7）.由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

所以系统单位阶跃响应为： 

利用线性系统的重要特征即可得单位脉冲响应：

【由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

所以系统单位阶跃响应为：】

（8）.同理可得单位斜坡响应：

    积分常数C由初始状态为零的条件而得，即

    可得C=-3.2，所以单位斜坡响应为：

    【闭环传递函数为

可得

超调：，得

衰减振荡：，得

无超调：，得，又系统稳定，所以】

（9）.由于系统为I型，所以其静态误差系数分别为：

Kp=∞

Kv=1. 5625

Ka=0

（10）.系统对输入为r(t)=5+2t+t2时的稳态误差为：

系统是二阶系统，开环传递函数中的系数均大于零（或由闭环传递函数中可知极点的实部小于零），所以系统稳定

3-16．已知开环系统的传递函数如下（K>0），试用罗斯判据判别其闭环稳定性，并说明系统在s右半平面的根数及虚根数。

（1）.

（6）.

解：

（1）.特征方程为 

当K>0时，则第一列的符号全部大于零，所以闭环稳定，系统在s右半平面的根数及虚根数均为0。

（6）.特征方程为

当K>0时，第一列有一个数小于零，所以闭环不稳定；第一列符号变化了两次，系统在s右半平面的根数为2；第一列没有等于0的数，虚根数为0。

3-19．单位反馈系统的开环传递函数为，试求：

（1）.系统稳定的a值；

（2）.系统所有特征根的实部均小于-1之a值。

（3）.有根在（-1，0）时之a值。

解：

闭环传递函数为

（1）.用罗斯判据可得：

系统稳定，则应：，即a值应为： 

（2）.令，即，此时当时，则。对闭环传递函数进行变换得：

系统稳定，则应：，此时，。即a值应为： 

（3）.由（1）和（2）可得，此时a应在（0，1.2）和[3,8)之间。

3-27．已知系统的结构如图3-34所示。

(1).要求系统动态性能指标σp%=16.3%，ts=1s 【tp=1s】，试确定参数K1、K2的值。

(2).在上述K1、K2之值下计算系统在r(t)=t作用下的稳态误差。

解：

    系统的开环传递函数为：

系统的闭环传递函数为：

（1）.

得： 

5%时： 

得：，则：，由系统传递函数可知，系统稳定K1应大于零，所以

此时： 

2%时： 

得：，则：，由系统传递函数可知，系统稳定K1应大于零，所以

此时： 

【

得

所以：

】

（2）.系统的开环传递函数为：

系统是二阶系统，闭环（或开环）传递函数中的系数均大于零（或由闭环传递函数中可知极点的实部小于零），所以系统稳定

系统为I型

    当，时

开环放大增益为：

    当，时

开环放大增益为：

【， 

得开环放大增益为：

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