Linear Matrix Inequality-Based Fuzzy Control for Interior Permanent Magnet Synchronous Motor with integral sliding mode control

FaGuang Wang, Seung Kyu Park, Ho Kyun Ahn

Department of Electrical Engineering, Changwon National University, Korea

Abstract--Recently, interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM) is widely used in various applications, such as electric vehicles and compressors. It has a high requirement in wide load variations, high speed condition, stability, providing a fast response and most important thing is that it can be applied easily and efficiently. However, the control of IPMSM is more difficult than surface permanent magnet synchronous motor (SPMSM) because its nonlinearity due to the non-zero daxis current which can be zero in SPSM but not IPMSM. In this paper, the IPMSM is controlled very efficient algorithm by using the combination of linear control and fuzzy control with linear models depending on certain operating points. The H∞linear matrix inequality (LMI) based integral sliding mode control is also used to ensure the robustness. The membership functions of this paper are easy to be determined and implemented easily. Index Terms--Fuzzy control, H∞control, integral sliding mode control, interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM), linear matrix inequality.

I. INTRODUCTION

From 1980s’, with the development of semiconductor, IPMSM supplied by converter source has been widely studied [1] [2]. The development of microcomputer made the vector control system of IPMSM well controlled by single chip. IPMSM possesses special features for adjustable-speed drives which distinguish it from other

classes of ac machines, especially surface permanent magnet synchronous motor. The main criteria of high performance drives are fast and accurate speed response, quick recovery of speed from any disturbances and insensitivity to parameter variations [3]. In order to achieve high performances, the vector control of IPMSM drive is employed [4]-[6]. Control techniques become complicated due to the nonlinearities of the developed torque for non-zero value of d-axis current. Many researchers have focused their attention on forcing the daxis current equals to zero in the vector control of IPMSM drive, which essentially makes the motor model linear [4],[7]. However, in real-time the electromagnetic torque is non-linear in nature. In order to incorporate the nonlinearity in a practical IPMSM drive, a control technique known as maximum torque per ampere  (MTPA) is devised which provides maximum torque with minimum stator current [3]. This MTPA strategy is very important from the limitation of IPMSM and inverter rating points of view, which optimizes the drive efficiency. The problem associated MTPA control technique is that its implementation in real time becomes complicated because there exists a complex relationship between d-axis and q-axis currents. Thus, one of the main objectives of this paper is to make a new efficient control method for IPMSM and its calculation easy and efficient. The LMI fuzzy H∞control has been applied and solved the nonlinearity of the IPMSM model to a set of linear model. To increase the robustness for disturbances, an ISMC technique is added to the H∞controller. By ISMC, the proposed controller gives performances of the H∞control system without disturbances which satisfy the matching condition. It has a good compatible with linear controllers. T-S fuzzy control [8] is based on the mathematical model which is the combination of local linear models depending on the operating points. Linear controllers are designed for each linear model and they are combined as a controller and make it possible to use linear control theories for nonlinear systems. Linear controls via parallel distributed compensation (PDC) and linear matrix inequality (LMI) is a most popular method considering the stability of the system with PDC [9]. H∞LMI T-S fuzzy controller is considered as a practical H∞controller which eliminates the effects of external disturbance below a prescribed level, so that a desired H∞control performance can be guaranteed [10-12]. In this paper, the robustness of SMC [13] is added to the H∞LMI T-S fuzzy controller for the control of IPMSM. We can divide the disturbances in the IPMSM into two parts. First part is that SMC can deal with and other part is dealt by H∞LMI fuzzy controller. By using ISMC, the robustness of SMC and H∞performance can be combined. Integral sliding mode control (ISMC) is a kind of SMC which has sliding mode dynamics with the same order of the controlled system and can have the properties of the other control method.

II. H∞T-S FUZZY CONTROL AND ISMC

A. H∞T-S fuzzy control

Consider a nonlinear system as follows.

x(t)=f (x)+g(x)u(t)+w(t) (1)

where ||w(t)||≤Wb and Wb is the boundary of disturbance. Depending on the operating points, the nonlinear system can be expressed as follows.

The i-th model is that in the case z1(t) is Mi1 and …and z p(t) is Mip ,

(2)

And H∞T-S fuzzy feedback controller is   ui=-kiX(t) (3)

where i=1,2, … ,r and Mij is the fuzzy set and r is the

number of model rules

Given a pair of (x(t),u(t)), the fuzzy systems are

inferred as follows:

where  and μi(z(t)) is the

membership for every fuzzy rule.

From (1) we get

 (7)

Take (6) into (7), we can get the closed loop system

equations.

If we set Apresent the error boundary of every rule

and satisfy the following condition:

In the same way we get:

 (9)

Based on these, the approximation error can bebounded by matrix Ap and Bp . H∞control performance is:

(10)

where is the prescribed H∞norm. If we get theminimized for (10) we can make the effect of w(t) of (1) on x(t) is minimized.

If consider the initial condition, the H∞norm (10) canbe modified as the following form:

where P is some symmetric positive definite weighting matrix.

The following result is given in [14]:

Theorem 1: If system (1) is controlled by T-S fuzzy controller (6), and there is a positive definite matrix P such that

（12）

then the closed loop system is uniformly ultimately bounded (UUB) and H∞control performance (11) is guaranteed.

It is not easy to obtain P and, fortunately, after small change of (12), it can be solved by LMI toolbox. So we need to do some changes. Assume  Utilize the Schur complements for (12), we can get:

（13）

where 

Now the problem changes to find the positive definite matrix L and F to satisfy the condition (13) and we can obtain k j at last. The (13) can be solved by LMI toolbox on computer easily.

B. Sliding mode control

The system (1) with input signal noise or disturbance d(t) is:

（14）

In the system (14), it can be considered that the disturbance is the summation of two different kinds of disturbances

w(t)=w1(t)+w2(t) (15)

where w1(t) satisfies the following matching condition:

   （16）

For the disturbance w1(t) , ISMC gives the desired response of the following system:

    （17）

where x0 represents the state trajectory of the system with the disturbance w2(t) only under H∞T-S fuzzy control uo . Assume that w(t) is bounded and that an upper bound can be found as

（18）

where wmax is a known positive scalar.

For system (14), first redesign the control law to be

u(t)=u0(t)+u1(t)     （19）

where  is the ideal control defined in (6) and  is designed to reject the perturbation term w1(t) .

A sliding manifold is defined as

s=s0 (x)+z(x)  （20）

where s,s0 (x), , which consists of two parts: the first part s0(x)is designed as a linear combination of the system states; the second part z introduces the integral term and will be determined below. 

  （21）

where initial condition z(0) is determined based on the requirement s(0)=0. Different from the conventional design approach, the order of the motion equation in ISMC is equal to the order of the original system, rather than reduced by the dimension of the control input. As a result, robustness of the system can be guaranteed starting from the initial time instance.

III. COMBINATION H∞T-S FUZZY CONTROL AND

INTEGRAL SMC

The mathematic model of an IPMSM in the d-q synchronously rotating reference frame for assumed sinusoidal stator excitation is given as [3]:

（22）

where p is the differential operator.

The overall scheme of the H∞LMI T-S fuzzy control system is as follows. 

H∞LMI T-S fuzzy based ISMC controller designed as following steps.

Step.1. utilize the equilibrium point to calculate the error system.

System (22) can be presented by state form as:

（23）

where x1(t) =iq , x2(t) =id , x3(t) =wr ,u10(t) =vq and

u20(t) =vd .

Based on (23), a reference system can be given as:

（24）

where f means the required value.

Then the following error dynamic system is derived.

（25）

where e(t)=x(t)-xf (t)

Step.2. determine for membership function.

For x1 minimum case: 

For x1 maximum case: 

For x2 minimum case: 

For x2 maximum case: 

The fuzzy rules are as the follows:

Rule.1 x1 is minimal and x2 is minimal:

M1(t) =E1(t)G1(t)    （26）

Rule.2 x1 is minimal and x2 is maximal:

M2(t) =E1(t)G2(t) (27)

Rule.3 x1 is maximal and x2 is minimal:

M3(t) =E2(t)G1(t) (28)

Rule.4 x1 is maximal and x2 is maximal:

M4(t) =E2(t)G2(t) (29)

Step.3. obtain the matrixes A and B.

Equation (25) can be of the following form:

 and the value of ( x1lim , x2lim ) is based on the rule1 to rule 4, it gets to be x1min,x1max,x2min and x2max .

Step.4. calculate controller parameters K using LMI toolbox based on Theorem 1.

By LMI, the error systemcontrol input is defined by (6) as

  （31）

where k j is a 1by 3 matrix. Use inequality (13) and Matlab LMI toolbox to calculate out the parameters k j . So that, H∞T-S fuzzy controller of the system is  where u1 f and u2 f are reference inputs.

Step.5. Design ISMC for system.

Based on the SMC matching condition the system with disturbance is as follows: （32）

where d(t) is the noise or disturbance.

The sliding surface is defined as:

 （33）

 x1r and x2r are required output values, x1n and x2n are states of nominal system: （34）

Assume u1(t)=u10(t)+u1s(t) and u2(t)=u20(t)+u2s(t) .Derivate of sliding surfaces are: （35）

where e1n(t)=x1(t)−x1n(t) , e2n(t)=x2(t)−x2n(t) , un(t) is the nominal control input and us1 and us2 are sliding control inputs.

The sliding controller finally is given out as: （36）

where d1max and d1max are the maximal absolute values of disturbance.

IV. SIMULATION RESULTS

Use the controller design process in above sections with the parameters of Tab.1. Simulation results are:

TAB.1. IPMSM PARAMETERS. 

Fig.2. result of iq with parameter uncertainty and disturbance.

Fig.3.result of id with parameter uncertainty and disturbance.

Required output values are  From the result of Fig.2 and Fig.3, we can see that some kind of disturbance can not be solved only by H∞LMI T-S fuzzy. Combination with ISMC solves this perfectively.

V. CONCLUSIONS

The Fuzzy LMI controller is used for IPMSM. It uses the linear models for each operating points. It is shown that only four operating points are enough for the proposed control method. The controller of this paper gives good control performance with only four membership functions which are determined easily. H∞fuzzy LMI solved the initial big input for IPMSM from ISMC, while ISMC solved the problem of H∞fuzzy which is so dependent on fuzzy rules. The final results show that the combination control is efficient and perfect.

具有积分滑模控制的内埋式永磁同步电动机基于线性矩阵不等式的模糊控制

王发光, Seung Kyu Park, Ho Kyun Ahn

韩国昌原国立大学电机工程学系

近期摘要，内埋式永磁同步电动机被广泛的用于各种各样的应用中，例如电动汽车和压缩机。它对宽负荷变化、高速度条件、稳定性、快速的反应有较高的要求，最重要的是它使用简便，效率高。但是对内埋式永磁同步电动机的控制要比表面式永磁同步电动机困难，这是由于它的非零d轴电流产生的非线性而造成的，而d轴电流在表面式永磁同步电动机中是可以为零的。在本论文中，内埋式永磁同步电动机通过运用有以确定工作点为基础的线性模型的线性控制和模糊控制的结合而变得非常有效率。线性矩阵不等式（LMI）的积分滑模控制也能够用于确保鲁棒性，论文中的隶属函数可以很容易的确定和实施。

索引条目——模糊控制、控制、积分滑模控制、内埋式永磁同步电动机(IPMSM)、线性矩阵不等式。

I. 导论

从20世纪八十年代开始，伴随着半导体技术的发展，由转换器电源供应的内埋式永磁同步电动机已经被广泛的研究。微机技术的发展使得单芯片控制的内埋式永磁同步电动机的矢量控制系统相当的熟练，内埋式永磁同步电动机对于调速驱动器所具有的特别的特征使它区别于别的种类的交流电机，特别是表面式永磁同步电动机。高性能驱动器的主要标准是快速、精确的速度响应、从任何干扰速度的快速恢复和对参数变化的不敏感性。为了达到高性能，采用了内埋式永磁同步电动机的矢量控制。由于d轴电流的非零值而造成的超前转矩的非线性使得对内埋式永磁同步电动机的控制技术变得复杂。在内埋式永磁同步电动机的矢量控制方面很多研究者把重点放在强迫d轴电流接近于零，这本质上是使点击模型线性化。但是，本质上在实时中它的电磁转矩是非线性的。为了在一个现实的内埋式永磁同步电动机中纳入非线性，一种叫做每安培最大转矩(MTPA)的控制技术被设计出来，它能够用最小的定子电流提供最大的转矩。这种策略从内埋式永磁同步电动机和逆变器等分级的的观点来看是非常的重要，它能够优化驱动器的效率。相关MTPA控制技术的困难是由于d轴和q轴电流存在复杂的关系使得在实时执行时变得复杂。因此，本论文的一个主要目的是为内埋式永磁同步电动机作出一种高效的控制方法，而且它的计算需简单、高效。线性矩阵不等式模糊H∞控制已经被应用，而且已经完成了内埋式永磁同步电动机模型的非线性向一系列线性模型的转变。为了增加对干扰的鲁棒性，ISMC技术被增加到H∞控制器中。通过ISMC技术，先前的控制器能够给出H∞控制系统的性能而且没有干扰，这也满足了匹配条件。它和线性控制器有很好的兼容性。

T-S模糊控制是建立在数学模型的基础之上，这种模型是建立在工作点上的局部线性模型的结合体。线性控制器是为了每一个线性模型而设计的，它们被合并为一个控制器使得对非线性系统运用线性控制理论而称为可能。线性控制凭借并行分布补偿，考虑到具有PDC系统的稳定性线性矩阵不等式成为一种最流行方式。

基于LMI的H∞T - S模糊控制器被视为实用的H∞控制器，它消除了低于规定水平的外部干扰影响，所以一个想得到的H∞控制器的性能可以被保证。

在本论文中，为控制内埋式永磁同步电动机SMC的鲁棒性被添加到基于LMI的H∞T - S模糊控制器中。我们可以把内埋式永磁同步电动机中的干扰分成两个部分，第一部分是SMC能够处理的，另一部分是H∞线性矩阵不等式模糊控制器可以处理的。通过运用ISMC，SMC和H∞性能的鲁棒性能够结合起来。

积分滑模控制是一种SMC，它具有与控制系统相同顺序的滑模动力学，还具有其他控制方式的特征。

II. H∞ T-S模糊控制与积分滑模控制

A.. H∞T-S模糊控制

x(t)=f (x)+g(x)u(t)+w(t)           (1)

这里和是干扰的边界。以工作点为基础，非线性系统可以有以下表达方式。i-th模式是在情况下的在情况下的，

（2）

H∞T-S模糊反馈控制器是                   ui=-kiX(t)

 这里i=1,2, … , r、Mij是模糊方式、r是模型规则的数字。

给出一对(x(t),u(t))的数据，模糊系统推断如下：

     （4）

                    （5）

                  （6）

这里和μi(z(t))是每个模糊规则的元素。

从式（1）中可以得到：

（7）

把（6）式代入（7）式中，我们可以得到闭环系统方程。

如果我们设置代表每个规则的边界错误且满足下列情况：

（8）

用同样的方法我们可以得到：（9）

基于此，近似误差可以通过矩阵Ap和Bp得到限定。

H∞控制性能是（10）

这里表示的是规定的H∞范数。如果我们在式10中对取最小值，我们可以使w对x的影响达到最小。

   如果考虑到最初的条件，式10可以修改为下式：（11）

这里P指的是一些对称正定加权矩阵。

下面的结果在14式中给出：

定理1：如果系统被T-S模糊控制器控制，而且有一个如下的正定矩阵

（12）

这时闭环系统是一致并且有界的，H∞控制性能可以得到保证。

想得到矩阵P并不简单，幸运的是通过对式12作稍微的修改，这可以通过LMI工具箱来解决。所以我们要做一些改变，假设，利用舒尔补充式12，可以得到：（13）

这里，现在的问题改为找到正定矩阵L和F满足式13的条件，我们最后可以获得k j，式13可以通过LMI在电脑上很容易的解决。

B.滑模控制

     具有输入噪音或干扰的系统一中的d(t)是：（14）

      在系统（14）中，可以认为干扰是两种不同种类干扰的综合。w(t)=w1(t)+w2(t)               （15）

     这里w1(t)满足一下匹配条件：（16）

  对于干扰w1(t)，ISMC一下系统想要的反应：

        （17）

      这里X0表示只在H∞T-S模糊控制下具有干扰w2(t)的系统的状态轨迹。假设w(t)是有界的且上界可以表示为：     （18）

       这里Wmax是一个已知的正标量。

     对于系统（14）首先重新设计控制规律为u(t)=u0(t)+u1(t)   （19）

     在此，是在（6）式中定义的理想控制。是为了排斥短期扰动w1(t)而设计的。

一种滑动流形定义为：          （20）

这里由两部分组成：第一部分S0(x)被设计为形态状态的线性组合，第二部分Z介绍积分术语，将由下式决定      (21)

这里初始条件Z(0)由要求S(0)=0决定。

与传统设计方法不同的是，在ISMC中运动方程的顺序与原系统的顺序相同，而不是随控制输入的尺寸变化。因此，系统的鲁棒性可以从最初的实例中得到保证。

III. H∞ T-S模糊控制与积分滑模控制的结合

内埋式永磁同步电动机在d-q轴同步旋转参考系中对假定正弦定子励磁的关系式如下        （22）

这里P指的是微分算子。

H∞线性矩阵不等式 T-S模糊控制系统的总体方案如下所示：

基于H∞线性矩阵不等式 T-S模糊的ISMC控制器的设计步骤如下：

第一步，利用平衡点计算错误系统。

第二步，系统22可用用国家形式给出：（23）

这里

基于23式，一个参考系统可以给出为：（24）

这里f表示为所需的值。

这样下面的误差动力系统可以被推导出。

（25）

这里

第二步，确定隶属函数

X1为最小值时：

X1为最大值时：

X2为最小值时：

X2为最大值时：

模糊控制规则如下：

规则1:X1为最小X2为最小（26）

规则2:X1为最小X2为最大（27）

规则3:X1为最大X2为最小（28）

规则1:X1为最大X2为最大（29）

第三步：获得矩阵A和B。方程25可以是一下形式

 （30）

这里

( x1lim , x2lim )的值以规则1到规则4为基础，他成为x1min,x1max,x2min and x2max。

第四步：利用以定理1为基础的LMI工具箱计算控制器参数。

利用线性矩阵不等式误差系统控制输入可以定义为：

这里Kj是1by3的矩阵。利用不等式13和Matlab LMI的工具箱计算出参数Kj

这样，系统的H∞线性矩阵不等式 T-S模糊控制器是这里U1f和U2f是参考输入。

第五步：为系统设计ISMC。

以SMC匹配条件为基础，有干扰的系统如下：

（32）

这里d（t）是噪音或者干扰。

 （33）

滑动面定义为：

这里X1r和X2r是需要的输出值，X1n和X2n是正常系统的状态： 

（34）

假设，

滑动面的导数是：（35）

这里是标准的控制输入，Us1和Us2是滑动控制输入。

滑动控制器最终给出为：（36）

这里d1max和d2max是干扰的最大绝对值。

IV. 模拟结果

利用上面的控制器设计过程和参数表一，模拟结果为： 

所需的输出值是从表2和表3的结果我们可以看出一些种类的干扰单单用H∞线性矩阵不等式 T-S模糊控制不能够得到解决。结合ISMC能够很好的解决这个问题。

V. 结论

H∞线性矩阵不等式 T-S模糊控制器用于内埋式永磁同步电动机上。它在每个工作点上运用线性模型。结果表明对于这个提出的控制方法只需要四个工作点就够了。本文中的控制器给出了很好的控制性能且只需要四个可以设计的隶属函数。

H∞线性矩阵不等式模糊控制为内埋式永磁同步电动机解决了从ISMC的最初的大输入，ISMC解决了H∞模糊控制中对模糊规则相当依赖的问题。最终的结果表明联合控制是高效和完美的。下载本文