一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.集合，集合，则

A.  B.  C.  D. 

2.下列函数中为奇函数的是

A.  B.  C.  D. 

3.已知复数，则z的共轨复数

A.  B.  C.  D. 

4.已知是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是

A.  B. 

C.  D. 

5.将直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的方程为

A.  B. 

C.  D. 

6.已知数列为等比数列，若，，则

A.  B. 8 C.  D. 16

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. 

B. 

C. 

D. 

A.  B.  C.  D. e

9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数或表示零时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为

A.  B.  C.  D. 

10.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则的最小面积为

A. 1 B.  C. 2 D. 4

11.已知定义在R上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：

；

函数在上有且仅有3个极值点；

函数在上单调递增；

函数的最小正周期是2．

其中所有正确结论的编号是

A.  B.  C.  D. 

12.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为______．

14.某地为了解居民的每日总用电量万度与气温之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：

15.已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为______．

16.已知点、分别为双曲线C：的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.函数．

求函数的最小正周期；

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求的面积．

18.已知三棱柱的所有棱长都相等，平面平面ABC，C.

求证：平面；

求二面角的余弦值．

19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线交于点N．

求椭圆C的方程；

是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．

20.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．

规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；

由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；

预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均

为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为；

每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？

参考数据：；若，则，，．

21.已知函数．

当时，求的导函数在上的零点个数；

若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．

22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，，，，，弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．

分别写出，的极坐标方程：

点E，F位于曲线上，且，求面积的取值范围．

23.已知．

若，求实数t的取值范围；

求证：．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：集合，

集合，

故选：C．

求出集合A，集合B，由此能求出．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.答案：D

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，其定义域为R，有，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；

对于B，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；

对于C，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；

对于D，，有，解可得，即其定义域为，有，为奇函数，符合题意；

故选：D．

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．

本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．

3.答案：C

解析：解：，复数，

的共轨复数．

故选：C．

直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

4.答案：A

解析：解：函数对数和在上单调递增，且，

，又，

，

故选：A．

利用对数函数的性质求解．

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．

5.答案：D

解析：解：直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，

设直线的斜率为k，则根据到角公式的应用，

，解得，

所以直线的方程为，整理得．

故选：D．

直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

6.答案：A

解析：解：数列为等比数列，若，所以：，

由于，

所以，整理得．

故选：A．

直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

7.答案：D

解析：解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．

如图所示：

故．

故选：D．

首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．

本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

8.答案：B

解析：解：由题意设切点为，

，．

，

由切线过原点得，

所以，所以．

故选：B．

设切点为，然后利用导数求出切线方程，将代入即可求出切点坐标，问题可解．

本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．

9.答案：C

解析：解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，

规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，

则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，

基本事件总数，

这个数能被3整除包含的基本事件有：

5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，

这个数能被3整除的概率为．

故选：C．

基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.答案：B

解析：解：设，，设P在x轴上方，

由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，

联立直线与抛物线的方程，整理可得，，，

因为M为PF的中点，所以，

所以，

所以，

故选：B．

由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由，整理可得由，而为定值可得的面积的最小值

本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．

11.答案：A

解析：解：曲线关于点对称，所以：；

又因为其图象关于直线对称，所以：，；

由可得：即，；

因为数在上有且仅有3个零点，

所以，即，；

由可得；

，，又，；

；

所以易知；错误；

令，则，；

令，则可取，1，2；

，，；

正确；

令；；

当时，为的一个递增区间，而，

在上单调递增，正确；

；；错误．

综上所述，其中正确的结论为；

故选：A．

先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．

本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．

12.答案：B

解析：解：如图，由已知可得，，且，平面，

是AC的中点，到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，

同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，

球心O到点A，，C，D的距离相等，球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．

球心O落在线段EF上不含端点E、，

显然，由题意，，则，

且．

，，则，

显然，，即．

又，．

故选：B．

由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．

13.答案：

解析：解：设等差数列的公差为d．

，，

则数列的公差．

故答案为：．

利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.答案：32

解析：解：由题意可知：，，

所以，解得．

线性回归方程，

预测气温为时，

可得．

故答案为：32．

求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．

本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．

15.答案：3

解析：解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，

．

故答案为：3．

以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．

本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．

16.答案：

解析：解：如图，由题意可得，直线与圆O相切于点M，且，

由双曲线的定义可知，，

，且，

，即，

，

又，

联立解得，即．

故答案为：．

由题意画出图形，可得直线与圆O相切于点M，且，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

17.答案：解：，

函数的最小正周期；

，，

，

，即，

由正弦定理以及可得，

由余弦定理可得，可得，

，

．

解析：根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；

先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18.答案：解：证明：设直线与直线交于点G，连结，

四边形是菱形，，

，G为的中点，，

，平面．

解：取BC中点O为坐标原点，

如图，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设棱柱的棱长为2，则1，，0，，0，，，

0，，1，，2，，

设平面的一个法向量y，，

则，取，得，

设平面的一个法向量为b，，

则，取，得0，，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的余弦值为．

解析：设直线与直线交于点G，连结，推导出，，由此能证明平面．

取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

19.答案：解：由题意可得，即，，，

解得，，则椭圆C的方程为；

假设存在实数，使得为定值．

由题意可得直线l的斜率存在，由，可设直线l的方程为，，

联立，可得，

由韦达定理可得，即，，

即，

将代入，可得，

则，

若为定值，则，

解得，此时为定值，

所以存在实数，使得为定值．

解析：由题意可得，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；

假设存在实数，使得为定值．可设直线l的方程为，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将代入，求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．

本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．

20.答案：解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：

人，

其中成绩优良的人数为人，

记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，

则恰有1人预赛成绩优良的概率：

．

由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：

，则，

又由，，

，

估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：

，

即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．

以随机变量表示甲答对的题数，则，且，

记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，

，

依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：

，

设甲答完n题的分数为，

则，

由于，当时，取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．

若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．

解析：求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．

样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．

以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．

本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.答案：解：易知，显然，

所以是的一个零点，

令，则时，，

所以在单调递减，在单调递增，

则的最小值为，

又，且，

所以在上存在唯一零点，

则在上亦存在唯一零点，

因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，

综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为3；

不等式恒成立，即不等式恒成立，

令，则等价于不等式恒成立，

若，即时，不等式显然成立，此时，

若时，不等式等价于

设，

当时，，

令

则，

已知，，且，

则在，上单调递减，在上单调地增，

又，，所以在上恒成立，

所以在上单调递减，则，

显然函数为偶函数，故函数在上的最大值为1，

因此，

综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．

解析：易知，显然，对导函数求导得到，在单调递减，在单调地增，则可得在上存在唯一零点，所以在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，故共3个零点；

条件等价于不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，则若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于，构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．

本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．

22.答案：解：由题意可知：的极坐标方程为．

记圆弧AD所在圆的圆心易得极点O在圆弧AD上．

设为上任意一点，则在中，可得

所以：，的极坐标方程为和

设点，点，，

所以，．

所以．

由于，所以．

故．

解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

23.答案：解：，取等号的条件为，

解得，即实数t的取值范围为；

证明：易知，

，

，

，

．

解析：利用绝对值不等式的性质可得，解出即可；

利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．

本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．下载本文