考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
1. 若函数, 给出该方程存在正根的区间 , 该方程的Newton迭代公式是 ；
2. 给出线性规划标准型的特点： 、 、 ；
3．求解无约束非线性最优化问题的下降迭代算法中，下降方向应该满足的条件是：（这次不考）
；
4．已知函数过点，，设函数是的三次样条插值函数，则满足的三个条件是 ；
5．在进行单因子方差分析中，A因子取五个水平，共进行了次试验，通过计算得到，因此 ，而，A因子对试验指标 显著性影响。
6．随机变量服从参数为的指数分布即分布密度为,是样本均值，则 ；
7．线性方程组其系数矩阵满足 时，可对进行分解（Cholesky分解）；
线性方程组直接解法在估计误差时，如果变化为，解的误差估计为：
；
8．取步长，用改进Euler法解的公式为：
。
二、（本题6分）某公司生产三种产品：甲、乙和丙。每种产品需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种产品的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。公司规定的经济规模为甲产品1000吨，乙产品1300吨，丙产品900吨，请建立使该公司的利润最大的生产计划数学模型。
| 甲产品 | 乙产品 | 丙产品 | 资源可用量 | |
| 钢材（吨） | 2.5 | 3 | 3.5 | 8000（吨） |
| 人工（小时） | 35 | 45 | 60 | 63000（小时） |
| 利润 | 1.5 | 2.5 | 5 |
| 0 1 2 5 | |
| -5 3 0 6 |
四、（本题12分）在甲、乙两市进行的职工家计调查结果表明：甲市抽取的500户中平均每户消费支出
元，标准差元；乙市抽取的1000户中平均每户消费支出元，标准差元，试求:两市职工家庭每户平均年消费支出之间差别的置信水平为0.95的置信区间。
（）
五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解
六、（本题10分）试确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高。
七、（本题12分）下表列出在不同重量下六根弹簧的长度（单位：cm）
| 重量x（克） | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 长度y | 12 | 14 | 15 | 15 | 18 | 19 |
2）求当x=22时，y的0.95的预测区间（取）
八、（本题14分）设方程组为
（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛；
（2）取，用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值，；
（3）取，估计用Jacobi迭代求解与准确解的误差。
一、填空题
1．，，或或；
2．决策变量、目标函数、约束条件；
3．相邻两个迭代点的梯度方向垂直；
4．三次样条插值函数满足的条件：（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间上二阶导数连续，（3）满足插值条件；
5．；
6．预测点与的距离；自变量观测值的离散程度；样本容量；
7．顺序主子式都不等于0，消元过程中乘数的绝对值大；为中绝对值最大者；
8．相应的公式为：。
二、解：
设微型轿车、中级轿车和高级轿车的产量为
则利润最大的生产计划数学模型
三、解：
由所给数据可得差商表如下：
| xi | f(xi) | 一阶差商 | 二阶差商 | 三阶差商 | 四阶差商 |
| 0 | -5 | ||||
| 1 | 3 | 8 | |||
| 2 | 0 | -3 | -5.5 | ||
| 5 | 6 | 2 | 1.25 | 1.35 | |
| 3.76 | -7.34 | 10.578 | 4.874 | 1.313 | -0.00984 |
故
其误差估计式为
或
四、解：
| 方差来源 | 平方和 | 自由度 | 样本方差 | F值 |
| 组间SSA | 66 | 2 | 33 | |
| 组内SSE | 63 | 12 | 5.25 | |
| 总和SST | 129 | 14 | ||
所以，小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有显著差异.
五、解：
首先引进松弛变量使
则
取初始可行基得初始基可行解
初始单纯形表列如下：
（步骤可以不写）（步骤1：存在，转步骤 2；
步 骤 2：求k使，确定 k=l ；
步 骤 3：存在，转步骤 4；
步 骤 4：求l使
步 骤 5：以为枢轴元，进行枢轴运算，入基，出基，按变换公式得下表
转入步骤1.
| 基变量 | θ | ||||||||
| 20 | 8 | 6 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 0 | 50 | 0 | -1 | 2 | 1 | -4 | 0 | 250/8 | |
| 20 | 25 | 1 | 1/2 | 0 |
| 0 | 1/2 | 0 | |||||||
| 0 | 50 | 0 | -2 | 3 | 0 | -2 | 1 | 50/3 | |
| 20 | 10 | 0 | 0 | 10 | 0 | ||||
| Z=500 | 0 | 2 | -6 | ||||||
| 0 | 10 | 0 | |||||||
| 0 | 50/3 | 0 | 1/3 | 0 | 1 | -8/3 | -2/3 | ||
| 20 | 25 | 1 | 1/2 | 0 | 0 | 1/2 | 0 | ||
| 6 | 50/3 | 0 | -2/3 | 1 | 0 | -2/3 | 1/3 | ||
| 20 | 6 | 6 | 0 | 6 | 2 | ||||
| Z=600 | 0 | -2 | |||||||
| 0 | 0 | 6 | 2 | ||||||
| 0 | 0 | -2/3 | 0 | 0 | 1 | -3 | -2/3 | ||
| 8 | 50 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | ||
| 6 | 50 | 4/3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1/3 | ||
| 24 | 8 | 6 | 0 | 8 | 2 | ||||
| Z=700 | 4 | 0 | 0 | 0 | 8 | 2 | |||
，最优值为 Z=700 。
六、解：令得
由此方程组解得
因为当时
而当时
所以数值积分公式 具有3次代数精度。
七、解：（1）逐步回归法是将变量逐个被加入到模型中去，每当向模型中加入一个变量之后，就对原来模型中的变量在新模型下再进行一次向后剔除的检查，看是否其中有变量应该被剔除。这种“加入—剔除”的步骤反复进行，直至所有已经在模型中的变量都不能剔除，而且所有在模型外的变量都不能加入，过程就终止，最终的模型就是被选定的“最优”模型，这种变量选择方法称为逐步回归法
（2）表头设计为
| 列号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 安排因子 | A | B | A*B | C | A*C | B*C | A*B*C（或无） |
（1）将原方程组调整为，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。
（2）Gauss-Seidel迭代格式为
取代入Gauss-Seidel迭代格式得，。
（3）取，用Jacobi迭代求得估计，迭代矩阵为
，且有，
从而有。下载本文
