例1. 如图，四点共线，，，，。求证：。

例2. 如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。求证：。

例3. 如图，在中，，。为延长线上一点，点在上，，连接和。求证：。

例4. 如图， //， //，求证：。

例5. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。

例6. 如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。

例7. 如图，在中，，，为上任意一点。求证：。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是(    )

    A. 两直角边对应相等                    B. 一锐角对应相等

    C. 两锐角对应相等                    D. 斜边相等

2. 根据下列条件，能画出唯一的是(    )

    A.，，        B.，， 

    C.，，    D.， 

3. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④。其中能使的条件有(    )

    A. 4个                B. 3个                C. 2个                D. 1个

4. 如图，，，交于点，下列不正确的是(    )

    A.                        B. 

    C.不全等于                    D.是等腰三角形

5. 如图，已知，，，则等于(    )

    A.                B.                C.                D. 无法确定

二、填空题：

6. 如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________；

7. 如图，已知，，是上的两点，且，若，，则____________；

8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_________；

9. 如图，在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于____________；

10. 如图，点在同一条直线上， //， //，且，若，，则___________；

三、解答题：

11. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。

12. 如图，，，为上一点，，，交延长线于点。求证：。

答案

例1. 思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。

由条件，可得，再加上，，可以证明，从而得到。

解答过程： ， 

在与中

∴(HL)

，即

在与中

 (SAS)

解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。也可以看成将“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

解答过程：延长交于

在与中

     (ASA  

又      。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程： ，为延长线上一点

在与中

 (SAS)

。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接

//， //

， 

在与中

 (ASA)

。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 思路分析：要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。

解答过程：过作于，于，于

平分，于，于

平分，于，于

， 

，且于，于

为的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 思路分析：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。

解答过程：延长至点，使，连接

在与中

 (SAS)

， 

又

， 

在与中

 (SAS)

又

。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 思路分析：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在上截取，连接

在与中

 (SAS)

在中， 

，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长至，使，连接

在与中

 (SAS)

在中， 

。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习的答案

一、选择题：

1. A            2. C                3. B                4. C                5. C

二、填空题：

6. 4                7.        8.            9. 10            10. 6

三、解答题：

11. 解： 为等边三角形

， 

在与中

 (SAS)

。

12. 证明： ， 

在与中

 (AAS)

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