概念与用法

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．

基本解题数学思想与方法

解答此类问题的基本策略有以下两种：

1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．

2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．

课前预习：

1、已知直线方程为，当m变化时，直线恒过定点_________

2、已知圆直线：与圆C的交点个数________

3、直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是__________. m≥1且m≠5

4、已知定圆A：(x＋1)2＋y2＝16，圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.则曲线C的方程是    ▲    ．＋＝1

5、在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是  ▲  ．

【答案】

6、已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为    ▲    答案： 

8、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为，则_________2p

9、（选做）已知椭圆＋＝1 (a>b>0),过点P(m,n)分别作斜率为的动直线AB、CD与椭圆依次交于A、B、C、D四点,若M、N分别是弦AB、CD的中点,则时,直线MN恒过定点    

例1、　在直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为与F，圆F：（1） 设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标

（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心、OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，求证：点F到直线QT的距离FH为定值。

例2、已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作直线与椭圆交于点、

．

（1）若椭圆的离心率为，右准线的方程为，为椭圆上顶点，直线交右准线于点，求的值；

（2）当时，设为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，，证明：点

在定直线上．

18．（1）设，则，解得，

所以椭圆的方程为，                        ……2分

则直线的方程为，令，可得，

联立，得，所以，，           ……4分

所以

6分   

（2）设，，则直线的方程为，

令，可得，          ………8分

由可知，，整理得，

又，

联立，解得，        14分

所以点在定直线上．

例3. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1 (a>b>0)上的两点，已知向量m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB的斜率存在且直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；

(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

(1)＋x2＝1　(2)±

(3)①当直线AB的斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，

由m·n＝0，得x12－＝0，即y12＝4x12，

又A(x1，y1)在椭圆上，所以x12＋＝1，

所以|x1|＝，|y1|＝，

所以S△AOB＝|x1|·|y1－y2|＝|x1|·|y1|＝1，

②当直线AB的斜率存在时：设直线AB的方程为y＝kx＋b，

由，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

由x1x2＋＝0，得x1x2＋＝0，

整理得：2b2－k2＝4，所以S△AOB＝··AB＝|b|

＝＝＝1，

所以△AOB的面积为定值.

课后作业：

1、已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2．则线段PQ的垂直平分线恒过定点A的坐标是        

2、设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________.15

3、已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且||·||＋·＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离的最小值为    ▲    ．3

4、如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率,、分别是椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 

   ①若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程；

   ②若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

解: (1)由，，得，故椭圆方程为………3分

又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为………5分

(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,

又由, ,得的中点为，而，

所以的中垂线方程为，由，得 …8分

所以圆T的半径为，

故的外接圆的方程为………………10分

(说明:该圆的一般式方程为)

(3)设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为.联立直线与椭圆方程： ，

整理得，得，

所以，整理得， …13分

又

=，所以为定值………………16分

5、如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

解：（1）由已知，得   解得             …………………2分

  所以椭圆的标准方程为．                           …………………3分

（2）设点，则中点为．

 由已知，求得直线的方程为，从而．①

 又∵点在椭圆上，∴．②

 由①②，解得（舍），，从而．                …………………5分

 所以点的坐标为．                                  …………………6分

（3）设，，．

∵三点共线，∴，整理，得．…………………8分

∵三点共线，∴，整理，得．…………………10分

∵点在椭圆上，∴，．

 从而．   …………………14分

所以．                                    …………………15分

∴为定值，定值为．  下载本文